Пилообразная волна
Несинусоидальная форма волны
Пилообразная волна
Пилообразная волна с ограниченной полосой пропускания, изображенная во временной и частотной областях.
Пилообразная волна с ограниченной полосой пропускания [1], изображенная во временной области (вверху) и частотной области (внизу). Основная частота составляет 220 Гц (A 3 ).
Общая информация
Общее определение х ( т ) = 2 ( т − ⌊ т + 1 2 ⌋ ) , т − 1 2 ∉ З {\displaystyle x(t)=2\left(t-\left\lfloor t+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor \right),t-{\tfrac {1}{2}}\notin \mathbb {Z} }
Области примененияЭлектроника, синтезаторы
Домен, кодомен и изображение
Домен Р ∖ { н − 1 2 } , н ∈ З {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{n-{\tfrac {1}{2}}\right\},n\in \mathbb {Z} }
Кодомен ( − 1 , 1 ) {\displaystyle \left(-1,1\right)}
Основные характеристики
ПаритетСтранный
Период1
Особые черты
Корень З {\displaystyle \mathbb {Z} }
ряд Фурье х ( т ) = − 2 π ∑ к = 1 ∞ ( − 1 ) к к грех ⁡ ( 2 π к т ) {\displaystyle x(t)=-{\frac {2}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}}{k}}\sin \left(2\pi kt\right)}
Пилообразная волна
5 секунд пилообразной волны 220 Гц
Проблемы с воспроизведением этого файла? Смотрите справку по медиа .

Пилообразная волна (или пилообразная волна ) — это разновидность несинусоидальной формы волны . Она так названа из-за своего сходства с зубьями плоской пилы с нулевым передним углом . Одиночный пилообразный зуб или прерывисто срабатывающий пилообразный зуб называется пилообразной формой волны .

Соглашение заключается в том, что пилообразная волна поднимается вверх, а затем резко падает. В обратной (или инверсной) пилообразной волне волна опускается вниз, а затем резко поднимается. Ее также можно считать крайним случаем асимметричной треугольной волны . [2]

Эквивалентные кусочно-линейные функции, основанные на функции пола времени t, являются примером пилообразной волны с периодом 1. х ( т ) = т − ⌊ т ⌋ {\displaystyle x(t)=t-\lfloor t\rfloor } х ( т ) = т мод 1 {\displaystyle x(t)=t{\bmod {1}}}

Более общая форма в диапазоне от −1 до 1 и с периодом p имеет вид 2 ( т п − ⌊ 1 2 + т п ⌋ ) {\displaystyle 2\left({\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {1}{2}}+{\frac {t}{p}}\right\rfloor \right)}

Эта пилообразная функция имеет ту же фазу , что и синусоидальная функция.

В то время как квадратная волна состоит только из нечетных гармоник, звук пилообразной волны резкий и чистый, а ее спектр содержит как четные, так и нечетные гармоники основной частоты . Поскольку она содержит все целые гармоники, это одна из лучших форм волны для субтрактивного синтеза музыкальных звуков, особенно смычковых струнных инструментов, таких как скрипки и виолончели, поскольку поведение смычка как скользящей палки приводит струны в движение, подобное пилообразному. [3]

Демонстрация пилообразной добавки
Пилообразная волна частотой 220 Гц, создаваемая гармониками, добавляемыми каждую секунду к синусоиде.
Проблемы с воспроизведением этого файла? Смотрите справку по медиа .

Пилообразную волну можно построить с помощью аддитивного синтеза . Для периода p и амплитуды a следующие бесконечные ряды Фурье сходятся к пилообразной волне и обратной (обратной) пилообразной волне:

ф = 1 п {\displaystyle f={\frac {1}{p}}} х пилообразный ( т ) = а ( 1 2 − 1 π ∑ к = 1 ∞ ( − 1 ) к грех ⁡ ( 2 π к ф т ) к ) {\displaystyle x_{\text{пилообразная форма}}(t)=a\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k}{\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}\right)} х обратная пилообразная ( т ) = 2 а π ∑ к = 1 ∞ ( − 1 ) к грех ⁡ ( 2 π к ф т ) к {\displaystyle x_{\text{обратная пилообразная функция}}(t)={\frac {2a}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k}{\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}}

В цифровом синтезе эти ряды суммируются только по k таким образом, что наивысшая гармоника, N max , меньше частоты Найквиста (половина частоты дискретизации ). Это суммирование обычно может быть более эффективно рассчитано с помощью быстрого преобразования Фурье . Если форма волны создается в цифровом виде непосредственно во временной области с использованием формы без ограничения полосы пропускания , такой как y  =  x  −  floor ( x ), то дискретизируются бесконечные гармоники, и результирующий тон содержит искажение наложения спектров .

Анимация аддитивного синтеза пилообразной волны с возрастающим числом гармоник

Ниже доступна аудиодемонстрация пилообразного сигнала, воспроизводимого на частотах 440 Гц (A 4 ), 880 Гц (A 5 ) и 1760 Гц (A 6 ). Представлены как ограниченные по полосе (неналоженные), так и наложенные тоны.

Демонстрация пилообразного алиасинга
Пилообразные волны воспроизводятся с ограниченной полосой пропускания и наложением на частотах 440 Гц, 880 Гц и 1760 Гц
Проблемы с воспроизведением этого файла? Смотрите справку по медиа .

Приложения

  • Пилообразные волны известны своим использованием в электронной музыке . Пилообразные и квадратные волны являются одними из наиболее распространенных форм волн, используемых для создания звуков с помощью субтрактивных аналоговых и виртуальных аналоговых музыкальных синтезаторов.
  • Пилообразные волны используются в импульсных источниках питания . В микросхеме регулятора сигнал обратной связи с выхода непрерывно сравнивается с высокочастотным пилообразным сигналом для генерации нового сигнала ШИМ рабочего цикла на выходе компаратора .
  • В области компьютерных наук, в частности в автоматизации и робототехнике, позволяет вычислять суммы и разности углов, избегая разрывов на 360° и 0°. [ необходима цитата ] с а ж т о о т час ( θ ) = 2 арктан ⁡ ( загар ⁡ ( θ 2 ) ) {\displaystyle \mathrm {пилообразный} (\theta)=2\arctan(\tan({\frac {\theta }{2}}))}
  • Пилообразная волна — это форма сигналов вертикального и горизонтального отклонения , используемых для генерации растра на экранах телевизоров или мониторов на основе ЭЛТ . Осциллографы также используют пилообразную волну для своего горизонтального отклонения, хотя обычно они используют электростатическое отклонение.
    • На «рампе» волны магнитное поле, создаваемое отклоняющим ярмом, перемещает электронный луч по поверхности ЭЛТ, создавая линию сканирования .
    • На «обрыве» волны магнитное поле внезапно разрушается, заставляя электронный луч максимально быстро вернуться в исходное положение.
    • Ток, подаваемый на отклоняющее ярмо, регулируется различными способами (трансформаторами, конденсаторами, обмотками с центральным отводом) так, чтобы среднее напряжение на обрыве пилообразного сигнала находилось на нулевой отметке, что означает, что отрицательный ток вызовет отклонение в одном направлении, а положительный ток — в другом; таким образом, отклоняющее ярмо, установленное в центре, может использовать всю площадь экрана для отображения следа. Горизонтальная частота составляет 15,734 кГц для NTSC , 15,625 кГц для PAL и SECAM .
    • Система вертикального отклонения работает так же, как и горизонтальная, хотя и на гораздо более низкой частоте (59,94 Гц для NTSC , 50 Гц для PAL и SECAM).
    • Нарастающая часть волны должна выглядеть как прямая линия. В противном случае это указывает на то, что ток не увеличивается линейно, и, следовательно, магнитное поле, создаваемое отклоняющим ярмом, не является линейным. В результате электронный луч будет ускоряться во время нелинейных участков. Это приведет к тому, что телевизионное изображение будет «сплющено» в направлении нелинейности. В крайних случаях будет наблюдаться заметное увеличение яркости, поскольку электронный луч проводит больше времени на этой стороне изображения.
    • Первые телевизионные приемники имели элементы управления, позволяющие пользователям регулировать вертикальную или горизонтальную линейность изображения. Такие элементы управления отсутствовали в более поздних моделях, поскольку стабильность электронных компонентов улучшилась.

Смотрите также

Синусоидальные , квадратные , треугольные и пилообразные формы волн

Ссылки

  1. ^ Крафт, Себастьян; Цёльцер, Удо (5 сентября 2017 г.). «LP-BLIT: синтез импульсных последовательностей с ограниченной полосой пропускания низкочастотных волн». Труды 20-й Международной конференции по цифровым аудиоэффектам (DAFx-17) . 20-я Международная конференция по цифровым аудиоэффектам (DAFx-17). Эдинбург. С. 255–259.
  2. ^ "Ряд Фурье-Треугольная волна - из Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com . 2012-07-02 . Получено 2012-07-11 .
  3. ^ Дэйв Бенсон. «Музыка: Математическое предложение» (PDF) . Homepages.abdn.ac.uk . стр. 42 . Получено 26 ноября 2021 г. .
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Пилообразная_волна&oldid=1251884055"