Представление перестановки

В математике термин перестановочное представление (обычно конечной) группы может относиться к одному из двух тесно связанных понятий: представление как группы перестановок или как группы матриц перестановок . Термин также относится к комбинации этих двух. Г {\displaystyle G} Г {\displaystyle G}

Абстрактное представление перестановки

Перестановочное представление группы на множестве — это гомоморфизм из в симметрическую группу : Г {\displaystyle G} Х {\displaystyle X} Г {\displaystyle G} Х {\displaystyle X}

ρ : Г → Сим ⁡ ( Х ) . {\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {Sym} (X).}

Изображение представляет собой группу перестановок , а элементы представлены как перестановки . [1] Представление перестановки эквивалентно действию на множестве : ρ ( Г ) ⊂ Сим ⁡ ( Х ) {\displaystyle \rho (G)\subset \operatorname {Sym} (X)} Г {\displaystyle G} Х {\displaystyle X} Г {\displaystyle G} Х {\displaystyle X}

Г × Х → Х . {\displaystyle G\times X\to X.}

Более подробную информацию смотрите в статье о групповых действиях .

Линейное представление перестановки

Если — группа перестановок степени , то представление перестановки — это линейное представление Г {\displaystyle G} н {\displaystyle n} Г {\displaystyle G} Г {\displaystyle G}

ρ : Г → ГЛ н ⁡ ( К ) {\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {GL} _{n}(K)}

которая отображается в соответствующую матрицу перестановки (здесь — произвольное поле ). [2] То есть, действует путем перестановки стандартных базисных векторов. г ∈ Г {\displaystyle g\in G} К {\displaystyle К} Г {\displaystyle G} К н {\displaystyle К^{н}}

Это понятие представления перестановки, конечно, может быть составлено с предыдущим для представления произвольной абстрактной группы как группы матриц перестановки. Сначала представляем как группу перестановки, а затем отображаем каждую перестановку в соответствующую матрицу. Представляя как группу перестановки, действующую на себя посредством трансляции , получаем регулярное представление . Г {\displaystyle G} Г {\displaystyle G} Г {\displaystyle G}

Характер перестановочного представления

Если заданы группа и конечное множество с действующим на множестве , то характер представления перестановки — это в точности число неподвижных точек под действием на . То есть число точек , неподвижных под действием . Г {\displaystyle G} Х {\displaystyle X} Г {\displaystyle G} Х {\displaystyle X} χ {\displaystyle \чи} Х {\displaystyle X} ρ ( г ) {\displaystyle \rho (г)} Х {\displaystyle X} χ ( г ) = {\displaystyle \чи (г)=} Х {\displaystyle X} ρ ( г ) {\displaystyle \rho (г)}

Это следует из того, что если мы представим карту матрицей с базисом, определенным элементами , то получим матрицу перестановок . Теперь характер этого представления определяется как след этой матрицы перестановок. Элемент на диагонали матрицы перестановок равен 1, если точка в фиксирована, и 0 в противном случае. Таким образом, мы можем заключить, что след матрицы перестановок в точности равен числу фиксированных точек . ρ ( г ) {\displaystyle \rho (г)} Х {\displaystyle X} Х {\displaystyle X} Х {\displaystyle X} Х {\displaystyle X}

Например, если и характер представления перестановки можно вычислить с помощью формулы, то число точек фиксировано . Так что Г = С 3 {\displaystyle G=S_{3}} Х = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle X=\{1,2,3\}} χ ( г ) = {\displaystyle \чи (г)=} Х {\displaystyle X} г {\displaystyle г}

χ ( ( 12 ) ) = тр ⁡ ( [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] ) = 1 {\displaystyle \chi ((12))=\operatorname {tr} ({\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}})=1} так как только 3 зафиксировано
χ ( ( 123 ) ) = тр ⁡ ( [ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ] ) = 0 {\displaystyle \chi ((123))=\operatorname {tr} ({\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}})=0} поскольку никакие элементы не являются фиксированными, и Х {\displaystyle X}
χ ( 1 ) = тр ⁡ ( [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] ) = 3 {\displaystyle \chi (1)=\operatorname {tr} ({\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}})=3} поскольку каждый элемент фиксирован. Х {\displaystyle X}

Ссылки

  1. ^ Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (2012-12-06). Группы перестановок. Springer Science & Business Media. стр. 5–6. ISBN 9781461207313.
  2. ^ Робинсон, Дерек Дж. С. (2012-12-06). Курс теории групп. Springer Science & Business Media. ISBN 9781468401288.
  • https://mathoverflow.net/questions/286393/how-do-i-know-if-an-irreducible-representation-is-a-permutation-representation
Значок заглушки

Эта статья по теме «Абстрактная алгебра» — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Представление_перестановки&oldid=996269084"