Вырожденная билинейная форма

В математике , в частности в линейной алгебре , вырожденная билинейная форма f  ( x , y  ) на векторном пространстве V — это билинейная форма , такая что отображение из V в V ^∗ ( двойственное пространство V ) ,  заданное формулой v ↦ ( x ↦ f  ( x ,  v  )) не является изоморфизмом . Эквивалентное определение, когда V конечномерно , состоит в том, что оно имеет нетривиальное ядро: существуют некоторые ненулевые x в V такие, что

${\displaystyle f(x,y)=0\,}$для всех${\displaystyle \,y\in V.}$

Невырожденная или неособая форма — это билинейная форма , которая не вырождена, то есть является изоморфизмом , или , что эквивалентно, в конечных размерностях, тогда и только тогда, когда ^[1]${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$

${\displaystyle f(x,y)=0}$ибо все подразумевает, что .${\displaystyle y\in V}$${\displaystyle x=0}$

Наиболее важными примерами невырожденных форм являются скалярные произведения и симплектические формы . Симметричные невырожденные формы являются важными обобщениями скалярных произведений, в том смысле, что часто все, что требуется, это чтобы отображение было изоморфизмом, а не положительностью. Например, многообразие со структурой скалярного произведения на его касательных пространствах является римановым многообразием , в то время как ослабление его до симметричной невырожденной формы дает псевдориманово многообразие .${\displaystyle V\to V^{*}}$

Если V конечномерно, то относительно некоторого базиса для V билинейная форма вырождена тогда и только тогда, когда определитель связанной матрицы равен нулю – тогда и только тогда, когда матрица вырождена , и, соответственно, вырожденные формы также называются вырожденными формами . Аналогично, невырожденная форма – это та, для которой связанная матрица невырождена , и, соответственно, невырожденные формы также называются невырожденными формами . Эти утверждения не зависят от выбранного базиса.

Если для квадратичной формы Q существует ненулевой вектор v ∈ V такой, что Q ( v ) = 0, то Q является изотропной квадратичной формой . Если Q имеет одинаковый знак для всех ненулевых векторов, то это определенная квадратичная форма или анизотропная квадратичная форма .

Существует тесно связанное понятие унимодулярной формы и совершенного спаривания ; они согласуются над полями , но не над общими кольцами .

Изучение действительных квадратичных алгебр показывает различие между типами квадратичных форм. Произведение zz * является квадратичной формой для каждого из комплексных чисел , расщепленных комплексных чисел и дуальных чисел . Для z = x + ε y дуальная форма числа равна x ² , которая является вырожденной квадратичной формой . Случай расщепленного комплекса является изотропной формой, а комплексный случай является определенной формой.

Наиболее важными примерами невырожденных форм являются скалярные произведения и симплектические формы. Симметричные невырожденные формы являются важными обобщениями скалярных произведений, в которых часто требуется только, чтобы отображение было изоморфизмом, а не положительностью. Например, многообразие со структурой скалярного произведения на его касательных пространствах является римановым многообразием, в то время как ослабление его до симметричной невырожденной формы дает псевдориманово многообразие.${\displaystyle V\to V^{*}}$

Обратите внимание, что в бесконечномерном пространстве мы можем иметь билинейную форму ƒ, для которой инъективна , но не сюръективна . Например, на пространстве непрерывных функций на замкнутом ограниченном интервале форма ${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=\int \psi (x)\phi (x)\,dx}$

не является сюръективным: например, функционал Дирака дельта находится в дуальном пространстве, но не имеет требуемой формы. С другой стороны, эта билинейная форма удовлетворяет

${\displaystyle f(\phi,\psi)=0}$для всех подразумевается, что${\displaystyle \фи}$${\displaystyle \psi =0.\,}$

В таком случае, когда ƒ удовлетворяет инъективности (но не обязательно сюръективности), ƒ называется слабо невырожденным .

Если f тождественно равен нулю на всех векторах, то говорят, что он полностью вырожден . Для любой билинейной формы f на V множество векторов

${\displaystyle \{x\in V\mid f(x,y)=0{\mbox{ для всех }}y\in V\}}$

образует полностью вырожденное подпространство V. Отображение f невырождено тогда и только тогда, когда это подпространство тривиально .

Геометрически изотропная линия квадратичной формы соответствует точке ассоциированной квадратичной гиперповерхности в проективном пространстве . Такая линия дополнительно изотропна для билинейной формы тогда и только тогда, когда соответствующая точка является особенностью . Следовательно, над алгебраически замкнутым полем Nullstellensatz Гильберта гарантирует, что квадратичная форма всегда имеет изотропные линии, в то время как билинейная форма имеет их тогда и только тогда, когда поверхность является особенностью.

• Неопределенное внутреннее пространство произведения  – обобщение гильбертова пространства с неопределенной сигнатуройСтраницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Двойная система
• Линейная форма  – Линейное отображение из векторного пространства в его поле скаляров.