Полупростое кольцо

В теории колец , разделе математики, полупервичные идеалы и полупервичные кольца являются обобщениями первичных идеалов и первичных колец . В коммутативной алгебре полупервичные идеалы также называются радикальными идеалами , а полупервичные кольца — это то же самое, что и редуцированные кольца.

Например, в кольце целых чисел полупростые идеалы — это нулевой идеал, а также идеалы вида , где n — целое число, свободное от квадратов . Таким образом, является полупростым идеалом целых чисел (потому что 30 = 2 × 3 × 5, без повторяющихся простых множителей), но не является (потому что 12 = 2 ² × 3, с повторяющимся простым множителем).${\displaystyle n\mathbb {Z} }$${\displaystyle 30\mathbb {Z} }$${\displaystyle 12\mathbb {Z} \,}$

Класс полупервичных колец включает полупримитивные кольца , первичные кольца и редуцированные кольца .

Большинство определений и утверждений в этой статье встречаются в работах (Lam 1999) и (Lam 2001).

Для коммутативного кольца R собственный идеал A является полупервичным идеалом, если A удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

• Если x ^k принадлежит A для некоторого положительного целого числа k и элемента x из R , то x принадлежит A .
• Если y содержится в R , но не содержится в A , то все положительные целые степени y не содержатся в A.

Последнее условие, что дополнение «замкнуто относительно степеней», аналогично тому факту, что дополнения простых идеалов замкнуты относительно умножения.

Как и в случае с первичными идеалами, это распространяется на некоммутативные кольца "идеально". Следующие условия являются эквивалентными определениями для полупервичного идеала A в кольце R :

• Для любого идеала J из R , если J ^k ⊆ A для положительного натурального числа k , то J ⊆ A.
• Для любого правого идеала J кольца R , если J ^k ⊆ A для положительного натурального числа k , то J ⊆ A.
• Для любого левого идеала J кольца R , если J ^k ⊆ A для положительного натурального числа k , то J ⊆ A.
• Для любого x из R , если xRx ⊆ A , то x принадлежит A.

Здесь снова есть некоммутативный аналог простых идеалов как дополнений m-систем . Непустое подмножество S кольца R называется n-системой , если для любого s из S существует r из R , такое что srs принадлежит S. С этим понятием к приведенному выше списку можно добавить дополнительную эквивалентную точку:

• R \ A — это n-система.

Кольцо R называется полупервичным кольцом, если нулевой идеал является полупервичным идеалом. В коммутативном случае это эквивалентно тому, что R является редуцированным кольцом , поскольку R не имеет ненулевых нильпотентных элементов. В некоммутативном случае кольцо просто не имеет ненулевых нильпотентных правых идеалов. Таким образом, хотя редуцированное кольцо всегда полупервично, обратное неверно. ^[1]

Начнем с того, что ясно, что простые идеалы являются полупервичными, а для коммутативных колец полупервичный первичный идеал является простым.

Хотя пересечение простых идеалов обычно не является простым, оно является полупростым идеалом. Вскоре будет показано, что обратное также верно, что каждый полупростой идеал является пересечением семейства простых идеалов.

Для любого идеала B в кольце R можно образовать следующие множества:

${\displaystyle {\sqrt {B}}:=\bigcap \{P\subseteq R\mid B\subseteq P,P{\mbox{ простой идеал}}\}\subseteq \{x\in R\mid x^{n}\in B{\mbox{ для некоторого }}n\in \mathbb {N} ^{+}\}\,}$

Множество является определением радикала B и , очевидно, является полупервичным идеалом, содержащим B , и фактически является наименьшим полупервичным идеалом, содержащим B. Включение выше иногда является правильным в общем случае, но для коммутативных колец оно становится равенством.${\displaystyle {\sqrt {B}}}$

При таком определении идеал A является полупервичным тогда и только тогда, когда . На этом этапе также очевидно, что каждый полупервичный идеал на самом деле является пересечением семейства первичных идеалов. Более того, это показывает, что пересечение любых двух полупервичных идеалов снова является полупервичным.${\displaystyle {\sqrt {A}}=A}$

По определению R полупервичен тогда и только тогда , когда , то есть пересечение всех первичных идеалов равно нулю. Этот идеал также обозначается и также называется нижним нильрадикалом Бэра или радикалом Бэра-Маккоя или первичным радикалом R .${\displaystyle {\sqrt {\{0\}}}=\{0\}}$${\displaystyle {\sqrt {\{0\}}}}$${\displaystyle Nil_{*}(R)\,}$

Правое кольцо Голди — это кольцо, которое имеет конечную равномерную размерность (также называемую конечным рангом ) как правый модуль над собой и удовлетворяет условию возрастающей цепи на правых аннуляторах своих подмножеств. Теорема Голди утверждает, что полупервичные правые кольца Голди — это в точности те, которые имеют полупростое артиново правое классическое кольцо частных . Теорема Артина–Веддерберна затем полностью определяет структуру этого кольца частных.

• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции о модулях и кольцах , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, г-н  1653294
• Лэм, TY (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Graduate Texts in Mathematics, т. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, ISBN 978-0-387-95183-6, г-н  1838439

• Статья PlanetMath о полупростых идеалах