Множитель (анализ Фурье)

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Февраль 2016 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В анализе Фурье оператор умножения является типом линейного оператора или преобразования функций . Эти операторы действуют на функцию, изменяя ее преобразование Фурье . В частности, они умножают преобразование Фурье функции на указанную функцию, известную как множитель или символ . Иногда сам термин оператор умножения сокращается просто до множителя . ^[1] Проще говоря, множитель изменяет частоты, участвующие в любой функции. Этот класс операторов оказывается широким: общая теория показывает, что инвариантный относительно трансляции оператор на группе , которая подчиняется некоторым (очень мягким) условиям регулярности, может быть выражен как оператор умножения, и наоборот. ^[2] Многие знакомые операторы, такие как переводы и дифференцирование , являются операторами умножения, хотя есть и много более сложных примеров, таких как преобразование Гильберта .

В обработке сигналов оператор умножения называется « фильтром », а умножитель — это частотная характеристика фильтра (или передаточная функция ).

В более широком контексте операторы множителя являются частными случаями спектральных операторов множителя, которые возникают из функционального исчисления оператора (или семейства коммутирующих операторов). Они также являются частными случаями псевдодифференциальных операторов и, в более общем смысле, интегральных операторов Фурье . В этой области есть естественные вопросы, которые все еще остаются открытыми, такие как характеристика операторов ограниченного множителя L ^p (см. ниже).

Операторы умножения не связаны с множителями Лагранжа , за исключением того, что они оба включают операцию умножения.

Для необходимой справочной информации о преобразовании Фурье см. эту страницу. Дополнительную важную справочную информацию можно найти на страницах норма оператора и пространство L ^p .

В случае периодических функций, определенных на единичной окружности , преобразование Фурье функции — это просто последовательность ее коэффициентов Фурье . Чтобы увидеть, что дифференцирование можно реализовать как множитель, рассмотрим ряд Фурье для производной периодической функции. После использования интегрирования по частям в определении коэффициента Фурье имеем, что${\displaystyle f(t).}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f')(n)=\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)e^{-int}\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }(in)f(t)e^{-int}\,dt=in\cdot {\mathcal {F}}(f)(n)}$.

Итак, формально, следует, что ряд Фурье для производной — это просто ряд Фурье для , умноженный на фактор . Это то же самое, что сказать, что дифференцирование — это оператор множителя с множителем .${\displaystyle f}$${\displaystyle в}$${\displaystyle в}$

Примером оператора умножения, действующего на функции на действительной прямой, является преобразование Гильберта . Можно показать, что преобразование Гильберта является оператором умножения, множитель которого задается выражением , где sgn — знаковая функция .${\displaystyle m(\xi )=-i\operatorname {sgn} (\xi )}$

Наконец, еще одним важным примером множителя является характеристическая функция единичного куба, в которой она возникает при изучении «частичных сумм» для преобразования Фурье (см. Сходимость рядов Фурье ).${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Операторы умножения могут быть определены на любой группе G, для которой также определено преобразование Фурье (в частности, на любой локально компактной абелевой группе ). Общее определение таково. Если — достаточно регулярная функция , то обозначим ее преобразование Фурье (где — функция Понтрягина, двойственная к G ). Обозначим другую функцию, которую мы будем называть множителем . Тогда оператор умножения , связанный с этим символом m , определяется по формуле${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\hat {f}}:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\шляпа {G}}}$${\displaystyle m:{\hat {G}}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle T=T_{м}}$

${\displaystyle {\widehat {Tf}}(\xi):=m(\xi){\hat {f}}(\xi).}$

Другими словами, преобразование Фурье Tf на частоте ξ задается преобразованием Фурье f на этой частоте, умноженным на значение множителя на этой частоте. Это объясняет термин «множитель».

Обратите внимание, что приведенное выше определение определяет Tf только неявно; для того чтобы восстановить Tf явно, нужно инвертировать преобразование Фурье. Это можно легко сделать, если и f, и m достаточно гладкие и интегрируемые. Одна из основных проблем в этой теме — определить для любого заданного множителя m , продолжает ли соответствующий оператор множителя Фурье быть хорошо определенным, когда f имеет очень низкую регулярность, например, если предполагается, что он лежит в пространстве L ^p . См. обсуждение «проблемы ограниченности» ниже. Как минимум, обычно требуется, чтобы множитель m был ограничен и измерим ; этого достаточно, чтобы установить ограниченность на , но в общем случае недостаточно, чтобы дать ограниченность на других пространствах.${\displaystyle L^{2}}$

Оператор умножения T можно рассматривать как композицию трех операторов, а именно преобразования Фурье, операции поточечного умножения на m и обратного преобразования Фурье. Эквивалентно, T является сопряжением оператора поточечного умножения с помощью преобразования Фурье. Таким образом, операторы умножения можно рассматривать как операторы, которые диагонализируются преобразованием Фурье.

Теперь мы конкретизируем приведенное выше общее определение для конкретных групп G. Сначала рассмотрим функции единичной окружности на G, которые, таким образом, можно рассматривать как 2π-периодические функции на действительной прямой. В этой группе двойственная функция Понтрягина является группой целых чисел, Преобразование Фурье (для достаточно регулярных функций f ) задается как${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z};}$${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {Z} .}$

${\displaystyle {\hat {f}}(n):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}dt}$

и обратное преобразование Фурье определяется как

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(n)e^{int}.}$

Множитель в этой настройке — это просто последовательность чисел, а оператор, связанный с этим множителем, затем задается формулой${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$${\displaystyle T=T_{м}}$

${\displaystyle (Tf)(t):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int},}$

по крайней мере, для достаточно правильного выбора множителя и функции f .${\displaystyle (m_{n})_{n=-\infty }^{\infty }}$

Пусть теперь G — евклидово пространство . Здесь двойственная группа также евклидова, а преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье задаются формулами${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle {\begin{align}{\hat {f}}(\xi ):={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }dx\\f(x)={}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi .\end{align}}}$

Множитель в этой настройке является функцией , а связанный с ней оператор множителя определяется как${\displaystyle m:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$${\displaystyle T=T_{м}}$

${\displaystyle Tf(x):=\int _ {\mathbb {R} ^{n}}m(\xi){\hat {f}}(\xi)e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi,}$

снова предполагая достаточно сильные предположения о регулярности и ограниченности множителя и функции.

В смысле распределений нет разницы между операторами умножения и операторами свертки ; каждый множитель T также может быть выражен в виде Tf = f ∗ K для некоторого распределения K , известного как ядро ​​свертки T. С этой точки зрения, перенос на величину x ₀ является сверткой с дельта-функцией Дирака δ(· −  x _{0 ), дифференцирование является сверткой с δ'. Дополнительные} примеры приведены в таблице ниже.

В следующей таблице приведены некоторые общие примеры операторов умножения на единичной окружности.${\displaystyle G=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .}$

Имя	Множитель,${\displaystyle m_{n}}$	Оператор,${\displaystyle Tf(t)}$	Ядро,${\displaystyle К(т)}$
Оператор идентификации	1	ф ( т )	Дельта-функция Дирака ${\displaystyle \дельта (т)}$
Умножение на константу c	с	ср ( т )	${\displaystyle c\дельта (t)}$
Перевод s	${\displaystyle e^{-ins}}$	ф ( т  −  с )	${\displaystyle \delta (ts)}$
Дифференциация	в	${\displaystyle f'(t)}$	${\displaystyle \delta '(t)}$
k -кратная дифференциация	${\displaystyle (в)^{к}}$	${\displaystyle f^{(k)}(t)}$	${\displaystyle \delta ^{(k)}(t)}$
Дифференциальный оператор с постоянным коэффициентом	${\displaystyle P(дюйм)}$	${\displaystyle P\left({\frac {d}{dt}}\right)f(t)}$	${\displaystyle P\left({\frac {d}{dt}}\right)\delta (t)}$
Дробная производная порядка${\displaystyle \альфа}$	${\displaystyle |n|^{\альфа}}$	${\displaystyle \left|{\frac {d}{dt}}\right|^{\alpha }f(t)}$	${\displaystyle \left|{\frac {d}{dt}}\right|^{\alpha }\delta (t)}$
Среднее значение	${\displaystyle 1_{n=0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,dt}$	1
Компонент, свободный от среднего	${\displaystyle 1_{n\neq 0}}$	${\displaystyle f(t)-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,dt}$	${\displaystyle \delta (t)-1}$
Интеграция (свободной от среднего компоненты)	${\displaystyle {\frac {1}{in}}1_{n\neq 0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(\pi -s)f(t-s)\,ds}$	Функция пилообразной формы ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1-\left\{{\frac {t}{2\pi }}\right\}\right)}$
Периодическое преобразование Гильберта H	${\displaystyle 1_{n\geq 0}-1_{n<0}}$	${\displaystyle Hf:=p.v.{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {f(s)}{e^{i(t-s)}-1}}\,ds}$	${\displaystyle p.v.2{\frac {f(s)}{e^{i(t-s)}-1}}\,ds}$
суммирование Дирихле${\displaystyle D_{N}}$	${\displaystyle 1_{-N\leq n\leq N}}$	${\displaystyle \sum _{n=-N}^{N}{\hat {f}}(n)e^{int}}$	ядро Дирихле ${\displaystyle {\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}t\right)}}}$
Подведение итогов по Фейеру${\displaystyle F_{N}}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {|n|}{N}}\right)1_{-N\leq n\leq N}}$	${\displaystyle \sum _{n=-N}^{N}\left(1-{\frac {|n|}{N}}\right){\hat {f}}(n)e^{int}}$	ядро фейера ${\displaystyle {\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}Nt\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}t\right)}}\right)^{2}}$
Общий множитель	${\displaystyle m_{n}}$	${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}{\hat {f}}(n)e^{int}}$	${\displaystyle T\delta (t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }m_{n}e^{int}}$
Общий оператор свертки	${\displaystyle {\hat {K}}(n)}$	${\displaystyle f*K(t):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(s)K(t-s)\,ds}$	${\displaystyle K(t)}$

В следующей таблице приведены некоторые общие примеры операторов умножения в евклидовом пространстве .${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$

Имя	Множитель,${\displaystyle m(\xi )}$	Оператор,${\displaystyle Tf(x)}$	Ядро,${\displaystyle K(x)}$
Оператор идентификации	1	ж ( х )	${\displaystyle \delta (x)}$
Умножение на константу c	с	ср ( х )	${\displaystyle c\delta (x)}$
Перевод y	${\displaystyle e^{2\pi iy\cdot \xi }}$	${\displaystyle f(x-y)}$	${\displaystyle \delta (x-y)}$
Производная (только одно измерение)${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$	${\displaystyle 2\pi i\xi }$	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x)}$	${\displaystyle \delta '(x)}$
Частичная производная${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$	${\displaystyle 2\pi i\xi _{j}}$	${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(x)}$	${\displaystyle {\frac {\partial \delta }{\partial x_{j}}}(x)}$
Лапласиан ${\displaystyle \Delta }$	${\displaystyle -4\pi ^{2}|\xi |^{2}}$	${\displaystyle \Delta f(x)}$	${\displaystyle \Delta \delta (x)}$
Дифференциальный оператор с постоянным коэффициентом${\displaystyle P(\nabla )}$	${\displaystyle P(i\xi )}$	${\displaystyle P(\nabla )f(x)}$	${\displaystyle P(\nabla )\delta (x)}$
Дробная производная порядка${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle (2\pi |\xi |)^{\alpha }}$	${\displaystyle (-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}f(x)}$	${\displaystyle (-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\delta (x)}$
Рисс потенциал порядка${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle (2\pi |\xi |)^{-\alpha }}$	${\displaystyle (-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}f(x)}$	${\displaystyle (-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}\delta (x)=c_{n,\alpha }|x|^{\alpha -n}}$
Потенциал Бесселя порядка${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \left(1+4\pi ^{2}|\xi |^{2}\right)^{-{\frac {\alpha }{2}}}}$	${\displaystyle (1-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}}f(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{(4\pi )^{\frac {\alpha }{2}}\Gamma \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\pi }{s}}|x|^{2}}e^{-{\frac {s}{4\pi }}}s^{\frac {-n+\alpha }{2}}{\frac {ds}{s}}}$
Оператор теплового потока${\displaystyle \exp(t\Delta )}$	${\displaystyle \exp \left(-4\pi ^{2}t|\xi |^{2}\right)}$	${\displaystyle \exp(t\Delta )f(x)={\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-{\frac {|x-y|^{2}}{4t}}}f(y)\,dy}$	Тепловое ядро ${\displaystyle {\frac {1}{(4\pi t)^{\frac {n}{2}}}}e^{-{\frac {|x|^{2}}{4t}}}}$
Оператор эволюции уравнения Шредингера${\displaystyle \exp(it\Delta )}$	${\displaystyle \exp \left(-i4\pi ^{2}t|\xi |^{2}\right)}$	${\displaystyle \exp(it\Delta )f(x)={\frac {1}{(4\pi it)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i{\frac {|x-y|^{2}}{4t}}}f(y)\,dy}$	ядро Шредингера${\displaystyle {\frac {1}{(4\pi it)^{\frac {n}{2}}}}e^{i{\frac {|x|^{2}}{4t}}}}$
Преобразование Гильберта H (только одно измерение)	${\displaystyle -i\operatorname {sgn}(\xi )}$	${\displaystyle Hf:=p.v.{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(y)}{x-y}}\,dy}$	${\displaystyle p.v.{\frac {1}{\pi x}}}$
Преобразования Рисса R j	${\displaystyle -i{\frac {\xi _{j}}{|\xi |}}}$	${\displaystyle R_{j}f:=p.v.c_{n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)(x_{j}-y_{j})}{|x-y|^{n+1}}}\,dy}$	${\displaystyle p.v.{\frac {c_{n}x_{j}}{|x|^{n+1}}},\quad c_{n}={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}(n+1)\right)}{\pi ^{{\frac {1}{2}}(n+1)}}}}$
Частичный интеграл Фурье (только одно измерение)${\displaystyle S_{R}^{0}}$	${\displaystyle 1_{-R\leq \xi \leq R}}$	${\displaystyle \int _{-R}^{R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }dx}$	${\displaystyle {\frac {\sin(2\pi Rx)}{\pi x}}}$
Дисковый множитель${\displaystyle S_{R}^{0}}$	${\displaystyle 1_{|\xi |\leq R}}$	${\displaystyle \int _{|\xi |\leq R}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\xi }dx}$	${\displaystyle |x|^{-{\frac {n}{2}}}J_{\frac {n}{2}}(2\pi |x|)}$( J — функция Бесселя )
Операторы Бохнера–Рисса ${\displaystyle S_{R}^{\delta }}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }}$	${\displaystyle \int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)^{\delta }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\ d\xi }$	${\displaystyle \int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)^{\delta }e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi }$
Общий множитель	${\displaystyle m(\xi )}$	${\displaystyle \int _{R^{n}}m(\xi ){\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\xi }$	${\displaystyle \int _{R^{n}}m(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\ d\xi }$
Общий оператор свертки	${\displaystyle {\hat {K}}(\xi )}$	${\displaystyle f*K(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)K(x-y)\,dy}$	${\displaystyle K(x)}$

Отображение является гомоморфизмом C *-алгебр . Это следует из того, что сумма двух операторов умножения и является оператором умножения с множителем , композиция этих двух операторов умножения является оператором умножения с множителем , а сопряженный оператор умножения является другим оператором умножения с множителем .${\displaystyle m\mapsto T_{m}}$${\displaystyle T_{m}}$${\displaystyle T_{m'}}$${\displaystyle m+m'}$${\displaystyle mm',}$${\displaystyle T_{m}}$${\displaystyle {\overline {m}}}$

В частности, мы видим, что любые два оператора-множителя коммутируют друг с другом. Известно, что операторы-множители инвариантны относительно трансляции. Обратно, можно показать, что любой инвариантный относительно трансляции линейный оператор, ограниченный на L ² ( G ), является оператором-множителем.

Проблема ограниченности L ^p (для любого конкретного p ) для данной группы G , если говорить просто, заключается в определении множителей m таких, что соответствующий оператор множителя ограничен от L ^p ( G ) до L ^p ( G ). Такие множители обычно просто называют « множителями L ^p ». Обратите внимание, что поскольку операторы множителя всегда линейны, такие операторы ограничены тогда и только тогда, когда они непрерывны . Эта проблема считается чрезвычайно сложной в общем случае, но можно рассмотреть множество особых случаев. Проблема сильно зависит от p , хотя существует соотношение двойственности : если и 1 ≤ p , q ≤ ∞, то оператор множителя ограничен на L ^p тогда и только тогда, когда он ограничен на L ^q .${\displaystyle 1/p+1/q=1}$

Теорема Рисса -Торина показывает, что если оператор множителя ограничен на двух различных пространствах L ^p , то он также ограничен на всех промежуточных пространствах. Отсюда мы получаем, что пространство множителей наименьшее для L ¹ и L ^∞ и растет по мере приближения к L ² , которое имеет наибольшее пространство множителей.

Это самый простой случай. Теорема Парсеваля позволяет полностью решить эту задачу и получить, что функция m является мультипликатором L ² ( G ) тогда и только тогда, когда она ограничена и измерима.

Этот случай сложнее, чем случай Гильберта ( L ² ), но полностью решен. Верно следующее:

Теорема : В евклидовом пространстве функция является множителем L ¹ (эквивалентно множителем L ^∞ ) тогда и только тогда, когда существует конечная борелевская мера μ такая, что m является преобразованием Фурье μ.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle m(\xi )}$

(Часть «если» представляет собой простой расчет. Часть «только если» здесь более сложная.)

В этом общем случае необходимые и достаточные условия ограниченности не установлены даже для евклидова пространства или единичной окружности. Однако известно несколько необходимых условий и несколько достаточных условий. Например, известно, что для того, чтобы оператор множителя был ограничен хотя бы на одном пространстве L ^p , множитель должен быть ограничен и измерим (это следует из характеристики множителей L ² выше и свойства включения). Однако этого недостаточно, за исключением случая, когда p = 2.

Результаты, дающие достаточные условия ограниченности, известны как теоремы о множителях . Ниже приведены три таких результата.

Пусть — ограниченная функция, которая непрерывно дифференцируема на каждом множестве вида ^{[ необходимо разъяснение ]} для и имеет производную такую, что${\displaystyle m:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \left(-2^{j+1},-2^{j}\right)\cup \left(2^{j},2^{j+1}\right)}$${\displaystyle j\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sup _{j\in \mathbb {Z} }\left(\int _{-2^{j+1}}^{-2^{j}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi +\int _{2^{j}}^{2^{j+1}}\left|m'(\xi )\right|\,d\xi \right)<\infty .}$

Тогда m является множителем L ^p для всех 1 < p < ∞.

Пусть m — ограниченная функция, на которой гладкая, за исключением, возможно, начала координат, и такая, что функция ограничена для всех целых чисел : тогда m является множителем L ^p для всех 1 < p < ∞ .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\textstyle |x|^{k}\left|\nabla ^{k}m\right|}$${\textstyle 0\leq k\leq {\frac {n}{2}}+1}$

Это частный случай теоремы Хёрмандера-Михлина о множителях.

Доказательства этих двух теорем довольно сложны и включают методы теории Кальдерона–Зигмунда и интерполяционной теоремы Марцинкевича : оригинальное доказательство см. в Михлин (1956) или Михлин (1965, стр. 225–240).

Для радиальных множителей известно необходимое и достаточное условие ограниченности для некоторого частичного диапазона . Пусть и . Предположим, что — радиальный множитель, компактно носитель которого находится вне начала координат. Тогда является множителем тогда и только тогда, когда преобразование Фурье принадлежит .${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n\geq 4}$${\textstyle 1<p<2{\frac {n-1}{n+1}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$

Это теорема Хео, Назарова и Сигера . ^[3] Они также предоставили необходимое и достаточное условие, которое справедливо без предположения о компактности носителя на .${\displaystyle m}$

Переводы являются ограниченными операторами на любом L ^p . Дифференцирование не ограничено на любом L ^p . Преобразование Гильберта ограничено только для p строго между 1 и ∞. Тот факт, что оно неограничено на L ^{∞ ,} прост, поскольку хорошо известно, что преобразование Гильберта ступенчатой ​​функции неограничено. Двойственность дает то же самое для p = 1 . Однако обе теоремы Марцинкевича и Михлина о множителях показывают, что преобразование Гильберта ограничено в L ^p для всех 1 < p < ∞ .

Другой интересный случай на единичной окружности — это когда последовательность , предлагаемая в качестве множителя, является постоянной для n в каждом из множеств и Из теоремы Марцинкевича о множителях (адаптированной к контексту единичной окружности) мы видим, что любая такая последовательность (конечно, также предполагаемая ограниченной) ^{[ необходимо разъяснение ]} является множителем для каждого 1 < p < ∞ .${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle \left\{2^{n},\ldots ,2^{n+1}-1\right\}}$${\displaystyle \left\{-2^{n+1}+1,\ldots ,-2^{n}\right\}.}$

В одном измерении оператор дискового множителя (см. таблицу выше) ограничен на L ^p для каждого 1 < p < ∞ . Однако в 1972 году Чарльз Фефферман показал удивительный результат, что в двух и более измерениях оператор дискового множителя неограничен на L ^p для каждого p ≠ 2 . Соответствующая проблема для множителей Бохнера–Рисса решена лишь частично; см. также гипотезу Бохнера–Рисса .${\displaystyle S_{R}^{0}}$${\displaystyle S_{R}^{0}}$

• Лемма Кальдерона–Зигмунда
• Теорема Марцинкевича
• Сингулярные интегралы
• Сингулярные интегральные операторы типа свертки

• Duoandikoetxea, Javier (2001), Анализ Фурье , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2172-5
• Стайн, Элиас М. (1970), Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций , Princeton University Press

• Графакос, Лукас (2008), Классический анализ Фурье (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-09431-1
• Кацнельсон, Ицхак (2004), Введение в гармонический анализ , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54359-0
• Хермандер, Ларс (1960), «Оценки для операторов, инвариантных относительно трансляции, в пространствах L ^p », Acta Mathematica , 104 : 93–140, doi : 10.1007/bf02547187
• Хермандер, Ларс (1990), Анализ линейных частных дифференциальных операторов, I. Теория распределений и анализ Фурье (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52343-X
• Михлин, Соломон Г. (1956), «О мультипликаторах интегралов Фурье», Доклады Академии наук СССР , 109 : 701–703, Збл  0073.08402(на русском языке ).
• Михлин, Соломон Г. (1965), Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения , Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, т. 83, Pergamon Press , Zbl  0129.07701. Он содержит всесторонний обзор всех результатов, известных на момент публикации, включая краткий исторический обзор.
• Рудин, Вальтер (1962), Анализ Фурье на группах , Interscience
• Торчинский, Альберто (2004), Методы действительных переменных в гармоническом анализе , Довер, ISBN 0-486-43508-3