Идеал (теория колец)

В математике , а точнее в теории колец , идеал кольца — это особое подмножество его элементов. Идеалы обобщают определенные подмножества целых чисел , такие как четные числа или числа, кратные 3. Сложение и вычитание четных чисел сохраняет четность, а умножение четного числа на любое целое число (четное или нечетное) дает четное число; эти свойства замыкания и поглощения являются определяющими свойствами идеала. Идеал может быть использован для построения фактор-кольца способом, аналогичным тому, как в теории групп нормальная подгруппа может быть использована для построения фактор-группы .

Среди целых чисел идеалы соответствуют один к одному неотрицательным целым числам : в этом кольце каждый идеал является главным идеалом, состоящим из кратных одного неотрицательного числа. Однако в других кольцах идеалы могут не соответствовать напрямую элементам кольца, и некоторые свойства целых чисел, обобщенные на кольца, более естественно присоединяются к идеалам, чем к элементам кольца. Например, простые идеалы кольца аналогичны простым числам , и китайская теорема об остатках может быть обобщена на идеалы. Существует версия уникальной простой факторизации для идеалов дедекиндовой области (тип кольца, важный в теории чисел ).

Связанное, но отличное понятие идеала в теории порядка выводится из понятия идеала в теории колец. Дробный идеал является обобщением идеала, а обычные идеалы иногда называются интегральными идеалами для ясности.

Эрнст Куммер изобрел концепцию идеальных чисел , которые должны были служить «недостающими» множителями в числовых кольцах, в которых однозначная факторизация невозможна; здесь слово «идеал» употребляется в смысле существующего только в воображении, по аналогии с «идеальными» объектами в геометрии, такими как точки в бесконечности. ^[1] В 1876 году Рихард Дедекинд заменил неопределенную концепцию Куммера конкретными множествами чисел, множествами, которые он назвал идеалами, в третьем издании книги Дирихле « Представления о теории чисел» , к которой Дедекинд добавил множество дополнений. ^{[1] [2] [3]} Позднее это понятие было распространено за пределы числовых колец на множество колец многочленов и других коммутативных колец Давидом Гильбертом и особенно Эмми Нётер .

Для кольца R левый идеал — это подмножество I кольца R , которое является подгруппой аддитивной группы , которая «поглощает умножение слева на элементы ⁠ ⁠ »; то есть является левым идеалом, если он удовлетворяет следующим двум условиям:${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$

1. ${\displaystyle (I,+)}$является подгруппой ⁠ ⁠${\displaystyle (R,+)}$ ,​
2. Для каждого и каждого ⁠ ⁠ , продукт находится в ⁠ ⁠ . ^[4]${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle x\in I}$${\displaystyle rx}$${\displaystyle I}$

Другими словами, левый идеал — это левый подмодуль R , рассматриваемый как левый модуль над собой. ^[5]

Правый идеал определяется аналогично, с заменой условия на ⁠ ⁠ . Двусторонний идеал — это левый идеал, который также является правым идеалом.${\displaystyle rx\in I}$${\displaystyle xr\in I}$

Если кольцо коммутативно , три определения одинаковы, и говорят просто об идеале . В некоммутативном случае вместо «двустороннего идеала» часто используют «идеал».

Если I — левый, правый или двусторонний идеал, то отношение имеет место тогда и только тогда, когда${\displaystyle x\sim y}$

${\displaystyle x-y\in I}$

является отношением эквивалентности на R , а множество классов эквивалентности образует левый, правый или бимодуль, обозначаемый и называемый фактором R по I. ^[6] (Это пример отношения конгруэнтности и обобщение модулярной арифметики . )${\displaystyle R/I}$

Если идеал I двусторонний, является кольцом, ^[7] и функция ${\displaystyle R/I}$

${\displaystyle R\to R/I}$

, который сопоставляет каждому элементу R его класс эквивалентности, является сюръективным кольцевым гомоморфизмом , имеющим идеал в качестве своего ядра . ^[8] Обратно, ядро ​​кольцевого гомоморфизма является двусторонним идеалом. Следовательно, двусторонние идеалы являются в точности ядрами кольцевых гомоморфизмов.

По соглашению, кольцо имеет мультипликативную идентичность. Но некоторые авторы не требуют, чтобы кольцо имело мультипликативную идентичность; т. е. для них кольцо является rng . Для rng R левый идеал I является подrng с дополнительным свойством, которое есть в I для любого и любого . (Правые и двусторонние идеалы определяются аналогично.) Для кольца идеал I (скажем, левый идеал) редко является подкольцом; поскольку подкольцо разделяет ту же мультипликативную идентичность с охватывающим кольцом R , если бы I было подкольцом, для любого , мы имеем , т. е . .${\displaystyle rx}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle x\in I}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle r=r1\in I;}$${\displaystyle I=R}$

Понятие идеала не подразумевает ассоциативности; таким образом, идеал определяется также для неассоциативных колец (часто без мультипликативного тождества), таких как алгебра Ли .

(Для краткости некоторые результаты приводятся только для левых идеалов, но обычно они справедливы и для правых идеалов с соответствующими изменениями обозначений.)

• В кольце R само множество R образует двусторонний идеал кольца R, называемый единичным идеалом . Его часто также обозначают как , поскольку это именно двусторонний идеал, порожденный (см. ниже) единицей ⁠ ⁠ . Кроме того, множество, состоящее только из аддитивной единицы 0 _R, образует двусторонний идеал, называемый нулевым идеалом , и обозначается как ⁠ ⁠ . ^{[примечание 1]} Каждый (левый, правый или двусторонний) идеал содержит нулевой идеал и содержится в единичном идеале. ^[9]${\displaystyle (1)}$${\displaystyle 1_{R}}$${\displaystyle \{0_{R}\}}$${\displaystyle (0)}$
• (Левый, правый или двусторонний) идеал, который не является единичным идеалом, называется собственным идеалом (так как он является собственным подмножеством ). ^[10] Примечание: левый идеал является собственным тогда и только тогда, когда он не содержит единичного элемента, так как если является единичным элементом, то для каждого ⁠ ⁠ . Обычно существует множество собственных идеалов. Фактически, если R является телом , то являются его единственными идеалами и наоборот: то есть ненулевое кольцо R является телом , если являются единственными левыми (или правыми) идеалами. (Доказательство: если является ненулевым элементом, то главный левый идеал (см. ниже) является отличным от нуля и, таким образом , ; т. е. для некоторого ненулевого ⁠ ⁠ . Аналогично, для некоторого ненулевого . Тогда .)${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle u\in {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle (0),(1)}$${\displaystyle (0),(1)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Rx}$${\displaystyle Rx=(1)}$${\displaystyle yx=1}$${\displaystyle y}$${\displaystyle zy=1}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z=z(yx)=(zy)x=x}$
• Чётные целые числа образуют идеал в кольце всех целых чисел, поскольку сумма любых двух чётных целых чисел чётна, а произведение любого целого числа на чётное целое число также чётно; этот идеал обычно обозначается ⁠ ⁠ . В более общем смысле, множество всех целых чисел, делящихся на фиксированное целое число, является идеалом, обозначаемым ⁠ ⁠ . Фактически, каждый ненулевой идеал кольца порождается его наименьшим положительным элементом, как следствие евклидова деления , поэтому является областью главных идеалов . ^[9]${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Множество всех многочленов с действительными коэффициентами, делящихся на многочлен, является идеалом в кольце всех многочленов с действительными коэффициентами ⁠ ⁠ .${\displaystyle x^{2}+1}$${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$
• Возьмем кольцо и положительное целое число ⁠ ⁠ . Для каждого ⁠ ⁠ множество всех матриц с элементами в -й строке которых равен нулю, является правым идеалом в кольце всех матриц с элементами в ⁠ ⁠ . Это не левый идеал. Аналогично, для каждого ⁠ ⁠ множество всех матриц, в -м столбце которых равен нулю, является левым идеалом, но не правым идеалом.${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle i}$${\displaystyle M_{n}(R)}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle R}$${\displaystyle 1\leq j\leq n}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle j}$
• Кольцо всех непрерывных функций от до при поточечном умножении содержит идеал всех непрерывных функций таких, что ⁠ ⁠ . ^[11] Другой идеал в задается теми функциями, которые обращаются в нуль при достаточно больших аргументах, т.е. теми непрерывными функциями, для которых существует число такое, что всякий раз , когда ⁠ ⁠ .${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(1)=0}$${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L>0}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle \vert x\vert >L}$
• Кольцо называется простым, если оно ненулевое и не имеет двусторонних идеалов, отличных от ⁠ ⁠${\displaystyle (0),(1)}$ . Таким образом, тело простое, а простое коммутативное кольцо является полем. Кольцо матриц над телом является простым кольцом.
• Если — гомоморфизм колец , то ядро ​​— двусторонний идеал кольца ⁠ ⁠ . ^[9] По определению, ⁠ ⁠ , и, таким образом, если — не нулевое кольцо (так что ⁠ ⁠ ), то — собственный идеал. В более общем случае для каждого левого идеала I кольца S , прообраз — левый идеал. Если I — левый идеал кольца R , то — левый идеал подкольца S : если f не сюръективно , то не обязательно является идеалом кольца S ; см. также #Расширение и сужение идеала ниже.${\displaystyle f:R\to S}$${\displaystyle \ker(f)=f^{-1}(0_{S})}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1_{S}\neq 0_{S}}$${\displaystyle \ker(f)}$${\displaystyle f^{-1}(I)}$${\displaystyle f(I)}$${\displaystyle f(R)}$${\displaystyle f(I)}$
• Идеальное соответствие : Для заданного сюръективного гомоморфизма колец ⁠ ⁠${\displaystyle f:R\to S}$ существует биективное соответствие, сохраняющее порядок, между левыми (соответственно правыми, двусторонними) идеалами , содержащими ядро ​​, и левыми (соответственно правыми, двусторонними) идеалами : соответствие задается формулой и прообразом ⁠ ⁠ . Более того, для коммутативных колец это биективное соответствие ограничивается простыми идеалами, максимальными идеалами и радикальными идеалами (определения этих идеалов см. в разделе Типы идеалов).${\displaystyle R}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle I\mapsto f(I)}$${\displaystyle J\mapsto f^{-1}(J)}$
• (Для тех, кто знает модули) Если M — левый R -модуль и подмножество, то аннулятор S — левый идеал. Для идеалов коммутативного кольца R R -аннулятор — это идеал R , называемый идеальным фактором по и обозначаемый ⁠ ⁠ ; это пример идеализатора в коммутативной алгебре.${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})}$
• Пусть — возрастающая цепочка левых идеалов в кольце R ; т. е. — вполне упорядоченное множество и для каждого ⁠ ⁠ . Тогда объединение — левый идеал кольца R . (Примечание: этот факт остается верным, даже если R не содержит единицы 1.)${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},i\in S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}\subset {\mathfrak {a}}_{j}}$${\displaystyle i<j}$${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}}$
• Вышеуказанный факт вместе с леммой Цорна доказывает следующее: если — возможно пустое подмножество и — левый идеал, который не пересекается с E , то существует идеал, который является максимальным среди идеалов, содержащих E и не пересекающихся с ним . (Опять же, это по-прежнему справедливо, если в кольце R отсутствует единица 1.) Когда , беря и ⁠ ⁠ , в частности, существует левый идеал, который является максимальным среди собственных левых идеалов (часто называемый просто максимальным левым идеалом); см. теорему Крулля для получения дополнительной информации.${\displaystyle E\subset R}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}\subset R}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$${\displaystyle R\neq 0}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=(0)}$${\displaystyle E=\{1\}}$
• Произвольное объединение идеалов не обязательно должно быть идеалом, но следующее все еще верно: для данного возможно пустого подмножества X из R существует наименьший левый идеал, содержащий X , называемый левым идеалом, порожденным X , и обозначаемый ⁠ ⁠${\displaystyle RX}$ . Такой идеал существует, поскольку он является пересечением всех левых идеалов, содержащих X . Эквивалентно, есть множество всех (конечных) левых R -линейных комбинаций элементов X над R :${\displaystyle RX}$

  ${\displaystyle RX=\{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X\}.}$

(поскольку такой промежуток является наименьшим левым идеалом, содержащим X .) ^{[примечание 2]} Правый (соответственно двусторонний) идеал, порожденный X, определяется аналогичным образом. Для «двустороннего» нужно использовать линейные комбинации с обеих сторон; т.е.

${\displaystyle RXR=\{r_{1}x_{1}s_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R,x_{i}\in X\}.\,}$

• Левый (соответственно правый, двусторонний) идеал, порождённый одним элементом x, называется главным левым (соответственно правым, двусторонним) идеалом, порождённым x , и обозначается (соответственно ⁠ ⁠ ). Главный двусторонний идеал часто также обозначается ⁠ ⁠ . Если — конечное множество, то также записывается как ⁠ ⁠ .${\displaystyle Rx}$${\displaystyle xR,RxR}$${\displaystyle RxR}$${\displaystyle (x)}$${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle RXR}$${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$
• Существует биективное соответствие между идеалами и отношениями конгруэнтности (отношениями эквивалентности, которые уважают структуру кольца) на кольце: Для данного идеала кольца ⁠ ⁠ пусть ⁠ ⁠ . Тогда — отношение конгруэнтности на ⁠ ⁠ . Обратно, для данного отношения конгруэнтности на ⁠ ⁠ , пусть ⁠ ⁠ . Тогда — идеал кольца ⁠ ⁠ .${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle x-y\in I}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle R}$${\displaystyle I=\{x\in R:x\sim 0\}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$

Для упрощения описания все кольца предполагаются коммутативными. Некоммутативный случай подробно обсуждается в соответствующих статьях.

Идеалы важны, поскольку они появляются как ядра кольцевых гомоморфизмов и позволяют определять фактор-кольца . Различные типы идеалов изучаются, поскольку их можно использовать для построения различных типов фактор-колец.

• Максимальный идеал : Собственный идеал I называется максимальным идеалом, если не существует другого собственного идеала J с I, являющимся собственным подмножеством J. Фактор-кольцо максимального идеала является простым кольцом в общем случае и является полем для коммутативных колец. ^[12]
• Минимальный идеал : Ненулевой идеал называется минимальным, если он не содержит другого ненулевого идеала.
• Нулевой идеал : идеал . ^[13]${\displaystyle \{0\}}$
• Единичный идеал : целое кольцо (будучи идеалом, порожденным ). ^[9]${\displaystyle 1}$
• Простой идеал : Собственный идеалназывается простым идеалом , если для любогоив ⁠ ⁠ , есливходит в ⁠ ⁠ , то по крайней мере один изивходит в ⁠ ⁠ . Фактор-кольцо простого идеала является простым кольцом в общем случае и является областью целостности для коммутативных колец. ^[14]${\displaystyle I}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle I}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle I}$
• Радикальный идеал или полупервичный идеал : Собственный идеал I называется радикальным или полупервичным , если для любого a из, если a ⁿ принадлежит I для некоторого n , то a принадлежит I . Фактор-кольцо радикального идеала является полупервичным кольцом для общих колец и является редуцированным кольцом для коммутативных колец.${\displaystyle R}$
• Первичный идеал : Идеал I называется первичным идеалом , если для всех a и b из R , если ab принадлежит I , то по крайней мере один из a и b ⁿ принадлежит I для некоторого натурального числа n . Каждый первичный идеал является первичным, но не наоборот. Полупервичный первичный идеал является первичным.
• Главный идеал : идеал, порожденный одним элементом. ^[15]
• Конечно порожденный идеал : Этот тип идеала конечно порожден как модуль.
• Первобытный идеал : Левый примитивный идеал является аннулятором простоголевого модуля .
• Неприводимый идеал : Идеал называется неприводимым, если его нельзя записать в виде пересечения идеалов, которые его по сути содержат.
• Комаксимальные идеалы : Два идеала I , J называются комаксимальными, если для некоторых и ⁠ ⁠ .${\displaystyle x+y=1}$${\displaystyle x\in I}$${\displaystyle y\in J}$
• Regular ideal : Этот термин имеет несколько значений. Список см. в статье.
• Нулевой идеал : Идеал является нулевым идеалом, если каждый из его элементов нильпотентен.
• Нильпотентный идеал : Некоторая его степень равна нулю.
• Параметрический идеал : идеал, порожденный системой параметров .
• Совершенный идеал : Собственный идеал I в нётеровом кольценазывается совершенным идеалом, если его степень равна проективной размерности соответствующего фактор-кольца, ^[16] ⁠ ⁠ . Совершенный идеал не является смешанным .${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\textrm {grade}}(I)={\textrm {proj}}\dim(R/I)}$
• Несмешанный идеал : Собственный идеал I в нётеровом кольценазывается несмешанным идеалом (по высоте), если высота I равна высоте каждого связанного с ним простого числа P кольца. (Это сильнее, чем утверждение, чтоявляется равноразмерным . См. также равноразмерное кольцо .${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$${\displaystyle R/I}$

Два других важных термина, использующих "идеал", не всегда являются идеалами своего кольца. Подробности смотрите в соответствующих статьях:

• Дробный идеал : Обычно определяется, когда— коммутативная область с полем частных . Несмотря на свои названия, дробные идеалы являютсяподмодулямисо специальным свойством. Если дробный идеал полностью содержится в, то он действительно является идеалом.${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle R}$${\displaystyle K}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$
• Обратимый идеал : Обычно обратимый идеал A определяется как дробный идеал, для которого существует другой дробный идеал B, такой что AB = BA = R. Некоторые авторы могут также применять «обратимый идеал» к обычным кольцевым идеалам A и B с AB = BA = R в кольцах, отличных от доменов.

Сумма и произведение идеалов определяются следующим образом. Для и ⁠ ⁠ , левых (соответственно правых) идеалов кольца R , их сумма равна${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}}$,

который является левым (соответственно правым) идеалом, и, если являются двусторонними,${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ for }}n=1,2,\dots \},}$

т.е. произведение является идеалом, порожденным всеми произведениями вида ab с a в и b в ⁠ ⁠ .${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Примечание — наименьший левый (соответственно правый) идеал, содержащий как и (или объединение ⁠ ⁠ ), тогда как произведение содержится в пересечении и ⁠ ⁠ .${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Распределительный закон справедлив для двусторонних идеалов ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}}$ ,

• ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$ ,
• ⁠ ⁠${\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$ .

Если произведение заменить пересечением, то справедлив частичный распределительный закон:

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\supset {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}}$

где равенство выполняется, если содержит или .${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Замечание : Сумма и пересечение идеалов снова являются идеалом; с этими двумя операциями, такими как join и meet, множество всех идеалов данного кольца образует полную модулярную решетку . Решетка, в общем случае, не является дистрибутивной решеткой . Три операции пересечения, суммы (или join) и произведения превращают множество идеалов коммутативного кольца в кванталь .

Если — идеалы коммутативного кольца R , то в следующих двух случаях (по крайней мере) ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(1)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$генерируется элементами, которые образуют регулярную последовательность по модулю ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ .

(В более общем смысле, разница между произведением и пересечением идеалов измеряется функтором Tor : ⁠ ⁠${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ . ^[17] )

Целостная область называется дедекиндовой областью , если для каждой пары идеалов существует идеал такой, что ⁠ ⁠ . ^[18] Тогда можно показать, что каждый ненулевой идеал дедекиндовой области может быть однозначно записан в виде произведения максимальных идеалов, что является обобщением основной теоремы арифметики .${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$

В у нас есть${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle (n)\cap (m)=\operatorname {lcm} (n,m)\mathbb {Z} }$

поскольку — это множество целых чисел, которые делятся как на , так и на ⁠ ⁠ .${\displaystyle (n)\cap (m)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

Пусть и пусть ⁠ ⁠ . Тогда,${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)}$и${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$пока${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$

В первом вычислении мы видим общую схему для взятия суммы двух конечно порожденных идеалов, это идеал, порожденный объединением их генераторов. В последних трех мы наблюдаем, что произведения и пересечения согласуются всякий раз, когда два идеала пересекаются в нулевом идеале. Эти вычисления можно проверить с помощью Macaulay2 . ^{[19] [20] [21]}

Идеалы естественным образом появляются при изучении модулей, особенно в форме радикала.

Для простоты мы работаем с коммутативными кольцами, но с некоторыми изменениями результаты верны и для некоммутативных колец.

Пусть R — коммутативное кольцо. По определению, примитивный идеал кольца R — это аннулятор (ненулевого) простого R -модуля . Радикал Джекобсона кольца R — это пересечение всех примитивных идеалов. Эквивалентно,${\displaystyle J=\operatorname {Jac} (R)}$

${\displaystyle J=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal ideals}}}{\mathfrak {m}}.}$

Действительно, если - простой модуль и x - ненулевой элемент в M , то и , то есть - максимальный идеал. Обратно, если - максимальный идеал, то - аннулятор простого R -модуля ⁠ ⁠ . Есть и другая характеристика (доказательство несложное):${\displaystyle M}$${\displaystyle Rx=M}$${\displaystyle R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M}$${\displaystyle \operatorname {Ann} (M)}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle J=\{x\in R\mid 1-yx\,{\text{ is a unit element for every }}y\in R\}.}$

Для не обязательно коммутативного кольца общим фактом является то, что является единичным элементом тогда и только тогда, когда является (см. ссылку), и поэтому эта последняя характеристика показывает, что радикал может быть определен как в терминах левых, так и правых примитивных идеалов.${\displaystyle 1-yx}$${\displaystyle 1-xy}$

Следующий простой, но важный факт ( лемма Накаямы ) встроен в определение радикала Джекобсона: если M — модуль такой, что ⁠ ⁠${\displaystyle JM=M}$ , то M не допускает максимального подмодуля , поскольку если существует максимальный подмодуль ⁠ ⁠${\displaystyle L\subsetneq M}$ , и поэтому ⁠ ⁠ , противоречие. Поскольку ненулевой конечно порождённый модуль допускает максимальный подмодуль, в частности, имеем:${\displaystyle J\cdot (M/L)=0}$${\displaystyle M=JM\subset L\subsetneq M}$

Если и M конечно порождено, то ⁠ ⁠ .${\displaystyle JM=M}$${\displaystyle M=0}$

Максимальный идеал — это простой идеал, поэтому

${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideals }}}{\mathfrak {p}}\subset \operatorname {Jac} (R)}$

где пересечение слева называется нильрадикалом R. Как оказывается, также является множеством нильпотентных элементов R.${\displaystyle \operatorname {nil} (R)}$

Если R — артиново кольцо , то является нильпотентным и ⁠ ⁠ . (Доказательство: сначала отметим, что DCC подразумевает для некоторого n . Если (DCC) — идеал, собственно минимальный над последним, то . То есть, ⁠ ⁠ , противоречие.)${\displaystyle \operatorname {Jac} (R)}$${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)}$${\displaystyle J^{n}=J^{n+1}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})}$${\displaystyle J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0}$${\displaystyle J^{n}{\mathfrak {a}}=J^{n+1}{\mathfrak {a}}=0}$

Пусть A и B — два коммутативных кольца , и пусть f  : A → B — гомоморфизм колец . Если — идеал в A , то не обязательно идеал в B (например, возьмем f как включение кольца целых чисел Z в поле рациональных чисел Q ). Расширение в B определяется как идеал в B, порожденный ⁠ ⁠ . Явно,${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$

${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}={\Big \{}\sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}\in {\mathfrak {a}},y_{i}\in B{\Big \}}}$

Если — идеал B , то — всегда идеал A , называемый сужением до A.${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Предположим, что f  : A → B — гомоморфизм колец, — идеал в A , — идеал в B , тогда:${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$является простым числом в B является простым числом в A.${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}\supseteq {\mathfrak {a}}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}\subseteq {\mathfrak {b}}}$

В общем случае неверно, что быть простым (или максимальным) в A означает, что является простым (или максимальным) в B . Многие классические примеры этого вытекают из алгебраической теории чисел. Например, вложение ⁠ ⁠ . В элемент 2 разлагается как , где (можно показать), что ни один из не является единицей в B . Поэтому не является простым в B (и, следовательно, не является максимальным). Действительно, показывает, что ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , и, следовательно , ⁠ ⁠ .${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }$${\displaystyle B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }$${\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}$${\displaystyle 1+i,1-i}$${\displaystyle (2)^{e}}$${\displaystyle (1\pm i)^{2}=\pm 2i}$${\displaystyle (1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})}$${\displaystyle (1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})}$${\displaystyle (2)^{e}=(1+i)^{2}}$

С другой стороны, если f сюръективно и тогда :${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supseteq \ker f}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}={\mathfrak {a}}}$и ⁠ ⁠${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}}}$ .
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$является простым идеалом в A является простым идеалом в B.${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$является максимальным идеалом в A является максимальным идеалом в B.${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$

Замечание : Пусть K — расширение поля L , а B и A — кольца целых чисел K и L соответственно. Тогда B — целочисленное расширение A , и пусть f — отображение включения из A в B. Поведение простого идеала A при расширении является одной из центральных проблем алгебраической теории чисел . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}}$

Иногда полезно следующее: ^[22] простой идеал является сокращением простого идеала тогда и только тогда, когда ⁠ ⁠ . (Доказательство: Предполагая последнее, отметим, что пересекает ⁠ ⁠ , противоречие. Теперь простые идеалы соответствуют тем в B , которые не пересекаются с ⁠ ⁠ . Следовательно, существует простой идеал B , не пересекающийся с ⁠ ⁠ , такой, что является максимальным идеалом, содержащим ⁠ ⁠ . Затем проверяется, что лежит над ⁠ ⁠ . Обратное очевидно. )${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}}$${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle B_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}B_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Идеалы могут быть обобщены на любой моноидный объект ⁠ ⁠${\displaystyle (R,\otimes )}$ , где — объект, где моноидная структура забыта . Левый идеал — это подобъект , который «поглощает умножение слева на элементы ⁠ ⁠ »; то есть является левым идеалом , если он удовлетворяет следующим двум условиям:${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$

1. ${\displaystyle I}$является подобъектом​${\displaystyle R}$
2. Для каждого ⁠ ⁠ , продукт находится в ⁠ ⁠ .${\displaystyle r\in (R,\otimes )}$${\displaystyle x\in (I,\otimes )}$${\displaystyle r\otimes x}$${\displaystyle (I,\otimes )}$

Правый идеал определяется с помощью условия " ⁠ ⁠${\displaystyle r\otimes x\in (I,\otimes )}$ ", замененного на "' ⁠ ⁠${\displaystyle x\otimes r\in (I,\otimes )}$ ". Двусторонний идеал — это левый идеал, который также является правым идеалом, и иногда его просто называют идеалом. Когда является коммутативным моноидным объектом, соответственно, определения левого, правого и двустороннего идеала совпадают, и термин идеал используется отдельно.${\displaystyle R}$

Идеал также можно рассматривать как определенный тип R -модуля . Если мы рассматриваем как левый -модуль (с помощью левого умножения), то левый идеал на самом деле является просто левым подмодулем ⁠ ⁠ . Другими словами, является левым (правым) идеалом тогда и только тогда, когда он является левым (правым) -модулем, который является подмножеством ⁠ ⁠ . является двусторонним идеалом, если он является под- -бимодулем ⁠ ⁠ .${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Пример: Если мы допустим ⁠ ⁠${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ , идеалом является абелева группа, которая является подмножеством ⁠ ⁠ , т.е. для некоторого ⁠ ⁠ . Таким образом, они дают все идеалы ⁠ ⁠ .${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle m\mathbb {Z} }$${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Модульная арифметика
• Теорема Нётер об изоморфизме
• Теорема о простом идеале Буля
• Идеальная теория
• Идеал (теория порядка)
• Идеальная норма
• Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа
• Идеальный сноп

• Левинсон, Джейк (14 июля 2014 г.). «Геометрическая интерпретация расширения идеалов?». Stack Exchange .