Лемма Кальдерона–Зигмунда

В математике лемма Кальдерона –Зигмунда является фундаментальным результатом в анализе Фурье , гармоническом анализе и сингулярных интегралах . Она названа в честь математиков Альберто Кальдерона и Антонио Зигмунда .

Для заданной интегрируемой функции f   : R ^d → C , где R ^d обозначает евклидово пространство , а C обозначает комплексные числа , лемма дает точный способ разбиения R ^d на два множества : одно, где f существенно мало; другое — счетный набор кубов, где f существенно велико, но где сохраняется некоторый контроль над функцией.      

Это приводит к соответствующему разложению Кальдерона–Зигмунда функции f , где f записывается как сумма «хороших» и «плохих» функций, с использованием приведенных выше наборов.    

Пусть f   : R ^d → C интегрируема и α — положительная константа. Тогда существует открытое множество Ω такое, что: 

(1) Ω — это несвязное объединение открытых кубов, Ω = ∪ _k Q _k , такое, что для каждого Q _k ,

${\displaystyle \альфа \leq {\frac {1}{m(Q_{k})}}\int _{Q_{k}}|f(x)|\,dx\leq 2^{d}\альфа .}$

(2) |  f  ( x )| ≤ α почти всюду в дополнении F к Ω .

Здесь обозначает меру множества .${\displaystyle m(Q_{k})}$${\displaystyle Q_{k}}$

Учитывая f, как указано выше, мы можем записать f как сумму "хорошей" функции g и "плохой" функции b , f   = g + b . Для этого мы определяем     

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}f(x),&x\in F,\\{\frac {1}{m(Q_{j})}}\int _{Q_{j}}f(t)\,dt,&x\in Q_{j},\end{cases}}}$

и пусть b =   f   − g . Следовательно, имеем, что

${\displaystyle b(x)=0,\ x\in F}$

${\displaystyle {\frac {1}{m(Q_{j})}}\int _{Q_{j}}b(x)\,dx=0}$

для каждого куба Q _j .

Функция b , таким образом, поддерживается на наборе кубов, где f может быть «большим», но имеет то полезное свойство, что ее среднее значение равно нулю на каждом из этих кубов. Между тем, | g ( x )| ≤ α для почти каждого x в F , и на каждом кубе в Ω , g равно среднему значению f по этому кубу, которое в зависимости от выбранного покрытия не больше 2 ^d α .    

• Сингулярные интегральные операторы типа свертки , для доказательства и применения леммы в одном измерении.
• Лемма восходящего солнца

• Кальдерон А.П., Зигмунд А. (1952), «О существовании некоторых сингулярных интегралов», Acta Math , 88 : 85–139, doi : 10.1007/BF02392130 , S2CID  121580197{{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Хермандер, Ларс (1990), Анализ линейных частных дифференциальных операторов, I. Теория распределений и анализ Фурье (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52343-X
• Stein, Elias (1970). "Главы I–II". Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций . Princeton University Press. ISBN 9780691080796.