Сингулярные интегральные операторы типа свертки

В математике сингулярные интегральные операторы типа свертки — это сингулярные интегральные операторы , которые возникают на R ⁿ и T ⁿ посредством свертки по распределениям; эквивалентно, они являются сингулярными интегральными операторами, которые коммутируют со сдвигами. Классическими примерами в гармоническом анализе являются оператор гармонического сопряжения на окружности, преобразование Гильберта на окружности и действительной прямой, преобразование Берлинга в комплексной плоскости и преобразования Рисса в евклидовом пространстве. Непрерывность этих операторов на L ² очевидна, поскольку преобразование Фурье преобразует их в операторы умножения . Непрерывность на пространствах L ^p была впервые установлена ​​Марселем Риссом . Классические методы включают использование интегралов Пуассона , теорию интерполяции и максимальную функцию Харди–Литтлвуда . Для более общих операторов фундаментальные новые методы, введенные Альберто Кальдероном и Антони Зигмундом в 1952 году, были разработаны рядом авторов, чтобы дать общие критерии непрерывности на пространствах L ^p . В данной статье излагается теория классических операторов и дается набросок последующей общей теории.

Теория для функций L ² особенно проста на окружности. ^{[1] [2]} Если f ∈ L ² ( T ), то она имеет разложение в ряд Фурье$${\ displaystyle f (\ theta) = \ sum _ {n \ in \ mathbf {Z} } a_ {n} e ^ {in \ theta }.}$$

Пространство Харди H ² ( T ) состоит из функций, для которых отрицательные коэффициенты обращаются в нуль, a _n = 0 при n < 0. Это как раз квадратично-интегрируемые функции, которые возникают как граничные значения голоморфных функций в открытом единичном круге. Действительно, f является граничным значением функции

$${\displaystyle F(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n},}$$

в том смысле, что функции

$${\displaystyle f_{r}(\theta )=F(re^{i\theta }),}$$

определяемые ограничением F на концентрические окружности | z | = r , удовлетворяют

$${\displaystyle \|f_{r}-f\|_{2}\rightarrow 0.}$$

Ортогональная проекция P пространства L ² ( T ) на пространство H ² ( T ) называется проекцией Сегё . Это ограниченный оператор на пространстве L ² ( T ) с операторной нормой 1. По теореме Коши

$${\displaystyle F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{|\zeta |=1}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta ={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\theta ) \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\theta .}$$

Таким образом

$${\displaystyle F(re^{i\theta})={1 \over 2\pi}\int _{-\pi}^{\pi}}{f(\varphi -\theta) \over 1-re^{i\theta}}\,d\theta.}$$

При r = 1 подынтегральное выражение в правой части имеет особенность при θ = 0. Усеченное преобразование Гильберта определяется как

$${\displaystyle H_{\varepsilon }f(\varphi)={i \over \pi }\int _ {\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }{f(\varphi -\theta) \over 1 -e^{i\theta }}\,d\theta ={1 \over \pi }\int _{|\zeta -e^{i\varphi }|\geq \delta }{f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta ,}$$

где δ = |1 – e ^iε |. Поскольку он определен как свертка с ограниченной функцией, он является ограниченным оператором на L ² ( T ). Теперь

$${\displaystyle H_{\varepsilon}{1}={i\over\pi}\int _{\varepsilon}^{\pi}2\Re(1-e^{i\theta})^{-1}\,d\theta ={i\over\pi}\int _{\varepsilon}^{\pi}1\,d\theta =i-{i\varepsilon\over\pi}.}$$

Если f — многочлен по z, то

$${\displaystyle H_{\varepsilon }f(z)-{i(1-\varepsilon ) \over \pi }f(z)={1 \over \pi i}\int _{|\zeta -z|\geq \delta }{f(\zeta )-f(z) \over \zeta -z}\,d\zeta .}$$

По теореме Коши правая часть стремится к 0 равномерно, когда ε , а следовательно, и δ , стремится к 0. Таким образом,

$${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow if}$$

равномерно для полиномов. С другой стороны, если u ( z ) = z , то сразу следует, что

$${\displaystyle {\overline {H_{\varepsilon }f}}=-u^{-1}H_{\varepsilon }(u{\overline {f}}).}$$

Таким образом, если f — многочлен от z ⁻¹ без свободного члена

${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow -if}$равномерно.

Определим преобразование Гильберта на окружности следующим образом:$${\displaystyle H=i(2P-I).}$$

Таким образом, если f — тригонометрический полином

${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf}$равномерно.

Отсюда следует, что если f — любая функция L ²

${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf}$в норме L ² .

Это является непосредственным следствием результата для тригонометрических полиномов, как только установлено, что операторы H _ε равномерно ограничены в операторной норме . Но на [– π , π ]

$${\displaystyle (1-e^{i\theta })^{-1}=[(1-e^{i\theta })^{-1}-i\theta ^{-1}]+i\theta ^{-1}.}$$

Первый член ограничен на всем [–π,π], поэтому достаточно показать, что операторы свертки S _ε, определенные как

$${\displaystyle S_{\varepsilon }f(\varphi )=\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }f(\varphi -\theta )\theta ^{-1}\,d\theta }$$

равномерно ограничены. Относительно ортонормированного базиса e ^inθ операторы свертки диагональны, а их операторные нормы задаются взятием супремума модулей коэффициентов Фурье. Прямое вычисление показывает, что все они имеют вид

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\left|\int _{a}^{b}{\sin t \over t}\,dt\right|}$$

при 0 < a < b . Хорошо известно, что эти интегралы равномерно ограничены.

Из этого также следует, что для непрерывной функции f на окружности H _ε f сходится равномерно к Hf , поэтому в частности поточечно. Поточечный предел — это главное значение Коши , записанное

$${\displaystyle Hf=\mathrm {P.V.} \,{1 \over \pi }\int {f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta .}$$

Если f есть только в L ² , то H _ε f сходится к Hf поточечно почти всюду. Фактически определим операторы Пуассона на функциях L ^{2 как}

$${\displaystyle T_{r}\left(\sum a_{n}e^{in\theta }\right)=\sum r^{|n|}a_{n}e^{in\theta },}$$

для r < 1. Поскольку эти операторы диагональны, легко видеть, что T _r f стремится к f в L ² при увеличении r до 1. Более того, как доказал Лебег, T _r f также стремится поточечно к f в каждой точке Лебега f . С другой стороны, также известно, что T _r Hf − H _{1 − r} f стремится к нулю в каждой точке Лебега f . Следовательно, H _{1 – r} f стремится поточечно к f в общих точках Лебега f и Hf и, следовательно, почти всюду. ^{[3] [4] [5]}

Результаты такого рода по поточечной сходимости доказываются ниже в более общем виде для функций L ^p с использованием операторов Пуассона и максимальной функции Харди–Литтлвуда для f .

Преобразование Гильберта имеет естественную совместимость с диффеоморфизмами окружности, сохраняющими ориентацию. ^[6] Таким образом, если H — диффеоморфизм окружности с

$${\displaystyle H(e^{i\theta })=e^{ih(\theta )},\,\,\,h(\theta +2\pi )=h(\theta )+2\pi ,}$$

затем операторы

$${\displaystyle H_{\varepsilon }^{h}f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int _{|e^{ih(\theta )}-e^{ih(\varphi )}|\geq \varepsilon }{\frac {f(e^{i\theta })}{e^{i\theta }-e^{i\varphi }}}e^{i\theta }\,d\theta ,}$$

равномерно ограничены и стремятся в сильной операторной топологии к H. Более того, если Vf ( z ) = f ( H ​​( z )), то VHV ⁻¹ − H — оператор с гладким ядром, поэтому оператор Гильберта–Шмидта .

Фактически, если G является обратной функцией H с соответствующей функцией g ( θ ), то

$${\displaystyle (VH_{\varepsilon }^{h}V^{-1}-H_{\varepsilon })f(e^{i\varphi })={1 \over \pi }\int _{|e^{i\theta }-e^{i\varphi }|\geq \varepsilon }\left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .}$$

Так как ядро ​​в правой части гладко на T × T , то отсюда следует, что операторы в правой части равномерно ограничены, а значит, таковы и операторы H _ε ^h . Чтобы увидеть, что они сильно стремятся к H , достаточно проверить это на тригонометрических полиномах. В этом случае

$${\displaystyle H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{z-\zeta }}dz={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz+{\frac {f(\zeta )}{\pi i}}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{dz \over z-\zeta }.}$$

В первом интеграле подынтегральное выражение является тригонометрическим полиномом по z и ζ, поэтому интеграл является тригонометрическим полиномом по ζ . Он стремится в L ² к тригонометрическому полиному$${\displaystyle {1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz.}$$

Интеграл во втором члене можно вычислить по принципу аргумента . Он стремится в L ² к постоянной функции 1, так что

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )=f(\zeta )+{1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz,}$$

где предел находится в L ² . С другой стороны, правая часть не зависит от диффеоморфизма. Поскольку для тождественного диффеоморфизма левая часть равна Hf , она также равна Hf (это также можно проверить напрямую, если f — тригонометрический полином). Наконец, допуская ε → 0,

$${\displaystyle (VHV^{-1}-H)f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int \left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .}$$

Прямой метод оценки коэффициентов Фурье для доказательства равномерной ограниченности оператора H ^ε не обобщается напрямую на пространства L ^p с 1 < p < ∞. Вместо этого для классического доказательства этого используется прямое сравнение H ^ε f с интегралом Пуассона преобразования Гильберта. Если f имеет ряд Фурье

$${\displaystyle f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e^{in\theta },}$$

его интеграл Пуассона определяется как

$${\displaystyle P_{r}f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}r^{|n|}e^{in\theta }={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{(1-r^{2})f(e^{i\theta }) \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}\,d\theta =K_{r}\star f(e^{i\theta }),}$$

где ядро ​​Пуассона K _r определяется выражением$${\displaystyle K_{r}(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }r^{|n|}e^{in\theta }={1-r^{2} \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}$$

Если f лежит в L ^p ( T ), то операторы P _r удовлетворяют$${\displaystyle \|P_{r}f-f\|_{p}\rightarrow 0.}$$

На самом деле K _r положительны, поэтому$${\displaystyle \|K_{r}\|_{1}={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }K_{r}(e^{i\theta })\,d\theta =1.}$$

Таким образом, операторы P _r имеют операторную норму, ограниченную 1 на L ^p . Утверждение о сходимости выше следует по непрерывности из результата для тригонометрических полиномов, где оно является непосредственным следствием формулы для коэффициентов Фурье K _r .

Равномерная ограниченность нормы оператора H _ε следует из того, что HP _r − H _{1− r} задается как свертка функцией ψ _r , где ^[7] для 1 − r ≤ |θ| ≤ π , а для |θ| < 1 − r ,$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{r}(e^{i\theta })&=1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\\&\leq 1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {1-r}{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \psi _{r}(e^{i\theta })=1+{2r\sin \theta \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}$$

Эти оценки показывают, что нормы L ¹ ∫ |ψ _r | равномерно ограничены. Поскольку H — ограниченный оператор, то отсюда следует, что операторы H _ε равномерно ограничены по операторной норме на L ² ( T ). Тот же аргумент можно использовать на L ^p ( T ), если известно, что преобразование Гильберта H ограничено по операторной норме на L ^p ( T ).

Как и в случае с окружностью, теория для функций L ² особенно проста в разработке. Фактически, как заметили Розенблюм и Девинац, два преобразования Гильберта могут быть связаны с помощью преобразования Кэли . ^[8]

Преобразование Гильберта H R _на L ² ( R ) определяется как , где преобразование Фурье задается как$${\displaystyle {\widehat {H_{\mathbf {R} }f}}=\left(i\chi _{[0,\infty )}-i\chi _{(-\infty ,0]}\right){\widehat {f}},}$$$${\displaystyle {\widehat {f}}(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx.}$$

Определим пространство Харди H ² ( R ) как замкнутое подпространство L ² ( R ), состоящее из функций, для которых преобразование Фурье обращается в нуль на отрицательной части действительной оси. Его ортогональное дополнение задается функциями, для которых преобразование Фурье обращается в нуль на положительной части действительной оси. Оно является комплексно сопряженным для H ² ( R ). Если P _R является ортогональной проекцией на H ² ( R ), то

$${\displaystyle H_{\mathbf {R} }=i(2P_{\mathbf {R} }-I).}$$

Преобразование Кэли переносит расширенную действительную прямую на окружность, помещая точку ∞ в 1, а верхнюю полуплоскость — на единичный круг.$${\displaystyle C(x)={x-i \over x+i}}$$

Определим унитарный оператор из L ² ( T ) в L ² ( R ) следующим образом:$${\displaystyle Uf(x)=\pi ^{-1/2}(x+i)^{-1}f(C(x)).}$$

Этот оператор переносит пространство Харди окружности H ² ( T ) на H ² ( R ). Фактически при | w | < 1 линейная оболочка функций плотна в H ² ( T ). Более того, где$${\displaystyle f_{w}(z)={\frac {1}{1-wz}}}$$$${\displaystyle Uf_{w}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{(1-w)(x-{\overline {z}})}}}$$$${\displaystyle z=C^{-1}({\overline {w}}).}$$

С другой стороны, для z ∈ H линейная оболочка функций плотна в L ² ((0,∞)). По формуле обращения Фурье они являются преобразованиями Фурье, поэтому линейная оболочка этих функций плотна в H ² ( R ). Поскольку U переносит f _w на кратные h _z , отсюда следует, что U переносит H ² ( T ) на H ² ( R ). Таким образом,$${\displaystyle g_{z}(t)=e^{itz}\chi _{[0,\infty )}(t)}$$$${\displaystyle h_{z}(x)={\widehat {g_{z}}}(-x)={i \over {\sqrt {2\pi }}}(x+z)^{-1},}$$$${\displaystyle UH_{\mathbf {T} }U^{*}=H_{\mathbf {R} }.}$$

В работе Никольского (1986) часть теории L ² на действительной прямой и верхней полуплоскости развита путем переноса результатов из окружности и единичного круга. Естественными заменами концентрических окружностей в круге являются прямые, параллельные действительной оси в H . При преобразовании Кэли они соответствуют окружностям в круге, которые касаются единичной окружности в точке один. Поведение функций в H ² ( T ) на этих окружностях является частью теории мер Карлесона . Однако теорию сингулярных интегралов можно развить проще, работая непосредственно с R .

H ² ( R ) состоит в точности из L ² функций f , которые возникают из граничных значений голоморфных функций на H в следующем смысле: ^[9] f принадлежит H ² при условии, что существует голоморфная функция F ( z ) на H такая, что функции f _y ( x ) = f ( x + iy ) при y > 0 принадлежат L ² и f _y стремится к f в L ² при y → 0. В этом случае F обязательно единственна и задается интегральной формулой Коши :

$${\displaystyle F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds.}$$

Фактически, отождествление H ² с L ² (0,∞) посредством преобразования Фурье, для y > 0 умножение на e ^{− yt} на L ² (0,∞) индуцирует сжимающую полугруппу V _y на H ² . Следовательно, для f в L ²

$${\displaystyle {1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\widehat {g_{z}}}(s)\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(s)g_{z}(s)\,ds=V_{y}Pf(x).}$$

Если f принадлежит H ² , F ( z ) голоморфна для Im z > 0, поскольку семейство L ² функций g _z голоморфно зависит от z . Более того, f _y = V _y f стремится к f в H ^{2 ,} поскольку это верно для преобразований Фурье. Наоборот, если такая F существует, по интегральной теореме Коши и указанному выше тождеству, примененному к f _y

$${\displaystyle f_{y+t}=V_{t}Pf_{y}}$$

для t > 0. Устремляя t к 0 , получаем, что Pf _y = f _y , так что f _y лежит в H ² . Но тогда то же самое делает и предел f . Поскольку единственность F следует из$${\displaystyle V_{t}f_{y}=f_{y+t}=V_{y}f_{t},}$$$${\displaystyle f_{t}=\lim _{y\to 0}f_{y+t}=\lim _{y\to 0}V_{t}f_{y}=V_{t}f.}$$

Для f в L ² усеченные преобразования Гильберта определяются как$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\varepsilon ,R}f(x)&={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |y-x|\leq R}{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |y|\leq R}{f(x-y) \over y}\,dy\\H_{\varepsilon }f(x)&={1 \over \pi }\int _{|y-x|\geq \varepsilon }{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{|y|\geq \varepsilon }{f(x-y) \over y}\,dy.\end{aligned}}}$$

Операторы H _{ε , R} являются свертками с ограниченными функциями компактного носителя, поэтому их операторные нормы задаются равномерной нормой их преобразований Фурье. Как и прежде, абсолютные значения имеют вид

$${\displaystyle {1 \over {\sqrt {2\pi }}}\left|\int _{a}^{b}{2\sin t \over t}\,dt\right|.}$$

с 0 < a < b , поэтому операторы H _{ε , R} равномерно ограничены по операторной норме. Поскольку H _{ε , R} f стремится к H _ε f в L ² для f с компактным носителем, и, следовательно, для произвольной f , операторы H _ε также равномерно ограничены по операторной норме.

Чтобы доказать, что H _ε f стремится к Hf при ε, стремящемся к нулю, достаточно проверить это на плотном множестве функций. С другой стороны,

$${\displaystyle {\overline {H_{\varepsilon }f}}=-H_{\varepsilon }({\overline {f}}),}$$

поэтому достаточно доказать, что H _ε f стремится к , если для плотного множества функций в H ² ( R ), например, преобразований Фурье гладких функций g с компактным носителем в (0,∞). Но преобразование Фурье f продолжается до целой функции F на C , которая ограничена на Im( z ) ≥ 0. То же самое верно и для производных g . С точностью до скаляра они соответствуют умножению F ( z ) на степени z . Таким образом, F удовлетворяет оценке Пэли-Винера для Im( z ) ≥ 0: ^[10]

$${\displaystyle |F^{(m)}(z)|\leq K_{N,m}(1+|z|)^{-N}}$$

для любого m , N ≥ 0. В частности, интеграл, определяющий H _ε f ( x ) , можно вычислить, взяв стандартный полукруговой контур с центром в x . Он состоит из большого полукруга с радиусом R и малого круга радиусом ε с двумя частями действительной оси между ними. По теореме Коши интеграл по контуру равен нулю. Интеграл по большому контуру стремится к нулю по оценке Пэли-Винера. Интеграл по действительной оси является искомым пределом. Поэтому он дается как минус предел по малому полукруговому контуру. Но это предел

$${\displaystyle {1 \over \pi }\int _{\Gamma }{F(z) \over z-x}\,dz.}$$

Где Γ — малый полукруглый контур, ориентированный против часовой стрелки. Согласно обычным методам интегрирования контуров этот предел равен если ( x ). ^[11] В этом случае легко проверить, что сходимость доминируется в L ^{2 ,} поскольку

$${\displaystyle H_{\varepsilon }f(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{|y-x|\geq \varepsilon }{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\,dy={\frac {1}{\pi }}\int _{|y-x|\geq \varepsilon }\int _{0}^{1}f^{\prime }(x+t(y-x))\,dt\,dy}$$

так что сходимость определяется , которая находится в L ² по оценке Пэли-Винера.$${\displaystyle G(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{1}\int _{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(x+ty)|\,dy}$$

Отсюда следует, что для f на L ² ( R )$${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf.}$$

Это также можно вывести напрямую, поскольку после перехода к преобразованиям Фурье H _ε и H становятся операторами умножения на равномерно ограниченные функции. Множители для H _ε стремятся поточечно почти всюду к множителю для H , поэтому приведенное выше утверждение следует из теоремы о доминируемой сходимости, примененной к преобразованиям Фурье.

Что касается преобразования Гильберта на окружности, H _ε f стремится к Hf поточечно почти всюду, если f — функция L ^2. Фактически, определим операторы Пуассона на функциях L ^{2 следующим образом:}

$${\displaystyle T_{y}f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(x-t)f(t)\,dt,}$$

где ядро ​​Пуассона определяется как

$${\displaystyle P_{y}(x)={\frac {y}{\pi (x^{2}+y^{2})}}.}$$

для y > 0. Его преобразование Фурье равно$${\displaystyle {\widehat {P_{y}}}(t)=e^{-y|t|},}$$

из чего легко видеть, что T _y f стремится к f в L ² при увеличении y до 0. Более того, как доказал Лебег, T _y f также стремится поточечно к f в каждой точке Лебега функции f . С другой стороны, также известно, что T _y Hf – H _y f стремится к нулю в каждой точке Лебега функции f . Следовательно, H _ε f стремится поточечно к f в общих точках Лебега функций f и Hf и, следовательно, почти всюду. ^{[12] [13]} Абсолютные значения функций T _y f − f и T _y Hf – H _y f могут быть ограничены поточечно кратными максимальной функции функции f . ^[14]

Что касается преобразования Гильберта на окружности, то равномерная ограниченность норм оператора H _ε следует из ограниченности T _ε , если известно, что H ограничен, поскольку HT _ε − H _ε является оператором свертки по функции

$${\displaystyle g_{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}&|x|\leq \varepsilon \\{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}-{\frac {1}{\pi x}}&|x|>\varepsilon \end{cases}}}$$

Нормы L ¹ этих функций равномерно ограничены.

Комплексные преобразования Рисса R и R * в комплексной плоскости являются унитарными операторами в L ² ( C ), определяемыми как умножение на z /| z | и его сопряженное преобразование Фурье функции L ² f :

$${\displaystyle {\widehat {Rf}}(z)={{\overline {z}} \over |z|}{\widehat {f}}(z),\,\,\,{\widehat {R^{*}f}}(z)={z \over |z|}{\widehat {f}}(z).}$$

Отождествляя C с R ² , R и R * задаются формулами

$${\displaystyle R=-iR_{1}+R_{2},\,\,\,R^{*}=-iR_{1}-R_{2},}$$

где R ₁ и R ₂ — преобразования Рисса на R ^{2 ,} определенные ниже.

На L ² ( C ) оператор R и его целые степени унитарны. Они также могут быть выражены как сингулярные интегральные операторы: ^[15]

$${\displaystyle {R^{k}f(w)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|z-w|\geq \varepsilon }M_{k}(w-z)f(z)\,dx\,dy,}}$$

где$${\displaystyle M_{k}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over |z|^{k+2}}\,\,\,\,(k\geq 1),\,\,\,\,M_{-k}(z)={\overline {M_{k}(z)}}.}$$

Определяя усеченные высшие преобразования Рисса как эти операторы, можно показать, что они равномерно ограничены в норме оператора. Для нечетных степеней это может быть выведено методом вращения Кальдерона и Зигмунда, описанным ниже. ^[16] Если известно, что операторы ограничены в норме оператора, это также может быть выведено с помощью операторов Пуассона. ^[17]$${\displaystyle {R_{\varepsilon }^{(k)}f(w)=\int _{|z-w|\geq \varepsilon }M_{k}(w-z)f(z)\,dx\,dy,}}$$

Операторы Пуассона T _s на R ² определяются для s > 0 следующим образом:

$${\displaystyle {T_{s}f(x)={1 \over 2\pi }\int _{\mathbf {R} ^{2}}{sf(x) \over (|x-t|^{2}+s^{2})^{3/2}}\,dt.}}$$

Они задаются сверткой с функциями

$${\displaystyle {P_{s}(x)={s \over 2\pi (|x|^{2}+s^{2})^{3/2}}.}}$$

P _s — это преобразование Фурье функции e ^{− s | x |} , поэтому при преобразовании Фурье они соответствуют умножению на эти функции и образуют сжимающую полугруппу на L ² ( R ² ). Поскольку P _y положителен и интегрируем с интегралом 1, операторы T _s также определяют сжимающую полугруппу на каждом пространстве L ^p с 1 < p < ∞.

Высшие преобразования Рисса ядра Пуассона можно вычислить:

$${\displaystyle {R^{k}P_{s}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over (|z|^{2}+s^{2})^{k/2+1}}}}$$

для k ≥ 1 и комплексно сопряженное для − k . Действительно, правая часть является гармонической функцией F ( x , y , s ) трех переменных и для таких функций ^[18]

$${\displaystyle {T_{s_{1}}F(x,y,s_{2})=F(x,y,s_{1}+s_{2}).}}$$

Как и прежде операторы

$${\displaystyle {T_{\varepsilon }R^{k}-R_{\varepsilon }^{(k)}}}$$

задаются сверткой с интегрируемыми функциями и имеют равномерно ограниченные нормы операторов. Поскольку преобразования Рисса унитарны на L ² ( C ), равномерная ограниченность усеченных преобразований Рисса подразумевает, что они сходятся в сильной операторной топологии к соответствующим преобразованиям Рисса.

Равномерную ограниченность разности между преобразованием и усеченным преобразованием можно также увидеть для нечетных k, используя метод вращения Кальдерона-Зигмунда. ^{[19] [20]} Группа T действует вращением на функции на C посредством$${\displaystyle {U_{\theta }f(z)=f(e^{i\theta }z).}}$$

Это определяет унитарное представление на L ² ( C ), а унитарные операторы R _θ коммутируют с преобразованием Фурье. Если A — ограниченный оператор на L ² ( R ), то он определяет ограниченный оператор A ⁽¹⁾ на L ² ( C ), просто заставляя A действовать на первую координату. С отождествлением L ² ( R ² ) = L ² ( R ) ⊗ L ² ( R ), A ⁽¹⁾ = A ⊗ I . Если φ — непрерывная функция на окружности, то новый оператор может быть определен как$${\displaystyle {B={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta .}}$$

Это определение понимается в том смысле, что$${\displaystyle {(Bf,g)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )(U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}f,g)\,d\theta }}$$

для любых f , g в L ² ( C ). Отсюда следует, что$${\displaystyle {\|B\|\leq {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }|\varphi (\theta )|\cdot \|A\|\,d\theta .}}$$

Если принять A за преобразование Гильберта H на L ² ( R ) или его усечение H _ε , то отсюда следует, что$${\displaystyle {\begin{aligned}R&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i\theta }U_{\theta }H^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta ,\\R_{\varepsilon }&={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }e^{-i\theta }U_{\theta }H_{\varepsilon }^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta .\end{aligned}}}$$

Взятие сопряженных элементов дает похожую формулу для R* и ее усечения. Это дает второй способ проверки оценок норм R , R * и их усечений. Он имеет то преимущество, что применим также для пространств L ^{p .}

Операторы Пуассона также можно использовать для того, чтобы показать, что усеченные высшие преобразования Рисса функции стремятся к высшему преобразованию Рисса в общих точках Лебега функции и ее преобразования. Действительно, ( R ^k T _ε − R ^{( k )} _ε ) f → 0 в каждой точке Лебега f ; в то время как ( R ^k − R ^k T _ε ) f → 0 в каждой точке Лебега R ^k f . ^[21]

С

$${\displaystyle {{\overline {z}} \over z}=\left({{\overline {z}} \over |z|}\right)^{2},}$$

преобразование Берлинга T на L ² является унитарным оператором, равным R ² . Это соотношение было использовано классически в работах Векуа (1962) и Альфорса (1966) для установления свойств непрерывности T на пространствах L ^p . Результаты по преобразованию Рисса и его степеням показывают, что T является пределом в сильной операторной топологии усеченных операторов$${\displaystyle T_{\varepsilon }f(w)=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dxdy.}$$

Соответственно, Tf можно записать как интеграл главного значения Коши:

$${\displaystyle Tf(w)=-{\frac {1}{\pi }}P.V.\iint {\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dxdy=-{\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\iint _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{(w-z)^{2}}}dx\,dy.}$$

Из описания T и T * на преобразованиях Фурье следует, что если f — гладкая функция с компактным носителем

$${\displaystyle {\begin{aligned}T(\partial _{z}f)&=\partial _{z}T(f),\\T(\partial _{\overline {z}}f)&=\partial _{\overline {z}}T(f).\end{aligned}}}$$

Подобно преобразованию Гильберта в одном измерении, преобразование Берлинга совместимо с конформными изменениями координат. Пусть Ω — ограниченная область в C с гладкой границей ∂Ω, а φ — однолистное голоморфное отображение единичного круга D на Ω, продолжающееся до гладкого диффеоморфизма окружности на ∂Ω. Если χ _Ω — характеристическая функция Ω, оператор может χ _Ω Tχ _Ω определить оператор T (Ω) на L ² (Ω). Через конформное отображение φ он индуцирует оператор, также обозначаемый T (Ω), на L ² ( D ), который можно сравнить с T ( D ). То же самое верно для усечений T _ε (Ω) и T _ε ( D ).

Пусть U _{ε —} круг | z − w | < ε и V ^ε — область |φ( z ) − φ( w )| < ε . На L ² ( D )$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\varepsilon }(\Omega )f(w)&=-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}\left[{\varphi ^{\prime }(w)\varphi ^{\prime }(z) \over (\varphi (z)-\varphi (w))^{2}}f(z)\right]dx\,dy,\\T_{\varepsilon }(D)f(w)&=-{1 \over \pi }\iint _{D\backslash U_{\varepsilon }}{f(z) \over (z-w)^{2}}\,dx\,dy,\end{aligned}}}$$

и операторные нормы этих усеченных операторов равномерно ограничены. С другой стороны, если

$${\displaystyle T_{\varepsilon }^{\prime }(D)f(w)=-{1 \over \pi }\iint _{D\backslash V_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{(z-w)^{2}}}dx\,dy,}$$

тогда разность между этим оператором и T _ε (Ω) представляет собой усеченный оператор с гладким ядром K ( w , z ):

$${\displaystyle K(w,z)=-{1 \over \pi }\left[{\varphi '(w)\varphi '(z) \over (\varphi (z)-\varphi (w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}}\right].}$$

Поэтому операторы T′ _ε ( D ) также должны иметь равномерно ограниченные операторные нормы. Чтобы увидеть, что их разность стремится к 0 в сильной операторной топологии, достаточно проверить это для f smooth компактного носителя в D . По теореме Грина ^[22]

$${\displaystyle \left(T_{\varepsilon }(D)-T_{\varepsilon }^{\prime }(D)\right)f(w)={\frac {1}{\pi }}\iint _{U_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over z-w}dx\,dy-{1 \over \pi }\iint _{V_{\varepsilon }}{\partial _{z}f(z) \over z-w}dx\,dy+{1 \over 2\pi i}\int _{\partial U_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{z-w}}d{\overline {z}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial V_{\varepsilon }}{f(z) \over z-w}\,d{\overline {z}}.}$$

Все четыре члена в правой части стремятся к 0. Следовательно, разность T (Ω) − T ( D ) является оператором Гильберта–Шмидта с ядром K .

Для поточечной сходимости существует простой аргумент, предложенный Матеу и Вердерой (2006), показывающий, что усеченные интегралы сходятся к Tf точно в его точках Лебега, то есть почти всюду. ^[23] Фактически T обладает следующим свойством симметрии для f , g ∈ L ² ( C )

$${\displaystyle \iint (Tf)g=-{1 \over \pi }\lim \int _{|z-w|\geq \varepsilon }{\frac {f(w)g(z)}{(w-z)^{2}}}=\iint f(Tg).}$$

С другой стороны, если χ — характеристическая функция диска D ( z ,ε) с центром z и радиусом ε , то

$${\displaystyle T\chi (w)=-\varepsilon ^{2}{\frac {1-\chi (w)}{(w-z)^{2}}}.}$$

Следовательно$${\displaystyle T_{\varepsilon }(f)(z)={1 \over \pi \varepsilon ^{2}}\iint f(T\chi )={1 \over \pi \varepsilon ^{2}}\iint (Tf)\chi =\mathbf {Av} _{D(z,\varepsilon )}\,Tf.}$$

По теореме Лебега о дифференцировании правая часть сходится к Tf в точках Лебега Tf .

Для f в пространстве Шварца R ⁿ j -е преобразование Рисса определяется как

$${\displaystyle R_{j}f(x)=c_{n}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|y|\geq \varepsilon }f(x-y){y_{j} \over |y|^{n+1}}dy={\frac {c_{n}}{n-1}}\int \partial _{j}f(x-y){1 \over |y|^{n-1}}dy,}$$

где$${\displaystyle c_{n}=\Gamma \left({\tfrac {n+1}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {n+1}{2}}}.}$$

При преобразовании Фурье:

$${\displaystyle {\widehat {R_{j}f}}(t)={it_{j} \over |t|}{\widehat {f}}(t).}$$

Таким образом, R _j соответствует оператору ∂ _j Δ ^−1/2 , где Δ = −∂ ₁ ² − ⋯ −∂ _n ² обозначает лапласиан на R ⁿ . По определению R _j является ограниченным и кососопряженным оператором для нормы L ² и

$${\displaystyle R_{1}^{2}+\cdots +R_{n}^{2}=-I.}$$

Соответствующие усеченные операторы равномерно ограничены в норме оператора. Это можно доказать либо напрямую, либо установить методом вращений Кальдерона-Зигмунда для группы SO( n ). ^[24] Это выражает операторы R _j и их усечения в терминах преобразований Гильберта в одном измерении и его усечений. Фактически, если G = SO( n ) с нормализованной мерой Хаара и H ⁽¹⁾ — преобразование Гильберта в первой координате, то$${\displaystyle R_{j,\varepsilon }f(x)=c_{n}\int _{|y|\geq \varepsilon }f(x-y){y_{j} \over |y|^{n+1}}dy}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{j}&=\int _{G}\varphi (g)gH^{(1)}g^{-1}\,dg,\\R_{j,\varepsilon }&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon }^{(1)}g^{-1}\,dg,\\R_{j,\varepsilon ,R}&=\int _{G}\varphi (g)gH_{\varepsilon ,R}^{(1)}g^{-1}\,dg.\end{aligned}}}$$

где φ ( g ) — матричный коэффициент (1, j ) g .

В частности, для f ∈ L ² , R _{j ,ε} f → R _j f в L ² . Более того, R _{j ,ε} f стремится к R _j почти всюду. Это можно доказать точно так же, как для преобразования Гильберта, используя операторы Пуассона, определенные на L ² ( R ⁿ ), когда R ⁿ рассматривается как граница полупространства в R ^{n +1} . Альтернативно это можно доказать непосредственно из результата для преобразования Гильберта на R, используя выражение R _j как интеграл по G . ^{[25] [26]}

Операторы Пуассона T _y на R ⁿ определяются для y > 0 по формуле ^[27]

$${\displaystyle T_{y}f(x)=c_{n}\int _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {yf(x)}{\left(|x-t|^{2}+y^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}dt.}$$

Они задаются сверткой с функциями$${\displaystyle P_{y}(x)=c_{n}{\frac {y}{\left(|x|^{2}+y^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}.}$$

P _y — это преобразование Фурье функции e ^{− y | x |} , поэтому при преобразовании Фурье они соответствуют умножению на эти функции и образуют сжимающую полугруппу на L ² ( R ⁿ ). Поскольку P _y положителен и интегрируем с интегралом 1, операторы T _y также определяют сжимающую полугруппу на каждом пространстве L ^p с 1 < p < ∞.

Преобразования Рисса ядра Пуассона можно вычислить

$${\displaystyle R_{j}P_{\varepsilon }(x)=c_{n}{\frac {x_{j}}{\left(|x|^{2}+\varepsilon ^{2}\right)^{\frac {n+1}{2}}}}.}$$

Оператор R _j T _ε задается сверткой с этой функцией. Можно непосредственно проверить, что операторы R _j T _ε − R _{j , ε} задаются сверткой с функциями, равномерно ограниченными в норме L ^1. Поэтому норма оператора разности равномерно ограничена. Мы имеем ( R _j T _ε − R _{j , ε} ) f → 0 в каждой точке Лебега функции f ; в то время как ( R _j − R _j T _ε ) f → 0 в каждой точке Лебега функции R _j f . Таким образом, R _{j , ε} f → R _j f в общих точках Лебега функций f и R _j f .

Теорема Марселя Рисса утверждает, что сингулярные интегральные операторы, непрерывные в норме L2 ^, непрерывны также в ^норме Lp при 1 < p <∞ и что нормы операторов непрерывно изменяются с p .

После того, как установлено, что нормы операторов преобразования Гильберта на L ^p ( T ) ограничены для четных целых чисел, из интерполяционной теоремы Рисса–Торина и двойственности следует, что они ограничены для всех p с 1 < p < ∞ и что нормы непрерывно меняются с p . Более того, аргументы с интегралом Пуассона можно применить, чтобы показать, что усеченные преобразования Гильберта H _ε равномерно ограничены по норме оператора и сходятся в сильной операторной топологии к H .

Достаточно доказать оценку для действительных тригонометрических полиномов без свободного члена:

$${\displaystyle f\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{m=1}^{N}a_{m}e^{im\theta }+a_{-m}e^{-im\theta },\qquad a_{-m}={\overline {a_{m}}}.}$$

Так как f + iHf является многочленом по e ^iθ без постоянного члена

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }(f+iHf)^{2n}\,d\theta =0.}$$

Следовательно, беря действительную часть и используя неравенство Гёльдера :

$${\displaystyle \|Hf\|_{2n}^{2n}\leq \sum _{k=0}^{n-1}{2n \choose 2k}\left|\left((Hf)^{2k},f^{2n-2k}\right)\right|\leq \sum _{k=0}^{n-1}{2n \choose 2k}\|Hf\|_{2n}^{2k}\cdot \|f\|_{2n}^{2n-2k}.}$$

Таким образом, теорема М. Рисса следует по индукции для четного целого числа p и, следовательно, для всех p с 1 < p < ∞ .

После того, как установлено, что нормы оператора преобразования Гильберта на L ^p ( R ) ограничены, когда p является степенью 2, из интерполяционной теоремы Рисса–Торина и двойственности следует, что они ограничены для всех p с 1 < p < ∞ и что нормы непрерывно меняются с p . Более того, аргументы с интегралом Пуассона можно применить, чтобы показать, что усеченные преобразования Гильберта H _ε равномерно ограничены по норме оператора и сходятся в сильной операторной топологии к H .

Достаточно доказать границу, когда f — функция Шварца. В этом случае выполняется следующее тождество Котлара:

$${\displaystyle (Hf)^{2}=f^{2}+2H(fH(f)).}$$

На самом деле, запишите f = f ₊ + f ₋ в соответствии с ± i собственными пространствами H. Поскольку f ± iHf распространяются на голоморфные функции в верхней и нижней полуплоскости, то же самое делают и их квадраты. Следовательно

$${\displaystyle f^{2}-(Hf)^{2}=\left(f_{+}+f_{-}\right)^{2}+\left(f_{+}-f_{-}\right)^{2}=2\left(f_{+}^{2}+f_{-}^{2}\right)=-2iH\left(f_{+}^{2}-f_{-}^{2}\right)=-2H(f(Hf)).}$$

(Идентичность Котлара можно также проверить напрямую, выполнив преобразования Фурье.)

Следовательно, принимая теорему М. Рисса для p = 2 ⁿ ,

$${\displaystyle \|Hf\|_{2^{n+1}}^{2}=\left\|(Hf)^{2}\right\|_{2^{n}}\leq \left\|f^{2}\right\|_{2^{n}}+2\|H(fH(f))\|_{2^{n}}\leq \|f\|_{2^{n+1}}^{2}+2\|H\|_{2^{n}}\|f\|_{2^{n+1}}\|Hf\|_{2^{n+1}}.}$$

С

$${\displaystyle R^{2}>1+2\|H\|_{2^{n}}R}$$

при достаточно большом R теорема М. Рисса должна быть справедлива и для p = 2 ^{n +1} .

Точно такой же метод работает для преобразования Гильберта на окружности. ^[30] То же самое тождество Котлара легко проверяется на тригонометрических полиномах f, если записать их в виде суммы членов с неотрицательными и отрицательными показателями, т. е. собственных функций ± i оператора H. Границы L ^p могут быть, таким образом, установлены, когда p является степенью 2, и в общем случае получены с помощью интерполяции и двойственности.

Метод вращения для преобразований Рисса и их усечений одинаково хорошо применим на пространствах L ^p при 1 < p < ∞ . Таким образом, эти операторы можно выразить через преобразование Гильберта на R и его усечения. Интегрирование функций Φ из группы T или SO( n ) в пространство операторов на L ^p берется в слабом смысле:

$${\displaystyle \left(\int _{G}\Phi (x)\,dx\,f,g\right)=\int _{G}(\Phi (x)f,g)\,dx}$$

где f лежит в L ^{p ,} а g лежит в сопряженном пространстве L ^q с ⁠1/п⁠ + ⁠1/д⁠ . Отсюда следует, что преобразования Рисса ограничены на L ^p и что разности с их усечениями также равномерно ограничены. Непрерывность норм L ^p фиксированного преобразования Рисса является следствием интерполяционной теоремы Рисса–Торина .

Доказательства поточечной сходимости для преобразований Гильберта и Рисса опираются на теорему дифференцирования Лебега , которую можно доказать с помощью максимальной функции Харди-Литтлвуда . ^[31] Методы для простейшего и наиболее известного случая, а именно преобразования Гильберта на окружности, являются прототипом для всех других преобразований. Этот случай подробно объясняется здесь.

Пусть f принадлежит L ^p ( T ) для p > 1. Теорема дифференцирования Лебега утверждает, что

$${\displaystyle {A(\varepsilon )={1 \over 2\varepsilon }\int _{x-\varepsilon }^{x+\varepsilon }|f(t)-f(x)|\,dt\to 0}}$$

для почти всех x из T . ^{[32] [33] [34]} Точки, в которых это выполняется, называются точками Лебега функции f . Используя эту теорему, следует, что если f — интегрируемая функция на окружности, интеграл Пуассона T _r f поточечно стремится к f в каждой точке Лебега функции f . Фактически, при фиксированном x A ( ε ) — непрерывная функция на [0, π ] . Непрерывность в 0 следует из того, что x — точка Лебега, а в других местах — из того, что если h — интегрируемая функция, интеграл от |h| на интервалах убывающей длины стремится к 0 по неравенству Гёльдера .

Полагая r = 1 − ε , разницу можно оценить двумя интегралами:

$${\displaystyle 2\pi |T_{r}f(x)-f(x)|=\int _{0}^{2\pi }|(f(x-y)-f(x))P_{r}(y)|\,dy\leq \int _{|y|\leq \varepsilon }+\int _{|y|\geq \varepsilon }.}$$

Ядро Пуассона имеет два важных свойства для малых ε

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sup _{y\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}|P_{1-\varepsilon }(y)|&\leq \varepsilon ^{-1}.\\\sup _{y\notin (-\varepsilon ,\varepsilon )}|P_{1-\varepsilon }(y)|&\to 0.\end{aligned}}}$$

Первый интеграл ограничен A ( ε ) по первому неравенству и стремится к нулю, когда ε стремится к 0; второй интеграл стремится к 0 по второму неравенству.

Те же рассуждения можно использовать, чтобы показать, что T _{1 − ε} Hf – H _ε f стремится к нулю в каждой точке Лебега функции f . ^[35] Фактически оператор T _{1 − ε} Hf имеет ядро ​​Q _r + i , где сопряженное ядро ​​Пуассона Q _r определяется как$${\displaystyle {Q_{r}(\theta )={2r\sin \theta \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}}$$

Следовательно$${\displaystyle {2\pi |T_{1-\varepsilon }Hf(x)-H_{\varepsilon }f(x)|\leq \int _{|y|\leq \varepsilon }|f(x-y)-f(x)|\cdot |Q_{r}(y)|\,dy+\int _{|y|\geq \varepsilon }|f(x-y)-f(x)|\cdot |Q_{1}(y)-Q_{r}(y)|\,dy.}}$$

Сопряженное ядро ​​Пуассона имеет два важных свойства для малых ε$${\displaystyle {\begin{aligned}\sup _{y\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}|Q_{1-\varepsilon }(y)|&\leq \varepsilon ^{-1}.\\\sup _{y\notin (-\varepsilon ,\varepsilon )}|Q_{1}(y)-Q_{1-\varepsilon }(y)|&\to 0.\end{aligned}}}$$

Точно такое же рассуждение, как и раньше, показывает, что оба интеграла стремятся к 0 при ε → 0.

Объединяя эти две предельные формулы, следует, что H _ε f стремится поточечно к Hf в общих точках Лебега f и Hf и, следовательно, почти всюду. ^{[36] [37] [38]}

Большая часть теории L ^p была разработана с использованием максимальных функций и максимальных преобразований. Этот подход имеет то преимущество, что он также распространяется на пространства L ¹ в соответствующем «слабом» смысле и дает уточненные оценки в пространствах L ^p для p > 1. Эти более точные оценки составляют важную часть методов, задействованных в решении Леннарта Карлесона в 1966 году гипотезы Лузина о том, что ряды Фурье функций L ² сходятся почти всюду. ^[39] В более элементарных формах этого подхода теории L ² уделяется меньше внимания: вместо этого больше внимания уделяется теории L ¹ , в частности ее теоретико-мерным и вероятностным аспектам; результаты для других пространств L ^p выводятся с помощью формы интерполяции между пространствами L ¹ и L ^∞ . Этот подход описан в многочисленных учебниках, включая классические работы Зигмунда (1977) и Кацнельсона (1968). Здесь мы следуем описанию Кацнельсона для частного случая преобразования Гильберта функций в L ¹ ( T ), случая, не охваченного приведенным выше развитием. Доказательство выпуклости Ф. Рисса , первоначально установленное Харди , устанавливается напрямую, без обращения к интерполяции Рисса-Торина . ^{[40] [41]}

Если f — функция L ¹ на окружности, то ее максимальная функция определяется формулой ^[42]

$${\displaystyle {f^{*}(t)=\sup _{0<h\leq \pi }{1 \over 2h}\int _{t-h}^{t+h}|f(s)|\,ds.}}$$

f * конечна почти всюду и имеет слабый тип L ^1. Фактически для λ > 0, если

$${\displaystyle {E_{f}(\lambda )=\{x:\,|f(x)|>\lambda \},\,\,f_{\lambda }=\chi _{E(\lambda )}f,}}$$

затем ^[43]

$${\displaystyle m(E_{f^{*}}(\lambda ))\leq {8 \over \lambda }\int _{E_{f}(\lambda )}|f|\leq {8\|f\|_{1} \over \lambda },}$$

где m обозначает меру Лебега.

Неравенство Харди-Литтлвуда, приведенное выше, приводит к доказательству того, что почти каждая точка x из T является точкой Лебега интегрируемой функции f , так что

$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\int _{x-h}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt}{2h}}\to 0.}$$

На самом деле, пусть

$${\displaystyle \omega (f)(x)=\limsup _{h\to 0}{\frac {\int _{x-h}^{x+h}|f(t)-f(x)|\,dt}{2h}}\leq f^{*}(x)+|f(x)|.}$$