Преобразование Рисса

В математической теории гармонического анализа преобразования Рисса представляют собой семейство обобщений преобразования Гильберта на евклидовы пространства размерности d  > 1. Они являются типом сингулярного интегрального оператора , что означает, что они задаются сверткой одной функции с другой функцией, имеющей особенность в начале координат. В частности, преобразования Рисса комплекснозначной функции ƒ на R ^d определяются как

${\displaystyle R_{j}f(x)=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}\backslash B_{\epsilon }(x)}{\frac {(x_{j}-t_{j})f(t)}{|xt|^{d+1}}}\,dt}$

1

для j  = 1,2,..., d . Константа c _d является размерной нормализацией, заданной как

${\displaystyle c_{d}={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}={\frac {\Gamma [(d+1)/2]}{\pi ^{( d+1)/2}}}.}$

где ω _{d −1} — объем единичного ( d  − 1)-шара . Предел записывается различными способами, часто как главное значение или как свертка с умеренным распределением

${\displaystyle K(x)={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}\,pv{\frac {x_{j}}{|x|^{d+1}}}.}$

Преобразования Рисса возникают при изучении свойств дифференцируемости гармонических потенциалов в теории потенциала и гармоническом анализе . В частности, они возникают при доказательстве неравенства Кальдерона-Зигмунда (Gilbarg & Trudinger 1983, §9.4).

Преобразования Рисса задаются множителем Фурье . Действительно, преобразование Фурье R _j ƒ задается как

${\displaystyle {\mathcal {F}}(R_{j}f)(x)=-i{\frac {x_{j}}{|x|}}({\mathcal {F}}f)(x).}$

В этой форме преобразования Рисса рассматриваются как обобщения преобразования Гильберта . Ядро представляет собой распределение , однородное степени ноль. Конкретным следствием этого последнего наблюдения является то, что преобразование Рисса определяет ограниченный линейный оператор из L ² ( R ^d ) в себя. ^[1]

Это свойство однородности можно также сформулировать более прямо, без помощи преобразования Фурье. Если σ _s — это расширение на R ^d скаляром s , то есть σ _s x  =  sx , то σ _s определяет действие на функции через пулбэк :

${\displaystyle \sigma _{s}^{*}f=f\circ \sigma _{s}.}$

Преобразования Рисса коммутируют с σ _s :

${\displaystyle \sigma _{s}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\sigma _{x}^{*}f).}$

Аналогично, преобразования Рисса коммутируют с переносами. Пусть τ _a будет переносом на R ^d вдоль вектора a ; то есть τ _a ( x ) =  x  +  a . Тогда

${\displaystyle \tau _{a}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\tau _{a}^{*}f).}$

Для окончательного свойства удобно рассматривать преобразования Рисса как единую векторную сущность R ƒ = ( R ₁ ƒ,..., R _d ƒ). Рассмотрим поворот ρ в R ^d . Поворот действует на пространственные переменные и, следовательно, на функции через обратный отсчет. Но он также может действовать на пространственный вектор R ƒ. Окончательное свойство преобразования утверждает, что преобразование Рисса является эквивариантным относительно этих двух действий; то есть,

${\displaystyle \rho ^{*}R_{j}[(\rho ^{-1})^{*}f]=\sum _{k=1}^{d}\rho _{jk}R_{k}f.}$

Эти три свойства фактически характеризуют преобразование Рисса в следующем смысле. Пусть T =( T ₁ ,..., T _d ) будет d -кортежем ограниченных линейных операторов из L ² ( R ^d ) в L ² ( R ^d ) таким, что

• T коммутирует со всеми расширениями и переносами.
• T эквивариантен относительно вращений.

Тогда для некоторой константы c , T = cR .

Несколько неточно, но преобразования Рисса дают первые частные производные решения уравнения${\displaystyle f}$

${\displaystyle {(-\Delta)^{\frac {1}{2}}u=f},}$

где Δ — лапласиан. Таким образом, преобразование Рисса можно записать как:${\displaystyle f}$

${\displaystyle {Rf=\nabla (-\Delta )^{-{\frac {1}{2}}}f}}$

В частности, следует также иметь

${\displaystyle R_{i}R_{j}\Delta u=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},}$

таким образом, преобразования Рисса дают возможность восстановить информацию обо всем гессиане функции, зная только ее лапласиан.

Теперь это сделано более точно. Предположим, что это функция Шварца . Тогда действительно, по явной форме множителя Фурье, имеем${\displaystyle u}$

${\displaystyle R_{i}R_{j}(\Delta u)=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}$

Тождество не является в общем случае верным в смысле распределений . Например, если — умеренное распределение, такое что , то можно только заключить, что${\displaystyle u}$${\displaystyle \Delta u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=-R_{i}R_{j}\Delta u+P_{ij}(x)}$

для некоторого полинома .${\displaystyle P_{ij}}$

• Преобразование Гильберта
• ядро Пуассона
• потенциал Рисса

• Гилбарг, Д.; Трудингер, Нил (1983), Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка , Нью-Йорк: Springer, ISBN 3-540-41160-7.
• Стайн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций , Princeton University Press.
• Стайн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Аркоцци, Н. (1998), Преобразование Рисса на сферах и компактных группах Ли , Нью-Йорк: Springer, doi : 10.1007/BF02384766 , ISSN  0004-2080, S2CID  119919955.