Теорема Рисса–Торина

В математике теорема Рисса–Торина , часто называемая интерполяционной теоремой Рисса–Торина или теоремой о выпуклости Рисса–Торина , является результатом об интерполяции операторов . Она названа в честь Марселя Рисса и его ученика Г. Олофа Торина .

Эта теорема ограничивает нормы линейных отображений, действующих между пространствами L ^p . Ее полезность вытекает из того факта, что некоторые из этих пространств имеют более простую структуру, чем другие. Обычно это относится к L ² , которое является гильбертовым пространством , или к L ¹ и L ^∞ . Поэтому можно доказать теоремы о более сложных случаях, доказав их в двух простых случаях, а затем используя теорему Рисса–Торина для перехода от простых случаев к сложным. Теорема Марцинкевича похожа, но применима также к классу нелинейных отображений.

Для начала нам понадобится следующее определение:

Определение. Пусть p ₀ , p ₁ — два числа, такие, что 0 < p ₀ < p ₁ ≤ ∞ . Тогда для 0 < θ < 1 определим p _θ следующим образом: ⁠ 1/р _θ⁠ = ⁠1 − θ/р ₀⁠ + ⁠θ/стр ₁⁠ .

Разложив функцию f в L ^{p _θ} как произведение |  f  | = |  f  | ^{1− θ} |  f  | ^θ и применив неравенство Гёльдера к его степени p _θ , мы получаем следующий результат, основополагающий в изучении L ^p -пространств:  

Предложение (логарифмическая выпуклость L ^p -норм)  —  Каждая f   ∈ L ^{p ₀} ∩ L ^{p ₁} удовлетворяет:  

$${\displaystyle \|f\|_{p_{\theta }}\leq \|f\|_{p_{0}}^{1-\theta }\|f\|_{p_{1}}^{\theta }.}$$

1

Этот результат, название которого происходит от выпуклости отображения 1 ⁄ p ↦ log ||  f  || _p на [0, ∞] , подразумевает, что L ^{p ₀} ∩ L ^{p ₁} ⊂ L ^{p _θ} .

С другой стороны, если мы возьмем разложение в виде слоеного пирога f   =   f 1 _{{| f |>1}} +   f 1 _{{| f |≤1}} , то мы увидим, что f 1 _{{| f |>1}} ∈ L ^{p ₀} и f 1 _{{| f |≤1}} ∈ L ^{p ₁} , откуда получаем следующий результат:  

^{_{В частности, из}} приведенного выше результата следует, что L ^{p _θ} включено в L ^{p ₀} + L ^{p ₁} , сумму L p ⁰ и L ^{p ₁} в пространстве всех измеримых функций. Поэтому мы имеем следующую цепочку включений:

На практике мы часто сталкиваемся с операторами , определенными на множестве сумм L ^{p ₀} + L ^{p ₁} . Например, лемма Римана–Лебега показывает, что преобразование Фурье отображает L ¹ ( R ^d ) ограниченно в L ^∞ ( R ^d ) , а теорема Планшереля показывает, что преобразование Фурье отображает L ² ( R ^d ) ограниченно в себя, следовательно, преобразование Фурье продолжается до ( L ¹ + L ² ) ( R ^d ) , полагая для всех f ₁   ∈ L ¹ ( R ^d ) и f ₂   ∈ L ² ( R ^d ) . Поэтому естественно исследовать поведение таких операторов на промежуточных подпространствах L ^{p _θ} .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$$${\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{1}+f_{2})={\mathcal {F}}_{L^{1}}(f_{1})+{\mathcal {F}}_{L^{2}}(f_{2})}$$  

Для этого вернемся к нашему примеру и заметим, что преобразование Фурье на множестве сумм L ¹ + L ² было получено путем взятия суммы двух экземпляров одного и того же оператора, а именно:$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{1}}:L^{1}(\mathbf {R} ^{d})\to L^{\infty }(\mathbf {R} ^ {д}),}$$$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{2}}:L^{2}(\mathbf {R} ^{d})\to L^{2}(\mathbf {R} ^{ г}).}$$

Это действительно один и тот же оператор, в том смысле, что они совпадают на подпространстве ( L ¹ ∩ L ² ) ( R ^d ) . Поскольку пересечение содержит простые функции , оно плотно как в L ¹ ( R ^d ), так и в L ² ( R ^d ) . Плотно определенные непрерывные операторы допускают уникальные расширения, и поэтому мы имеем полное право считать и одним и тем же .${\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{1}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{L^{2}}}$

Поэтому задача изучения операторов на множестве сумм L ^{p ₀} + L ^{p ₁} по существу сводится к изучению операторов, которые отображают два естественных пространства областей, L ^{p ₀} и L ^{p ₁} , ограниченно в два целевых пространства: L ^{q ₀} и L ^{q ₁} соответственно. Поскольку такие операторы отображают пространство сумм L ^{p ₀} + L ^{p ₁} в L ^{q ₀} + L ^{q ₁} , естественно ожидать, что эти операторы отображают промежуточное пространство L ^{p _θ} в соответствующее промежуточное пространство L ^{q _θ} .

Существует несколько способов сформулировать интерполяционную теорему Рисса–Торина; ^[1] чтобы соответствовать обозначениям в предыдущем разделе, мы будем использовать формулировку суммы множеств.

Интерполяционная теорема Рисса–Торина  .  Пусть (Ω ₁ , Σ ₁ , µ ₁ ) и ( Ω ₂ , Σ ₂ , µ ₂ ) являются σ -конечными пространствами с мерой. Предположим, 1 ≤ p ₀ , q ₀ , p ₁ , q ₁ ≤ ∞ , и пусть T  : L ^{p ₀} ( µ ₁ ) + L ^{p ₁} ( µ ₁ ) → L ^{q ₀} ( µ ₂ ) + L ^{q ₁} ( µ ₂ ) — линейный оператор , который ограниченно отображает L ^{p ₀} ( µ ₁ ) в L ^{q ₀} ( µ ₂ ) и L ^{p ₁} ( µ ₁ ) в L ^{q ₁} ( μ ₂ ) . Для 0 < θ < 1 пусть p _θ , q _θ определены как выше. Тогда T ограниченно отображает L ^{p _θ} ( μ ₁ ) в L ^{q _θ} ( μ ₂ ) и удовлетворяет оценке нормы оператора

$${\displaystyle \|T\|_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }.}$$

2

Другими словами, если T одновременно имеет тип ( p ₀ , q ₀ ) и тип ( p ₁ , q ₁ ) , то T имеет тип ( p _θ , q _θ ) для всех 0 < θ < 1 . Таким образом, теорема интерполяции поддается наглядному описанию. Действительно, диаграмма Рисса T представляет собой совокупность всех точек ( ⁠1/п⁠ , ⁠1/д⁠ ) ​​в единичном квадрате [0, 1] × [0, 1] такой, что T имеет тип ( p , q ) . Теорема интерполяции утверждает, что диаграмма Рисса для T является выпуклым множеством: если на диаграмме Рисса заданы две точки, то отрезок прямой, который их соединяет, также будет на диаграмме.

Теорема интерполяции была первоначально сформулирована и доказана Марселем Риссом в 1927 году. ^[2] Статья 1927 года устанавливает теорему только для нижнего треугольника диаграммы Рисса, а именно, с ограничением, что p ₀ ≤ q ₀ и p ₁ ≤ q ₁ . Олоф Торин распространил теорему интерполяции на весь квадрат, сняв ограничение нижнего треугольника. Доказательство Торина было первоначально опубликовано в 1938 году и впоследствии было расширено в его диссертации 1948 года. ^[3]

Сначала мы докажем результат для простых функций, а затем покажем, как аргумент можно распространить по плотности на все измеримые функции.

По симметрии предположим (случай тривиально следует из ( 1 )). Пусть будет простой функцией , то есть для некоторого конечного , и , . Аналогично, пусть обозначает простую функцию , а именно для некоторого конечного , и , .${\textstyle p_{0}<p_{1}}$${\textstyle p_{0}=p_{1}}$${\textstyle f}$$${\displaystyle f=\sum _{j=1}^{m}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}}$$${\textstyle m\in \mathbb {N} }$${\textstyle a_{j}=\left\vert a_{j}\right\vert \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha _{j}}\in \mathbb {C} }$${\textstyle A_{j}\in \Sigma _{1}}$${\textstyle j=1,2,\dots ,m}$${\textstyle g}$${\textstyle \Omega _{2}\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle g=\sum _{k=1}^{n}b_{k}\mathbf {1} _{B_{k}}}$$${\textstyle n\in \mathbb {N} }$${\textstyle b_{k}=\left\vert b_{k}\right\vert \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta _{k}}\in \mathbb {C} }$${\textstyle B_{k}\in \Sigma _{2}}$${\textstyle k=1,2,\dots ,n}$

Обратите внимание, что, поскольку мы предполагаем, что и являются -конечными метрическими пространствами, и для всех . Тогда, с помощью надлежащей нормализации, мы можем предположить, что и , причем и при , как определено в утверждении теоремы.${\textstyle \Omega _{1}}$${\textstyle \Omega _{2}}$${\textstyle \sigma }$${\textstyle f\in L^{r}(\mu _{1})}$${\textstyle g\in L^{r}(\mu _{2})}$${\textstyle r\in [1,\infty ]}$${\textstyle \lVert f\rVert _{p_{\theta }}=1}$${\textstyle \lVert g\rVert _{q_{\theta }'}=1}$${\textstyle q_{\theta }'=q_{\theta }(q_{\theta }-1)^{-1}}$${\textstyle p_{\theta }}$${\textstyle q_{\theta }}$

Далее мы определяем две комплексные функции Обратите внимание, что для и . Затем мы расширяем и так, чтобы они зависели от комплексного параметра следующим образом: так что и . Здесь мы неявно исключаем случай , что дает : В этом случае можно просто взять , независимо от , и следующий аргумент потребует лишь незначительных изменений.$${\displaystyle {\begin{aligned}u:\mathbb {C} &\to \mathbb {C} &v:\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\z&\mapsto u(z)={\frac {1-z}{p_{0}}}+{\frac {z}{p_{1}}}&z&\mapsto v(z)={\frac {1-z}{q_{0}}}+{\frac {z}{q_{1}}}.\end{aligned}}}$$${\textstyle z=\theta }$${\textstyle u(\theta )=p_{\theta }^{-1}}$${\textstyle v(\theta )=q_{\theta }^{-1}}$${\textstyle f}$${\textstyle g}$${\textstyle z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{z}&=\sum _{j=1}^{m}\left\vert a_{j}\right\vert ^{\frac {u(z)}{u(\theta )}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha _{j}}\mathbf {1} _{A_{j}}\\g_{z}&=\sum _{k=1}^{n}\left\vert b_{k}\right\vert ^{\frac {1-v(z)}{1-v(\theta )}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \beta _{k}}\mathbf {1} _{B_{k}}\end{aligned}}}$$${\textstyle f_{\theta }=f}$${\textstyle g_{\theta }=g}$${\textstyle q_{0}=q_{1}=1}$${\textstyle v\equiv 1}$${\textstyle g_{z}=g}$${\textstyle z}$

Введем теперь функцию , где константы не зависят от . Легко видеть, что это целая функция, ограниченная на полосе . Тогда, чтобы доказать ( 2 ), нам нужно только показать, что$${\displaystyle \Phi (z)=\int _{\Omega _{2}}(Tf_{z})g_{z}\,\mathrm {d} \mu _{2}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{n}\left\vert a_{j}\right\vert ^{\frac {u(z)}{u(\theta )}}\left\vert b_{k}\right\vert ^{\frac {1-v(z)}{1-v(\theta )}}\gamma _{j,k}}$$${\textstyle \gamma _{j,k}=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\alpha _{j}+\beta _{k})}\int _{\Omega _{2}}(T\mathbf {1} _{A_{j}})\mathbf {1} _{B_{k}}\,\mathrm {d} \mu _{2}}$${\textstyle z}$${\textstyle \Phi (z)}$${\textstyle 0\leq \operatorname {\mathbb {R} e} z\leq 1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\vert \Phi (\mathrm {i} y)\right\vert &\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}&&{\text{and}}&\left\vert \Phi (1+\mathrm {i} y)\right\vert &\leq \|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}\end{aligned}}}$$

3

для всех и как построено выше. Действительно, если ( 3 ) верно, по теореме Адамара о трех линиях , для всех и . Это означает, фиксируя , что где супремум берется относительно всех простых функций с . Левую часть можно переписать с помощью следующей леммы. ^[4]${\textstyle f_{z}}$${\textstyle g_{z}}$$${\displaystyle \left\vert \Phi (\theta +\mathrm {i} 0)\right\vert ={\biggl \vert }\int _{\Omega _{2}}(Tf)g\,\mathrm {d} \mu _{2}{\biggr \vert }\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }}$$${\textstyle f}$${\textstyle g}$${\textstyle f}$$${\displaystyle \sup _{g}{\biggl \vert }\int _{\Omega _{2}}(Tf)g\,\mathrm {d} \mu _{2}{\biggr \vert }\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }}$$${\textstyle g}$${\textstyle \lVert g\rVert _{q_{\theta }'}=1}$

В нашем случае лемма выше подразумевает для всех простых функций с . Эквивалентно, для общей простой функции,$${\displaystyle \lVert Tf\rVert _{q_{\theta }}\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }}$$${\textstyle f}$${\textstyle \lVert f\rVert _{p_{\theta }}=1}$$${\displaystyle \lVert Tf\rVert _{q_{\theta }}\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}^{1-\theta }\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}^{\theta }\lVert f\rVert _{p_{\theta }}.}$$

Давайте теперь докажем, что наше утверждение ( 3 ) действительно определенно. Последовательность состоит из непересекающихся подмножеств в и, таким образом, каждое принадлежит (максимум) одному из них, скажем . Тогда для , что подразумевает, что . С параллельным аргументом каждое принадлежит (максимум) одному из множеств, поддерживающих , скажем , и${\textstyle (A_{j})_{j=1}^{m}}$${\textstyle \Sigma _{1}}$${\textstyle \xi \in \Omega _{1}}$${\textstyle A_{\hat {\jmath }}}$${\textstyle z=\mathrm {i} y}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\vert f_{\mathrm {i} y}(\xi )\right\vert &=\left\vert \left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert ^{\frac {u(\mathrm {i} y)}{u(\theta )}}\right\vert \\&=\left\vert \exp {\biggl (}\log \left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert {\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}{\biggr )}\exp {\biggl (}-\mathrm {i} y\log \left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert p_{\theta }{\biggl (}{\frac {1}{p_{0}}}-{\frac {1}{p_{1}}}{\biggr )}{\biggr )}\right\vert \\&=\left\vert a_{\hat {\jmath }}\right\vert ^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}\\&=\left\vert f(\xi )\right\vert ^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}\end{aligned}}}$$${\textstyle \lVert f_{\mathrm {i} y}\rVert _{p_{0}}\leq \lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}}$${\textstyle \zeta \in \Omega _{2}}$${\textstyle g}$${\textstyle B_{\hat {k}}}$$${\displaystyle \left\vert g_{\mathrm {i} y}(\zeta )\right\vert =\left\vert b_{\hat {k}}\right\vert ^{\frac {1-1/q_{0}}{1-1/q_{\theta }}}=\left\vert g(\zeta )\right\vert ^{\frac {1-1/q_{0}}{1-1/q_{\theta }}}=\left\vert g(\zeta )\right\vert ^{\frac {q_{\theta }'}{q_{0}'}}\implies \lVert g_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}'}\leq \lVert g\rVert _{q_{\theta }'}^{\frac {q_{\theta }'}{q_{0}'}}.}$$

Теперь мы можем ограничиться : Применяя неравенство Гёльдера с сопряженными показателями и , имеем${\textstyle \Phi (\mathrm {i} y)}$${\textstyle q_{0}}$${\textstyle q_{0}'}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\vert \Phi (\mathrm {i} y)\right\vert &\leq \lVert Tf_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}}\lVert g_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}'}\\&\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}\lVert f_{\mathrm {i} y}\rVert _{p_{0}}\lVert g_{\mathrm {i} y}\rVert _{q_{0}'}\\&=\|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{\frac {p_{\theta }}{p_{0}}}\lVert g\rVert _{q_{\theta }'}^{\frac {q_{\theta }'}{q_{0}'}}\\&=\|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}.\end{aligned}}}$$

Мы можем повторить тот же процесс для получения , и, наконец,${\textstyle z=1+\mathrm {i} y}$${\textstyle \left\vert f_{1+\mathrm {i} y}(\xi )\right\vert =\left\vert f(\xi )\right\vert ^{p_{\theta }/p_{1}}}$${\textstyle \left\vert g_{1+\mathrm {i} y}(\zeta )\right\vert =\left\vert g(\zeta )\right\vert ^{q_{\theta }'/q_{1}'}}$$${\displaystyle \left\vert \Phi (1+\mathrm {i} y)\right\vert \leq \|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}\lVert f_{1+\mathrm {i} y}\rVert _{p_{1}}\lVert g_{1+\mathrm {i} y}\rVert _{q_{1}'}=\|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}.}$$

На данный момент мы доказали, что

$${\displaystyle \lVert Tf\rVert _{q_{\theta }}\leq \|T\|_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}}$$

4

когда — простая функция. Как уже упоминалось, неравенство справедливо для всех по плотности простых функций в .${\textstyle f}$${\textstyle f\in L^{p_{\theta }}(\Omega _{1})}$${\textstyle L^{p_{\theta }}(\Omega _{1})}$

Формально, пусть и пусть будут последовательностью простых функций, такой что , для всех , и поточечно. Пусть и определяют , , и . Обратите внимание, что, поскольку мы предполагаем , и, что эквивалентно, и .${\textstyle f\in L^{p_{\theta }}(\Omega _{1})}$${\textstyle (f_{n})_{n}}$${\textstyle \left\vert f_{n}\right\vert \leq \left\vert f\right\vert }$${\textstyle n}$${\textstyle f_{n}\to f}$${\textstyle E=\{x\in \Omega _{1}:\left\vert f(x)\right\vert >1\}}$${\textstyle g=f\mathbf {1} _{E}}$${\textstyle g_{n}=f_{n}\mathbf {1} _{E}}$${\textstyle h=f-g=f\mathbf {1} _{E^{\mathrm {c} }}}$${\textstyle h_{n}=f_{n}-g_{n}}$${\textstyle p_{0}\leq p_{\theta }\leq p_{1}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{p_{\theta }}&=\int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\mathbf {1} _{E}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\mathbf {1} _{E}\right\vert ^{p_{0}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\int _{\Omega _{1}}\left\vert g\right\vert ^{p_{0}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\lVert g\rVert _{p_{0}}^{p_{0}}\\\lVert f\rVert _{p_{\theta }}^{p_{\theta }}&=\int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\right\vert ^{p_{\theta }}\mathbf {1} _{E^{\mathrm {c} }}\,\mathrm {d} \mu _{1}\geq \int _{\Omega _{1}}\left\vert f\mathbf {1} _{E^{\mathrm {c} }}\right\vert ^{p_{1}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\int _{\Omega _{1}}\left\vert h\right\vert ^{p_{1}}\,\mathrm {d} \mu _{1}=\lVert h\rVert _{p_{1}}^{p_{1}}\end{aligned}}}$$${\textstyle g\in L^{p_{0}}(\Omega _{1})}$${\textstyle h\in L^{p_{1}}(\Omega _{1})}$

Давайте посмотрим, что происходит в пределе для . Так как , и , по теореме о доминируемой сходимости легко имеем Аналогично, , и подразумевают и , в силу линейности как оператора типов и (мы еще не доказали, что он имеет тип для обобщенного )${\textstyle n\to \infty }$${\textstyle \left\vert f_{n}\right\vert \leq \left\vert f\right\vert }$${\textstyle \left\vert g_{n}\right\vert \leq \left\vert g\right\vert }$${\textstyle \left\vert h_{n}\right\vert \leq \left\vert h\right\vert }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\lVert f_{n}\rVert _{p_{\theta }}&\to \lVert f\rVert _{p_{\theta }}&\lVert g_{n}\rVert _{p_{0}}&\to \lVert g\rVert _{p_{0}}&\lVert h_{n}\rVert _{p_{1}}&\to \lVert h\rVert _{p_{1}}.\end{aligned}}}$$${\textstyle \left\vert f-f_{n}\right\vert \leq 2\left\vert f\right\vert }$${\textstyle \left\vert g-g_{n}\right\vert \leq 2\left\vert g\right\vert }$${\textstyle \left\vert h-h_{n}\right\vert \leq 2\left\vert h\right\vert }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\lVert f-f_{n}\rVert _{p_{\theta }}&\to 0&\lVert g-g_{n}\rVert _{p_{0}}&\to 0&\lVert h-h_{n}\rVert _{p_{1}}&\to 0\end{aligned}}}$$${\textstyle T}$${\textstyle (p_{0},q_{0})}$${\textstyle (p_{1},q_{1})}$${\textstyle (p_{\theta },q_{\theta })}$${\textstyle f}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\lVert Tg-Tg_{n}\rVert _{p_{0}}&\leq \|T\|_{L^{p_{0}}\to L^{q_{0}}}\lVert g-g_{n}\rVert _{p_{0}}\to 0&\lVert Th-Th_{n}\rVert _{p_{1}}&\leq \|T\|_{L^{p_{1}}\to L^{q_{1}}}\lVert h-h_{n}\rVert _{p_{1}}\to 0.\end{aligned}}}$$

Теперь легко доказать, что и по мере: Для любого неравенство Чебышева дает и аналогично для . Тогда и ae для некоторой подпоследовательности и, в свою очередь, ae Тогда, по лемме Фату и вспоминая, что ( 4 ) справедливо для простых функций,${\textstyle Tg_{n}\to Tg}$${\textstyle Th_{n}\to Th}$${\textstyle \epsilon >0}$$${\displaystyle \mu _{2}(y\in \Omega _{2}:\left\vert Tg-Tg_{n}\right\vert >\epsilon )\leq {\frac {\lVert Tg-Tg_{n}\rVert _{q_{0}}^{q_{0}}}{\epsilon ^{q_{0}}}}}$$${\textstyle Th-Th_{n}}$${\textstyle Tg_{n}\to Tg}$${\textstyle Th_{n}\to Th}$${\textstyle Tf_{n}\to Tf}$$${\displaystyle \lVert Tf\rVert _{q_{\theta }}\leq \liminf _{n\to \infty }\lVert Tf_{n}\rVert _{q_{\theta }}\leq \|T\|_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\liminf _{n\to \infty }\lVert f_{n}\rVert _{p_{\theta }}=\|T\|_{L^{p_{\theta }}\to L^{q_{\theta }}}\lVert f\rVert _{p_{\theta }}.}$$

Схема доказательства, представленная в предыдущем разделе, легко обобщается на случай, когда оператору T разрешено аналитически изменяться. Фактически, аналогичное доказательство может быть проведено для установления границы всей функции, из которой мы получаем следующую теорему Элиаса Стейна , опубликованную в его диссертации 1956 года: ^[5]$${\displaystyle \varphi (z)=\int (T_{z}f_{z})g_{z}\,d\mu _{2},}$$

Теория действительных пространств Харди и пространства ограниченных средних колебаний позволяет нам использовать аргумент интерполяционной теоремы Стейна при работе с операторами в пространстве Харди H ¹ ( R ^d ) и пространстве BMO ограниченных средних колебаний; это результат Чарльза Феффермана и Элиаса Стейна . ^[6]

В первом разделе было показано, что преобразование Фурье отображает L ¹ ( R ^d ) ограниченно в L ^∞ ( R ^d ) и L ² ( R ^d ) в себя. Аналогичное рассуждение показывает, что оператор ряда Фурье , который преобразует периодические функции f   : T → C в функции, значениями которых являются коэффициенты Фурье, отображает L ¹ ( T ) ограниченно в ℓ ^∞ ( Z ) и L ² ( T ) в ℓ ² ( Z ) . Теорема интерполяции Рисса–Торина теперь подразумевает следующее: где 1 ≤ p ≤ 2 и ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}:\mathbf {Z} \to \mathbf {C} }$$${\displaystyle {\hat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|{\mathcal {F}}f\right\|_{L^{q}(\mathbf {R} ^{d})}&\leq \|f\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{d})}\\\left\|{\hat {f}}\right\|_{\ell ^{q}(\mathbf {Z} )}&\leq \|f\|_{L^{p}(\mathbf {T} )}\end{aligned}}}$$1/п⁠ + ⁠1/д⁠ = 1. Это неравенство Хаусдорфа–Юнга .

Неравенство Хаусдорфа–Юнга можно также установить для преобразования Фурье на локально компактных абелевых группах . Оценка нормы 1 не является оптимальной. См. основную статью для ссылок.

Пусть f — фиксированная интегрируемая функция, а T — оператор свертки с f , т. е. для каждой функции g имеем Tg =   f   ∗ g .    

Из теоремы Фубини следует , что T ограничена от L ¹ до L ¹ и тривиально, что она ограничена от L ^∞ до L ^∞ (обе границы определяются ||  f  || ₁ ). Поэтому теорема Рисса–Торина дает$${\displaystyle \|f*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}.}$$

Мы берем это неравенство и меняем роли оператора и операнда, или, другими словами, мы думаем о S как об операторе свертки с g , и получаем, что S ограничено от L ¹ до L ^p . Далее, поскольку g находится в L ^{p ,} мы получаем, ввиду неравенства Гельдера, что S ограничено от L ^q до L ^∞ , где снова ⁠1/п⁠ + ⁠1/д⁠ = 1. Таким образом, интерполируя, мы получаем , где связь между p , r и s$${\displaystyle \|f*g\|_{s}\leq \|f\|_{r}\|g\|_{p}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{r}}+{\frac {1}{p}}=1+{\frac {1}{s}}.}$$

Преобразование Гильберта функции f   : R → C определяется как , где pv указывает главное значение интеграла Коши . Преобразование Гильберта — это оператор множителя Фурье с особенно простым множителем: $${\displaystyle {\mathcal {H}}f(x)={\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x-t)}{t}}\,dt=\left({\frac {1}{\pi }}\,\mathrm {p.v.} {\frac {1}{t}}\ast f\right)(x),}$$$${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {H}}f}}(\xi )=-i\,\operatorname {sgn}(\xi ){\hat {f}}(\xi ).}$$

Из теоремы Планшереля следует , что преобразование Гильберта отображает L ² ( R ) ограниченно в себя.

Тем не менее, преобразование Гильберта не ограничено на L ¹ ( R ) или L ^∞ ( R ) , и поэтому мы не можем напрямую использовать теорему об интерполяции Рисса–Торина. Чтобы увидеть, почему у нас нет этих границ конечных точек, достаточно вычислить преобразование Гильберта простых функций 1 _(−1,1) ( x ) и 1 _(0,1) ( x ) − 1 _(0,1) (− x ) . Однако мы можем показать, что для всех функций Шварца f   : R → C , и это тождество можно использовать вместе с неравенством Коши–Шварца, чтобы показать, что преобразование Гильберта отображает L ^{2 n} ( R ^d ) ограниченно в себя для всех n ≥ 2 . Интерполяция теперь устанавливает границу для всех 2 ≤ p < ∞ , а самосопряженность преобразования Гильберта может быть использована для переноса этих границ на случай 1 < p ≤ 2 .$${\displaystyle ({\mathcal {H}}f)^{2}=f^{2}+2{\mathcal {H}}(f{\mathcal {H}}f)}$$  $${\displaystyle \|{\mathcal {H}}f\|_{p}\leq A_{p}\|f\|_{p}}$$

Хотя интерполяционная теорема Рисса–Торина и ее варианты являются мощными инструментами, дающими чистую оценку норм интерполированных операторов, они страдают от многочисленных недостатков: некоторые незначительные, некоторые более серьезные. Сначала отметим, что комплексно-аналитическая природа доказательства интерполяционной теоремы Рисса–Торина заставляет скалярное поле быть C . Для расширенных вещественнозначных функций это ограничение можно обойти, переопределив функцию так, чтобы она была конечной везде — это возможно, поскольку каждая интегрируемая функция должна быть конечной почти везде. Более серьезным недостатком является то, что на практике многие операторы, такие как максимальный оператор Харди–Литтлвуда и операторы Кальдерона–Зигмунда , не имеют хороших оценок конечных точек. ^[7] В случае преобразования Гильберта в предыдущем разделе мы смогли обойти эту проблему, явно вычислив оценки нормы в нескольких промежуточных точках. Это громоздко и часто невозможно в более общих сценариях. Поскольку многие такие операторы удовлетворяют оценкам слабого типа, для них лучше подходят реальные интерполяционные теоремы, такие как интерполяционная теорема Марцинкевича . Кроме того, большое количество важных операторов, таких как максимальный оператор Харди-Литтлвуда , являются только сублинейными . Это не является препятствием для применения реальных методов интерполяции, но методы комплексной интерполяции плохо приспособлены для обработки нелинейных операторов. С другой стороны, реальные методы интерполяции, по сравнению с методами комплексной интерполяции, имеют тенденцию давать худшие оценки норм промежуточных операторов и не ведут себя так же хорошо вне диагонали в диаграмме Рисса. Недиагональные версии интерполяционной теоремы Марцинкевича требуют формализма пространств Лоренца и не обязательно дают оценки нормы в L ^p -пространствах.$${\displaystyle \mu \left(\{x:Tf(x)>\alpha \}\right)\leq \left({\frac {C_{p,q}\|f\|_{p}}{\alpha }}\right)^{q},}$$

Б. Митягин обобщил теорему Рисса–Торина; это обобщение сформулировано здесь на частный случай пространств последовательностей с безусловными базисами (см. ниже).

Предполагать:$${\displaystyle \|A\|_{\ell _{1}\to \ell _{1}},\|A\|_{\ell _{\infty }\to \ell _{\infty }}\leq M.}$$

Затем$${\displaystyle \|A\|_{X\to X}\leq M}$$

для любого безусловного банахова пространства последовательностей X , то есть для любого и любого , .${\displaystyle (x_{i})\in X}$${\displaystyle (\varepsilon _{i})\in \{-1,1\}^{\infty }}$${\displaystyle \|(\varepsilon _{i}x_{i})\|_{X}=\|(x_{i})\|_{X}}$

Доказательство основано на теореме Крейна–Мильмана .

• Интерполяционная теорема Марцинкевича
• Интерполяционное пространство

• Данфорд, Н.; Шварц, Дж. Т. (1958), Линейные операторы, части I и II , Wiley-Interscience.
• Фефферман, Чарльз; Стайн, Элиас М. (1972), « Пространства нескольких переменных», Acta Mathematica , 129 : 137–193 , doi : 10.1007/bf02392215${\displaystyle H^{p}}$
• Глазман, И. М.; Любич, Ю. И. (1974), Конечномерный линейный анализ: систематическое представление в проблемной форме , Кембридж, Массачусетс: The MIT Press. Перевод с русского и редакция Г. П. Баркера и Г. Куэрти.
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., vol. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN. 3-540-12104-8, МР  0717035.
• Митягин, БС (1965), "Интерполяционная теорема для модулярных пространств ", Матем. сб. , Новая серия, 66 (108): 473– 482.
• Торин, ГО (1948), «Теоремы выпуклости, обобщающие теоремы М. Рисса и Адамара с некоторыми приложениями», Comm. Sem. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] , 9 : 1– 58, MR  0025529
• Рис, Марсель (1927), «Sur les maxima des formes bilinéaires et sur les fonctionnelles linéaires», Acta Mathematica , 49 ( 3–4 ): 465–497 , doi : 10.1007/bf02564121
• Стайн, Элиас М. (1956), «Интерполяция линейных операторов», Trans. Amer. Math. Soc. , 83 (2): 482– 492, doi : 10.1090/s0002-9947-1956-0082586-0
• Стайн, Элиас М.; Шакарчи, Рами (2011), Функциональный анализ: Введение в дополнительные темы анализа , Princeton University Press
• Стайн, Элиас М.; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Princeton University Press

• «Теорема Рисса о выпуклости», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]