Радиальная функция

В математике радиальная функция — это вещественная функция, определенная на евклидовом пространстве ,${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ значение которой в каждой точке зависит только от расстояния между этой точкой и началом координат . Расстояние обычно равно евклидову расстоянию . Например, радиальная функция Φ в двух измерениях имеет вид ^[1], где φ — функция одной неотрицательной вещественной переменной. Радиальные функции противопоставляются сферическим функциям , и любая функция спуска (например, непрерывная и быстро убывающая ) на евклидовом пространстве может быть разложена в ряд, состоящий из радиальных и сферических частей: твердое сферическое гармоническое разложение.$${\displaystyle \Phi (x,y)=\varphi (r),\quad r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$

Функция является радиальной тогда и только тогда, когда она инвариантна относительно всех вращений, оставляющих начало координат неподвижным. То есть, f является радиальной тогда и только тогда, когда для всех ρ ∈ SO( n ) , специальной ортогональной группы в n измерениях. Эта характеристика радиальных функций позволяет также определить радиальные распределения . Это распределения S на ⁠ ⁠ такие, что для каждой тестовой функции φ и вращения ρ .$${\displaystyle f\circ \rho =f\,}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle S[\varphi ]=S[\varphi \circ \rho ]}$$

Для любой (локально интегрируемой) функции f ее радиальная часть задается путем усреднения по сферам с центром в начале координат. А именно, где ω _{n −1} — площадь поверхности ( n −1)-сферы S ^{n −1} , и r = | x | , x ′ = x / r . По сути, из теоремы Фубини следует , что локально интегрируемая функция имеет хорошо определенную радиальную часть почти при каждом r .$${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{S^{n-1}}f(rx')\,dx'}$$

Преобразование Фурье радиальной функции также является радиальным, и поэтому радиальные функции играют важную роль в анализе Фурье . Кроме того, преобразование Фурье радиальной функции обычно имеет более сильное поведение затухания на бесконечности, чем нерадиальные функции: для радиальных функций, ограниченных в окрестности начала координат, преобразование Фурье затухает быстрее, чем R ^{−( n −1)/2} . Функции Бесселя представляют собой особый класс радиальных функций, которые естественным образом возникают в анализе Фурье как радиальные собственные функции лапласиана ; как таковые они естественным образом появляются как радиальная часть преобразования Фурье.

• Радиальная базисная функция

• Стайн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.