Электромагнитный тензор

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм Оптика История Вычислительный Учебники Феномены
Электростатика Плотность заряда Дирижер закон Кулона Электрет Электрический заряд Электрический диполь Электрическое поле Электрический поток Электрический потенциал Электростатический разряд Электростатическая индукция закон Гаусса Изолятор Диэлектрическая проницаемость Поляризация Потенциальная энергия Статическое электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био-Савара Магнитный закон Гаусса Магнитный диполь Магнитное поле Магнитный поток Магнитный скалярный потенциал Магнитный векторный потенциал Намагничивание Проницаемость Правило правой руки
Электродинамика Тормозное излучение Циклотронное излучение Ток смещения Вихревой ток Электромагнитное поле Электромагнитная индукция Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение закон Фарадея уравнения Ефименко формула Лармора закон Ленца Потенциал Льенара–Вихерта Уравнения Лондона сила Лоренца Уравнения Максвелла тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Синхротронное излучение
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Плотность тока Постоянный ток Электрический ток Электроэнергия Электролиз Электродвижущая сила Сопротивление Индуктивность Джоулевое тепло законы Кирхгофа Сетевой анализ закон Ома Параллельная цепь Сопротивление Резонансные полости Последовательная цепь Напряжение Ватт Волноводы
Магнитная цепь двигатель переменного тока двигатель постоянного тока Электрическая машина Электродвигатель Гиратор–конденсатор Асинхронный двигатель Линейный двигатель Магнитодвижущая сила Проницаемость Нежелание (комплекс) Нежелание (реальное) Ротор Статор Трансформатор
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор Электромагнетизм и специальная теория относительности Четырехпоточный Четырехпотенциальный Математические описания Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени Релятивистский электромагнетизм Тензор энергии-напряжения
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Гельмгольц Генри Герц Хопкинсон Ефименко Джоуль Кельвин Кирхгоф Лармор Ленц Лиенар Лоренц Максвелл Нойманн Ом Эрстед Пуассон Пойнтинг Ричи Савар Певица Штейнмец Тесла Томсон Вольта Вебер Вихерт
в т е

В электромагнетизме электромагнитный тензор или тензор электромагнитного поля (иногда называемый тензором напряженности поля , тензором Фарадея или бивектором Максвелла ) — это математический объект, описывающий электромагнитное поле в пространстве-времени. Тензор поля был впервые использован после того, как Герман Минковский ввел четырехмерную тензорную формулировку специальной теории относительности . Тензор позволяет кратко записать связанные физические законы и допускает квантование электромагнитного поля с помощью лагранжевой формулировки, описанной ниже.

Электромагнитный тензор, условно обозначаемый F , определяется как внешняя производная электромагнитного 4-потенциала A , дифференциальной 1-формы: ^{[1] [2]}

${\displaystyle F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.}$

Следовательно, F — это дифференциальная 2-форма — антисимметричное тензорное поле ранга 2 — на пространстве Минковского. В компонентной форме,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }.}$

где — четырехградиент , — четырехпотенциал .${\displaystyle \partial }$${\displaystyle A}$

В этой статье будут использоваться единицы СИ для уравнений Максвелла и соглашение о знаках, принятое в физике элементарных частиц для сигнатуры пространства Минковского (+ − − −) .

Дифференциальная 2-форма Фарадея задается выражением

${\displaystyle F=(E_{x}/c)\ dx\wedge dt+(E_{y}/c)\ dy\wedge dt+(E_{z}/c)\ dz\wedge dt+B_{x}\ dy\wedge dz+B_{y}\ dz\wedge dx+B_{z}\ dx\wedge dy,}$

где — элемент времени, умноженный на скорость света .${\displaystyle dt}$${\displaystyle c}$

Это внешняя производная ее первообразной формы

${\displaystyle A=A_{x}\ dx+A_{y}\ dy+A_{z}\ dz-(\phi /c)\ dt}$,

где имеет ( — скалярный потенциал для безвихревого/консервативного векторного поля ) и имеет ( — векторный потенциал для соленоидального векторного поля ).${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)}$${\displaystyle -{\vec {\nabla }}\phi ={\vec {E}}}$${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\vec {E}}}$${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}},t)}$${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\vec {B}}}$${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle {\begin{cases}dF=0\\{\star }d{\star }F=J\end{cases}}}$

где — внешняя производная, — звезда Ходжа , (где — плотность электрического тока , а — плотность электрического заряда ), — 1-форма 4-плотности тока, — версия дифференциальных форм уравнений Максвелла.${\displaystyle d}$${\displaystyle {\star }}$${\displaystyle J=-J_{x}\ dx-J_{y}\ dy-J_{z}\ dz+\rho \ dt}$${\displaystyle {\vec {J}}}$${\displaystyle \rho }$

Электрические и магнитные поля могут быть получены из компонент электромагнитного тензора. Соотношение является наиболее простым в декартовых координатах :

${\displaystyle E_{i}=cF_{0i},}$

где c — скорость света, а

${\displaystyle B_{i}=-1/2\epsilon _{ijk}F^{jk},}$

где — тензор Леви-Чивиты . Это дает поля в определенной системе отсчета; если система отсчета меняется, компоненты электромагнитного тензора преобразуются ковариантно , и поля в новой системе будут заданы новыми компонентами.${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$

В контравариантной матричной форме с метрической сигнатурой (+,-,-,-),

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

Ковариантная форма задается понижением индекса ,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\eta _{\alpha \nu }F^{\beta \alpha }\eta _{\mu \beta }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

Двойственный тензору Фарадея Ходж равен

${\displaystyle {G^{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }={\begin{bmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{bmatrix}}}}$

Начиная с этого момента в этой статье при упоминании электрических или магнитных полей предполагается декартова система координат, а электрические и магнитные поля рассматриваются относительно системы отсчета этой системы координат, как в уравнениях выше.

Матричная форма тензора поля дает следующие свойства: ^[3]

1. Антисимметрия : $${\displaystyle F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }}$$
2. Шесть независимых компонентов: в декартовых координатах это просто три пространственных компонента электрического поля ( E _x , E _y , E _z ) и магнитного поля ( B _x , B _y , B _z ).
3. Внутреннее произведение: Если сформировать внутреннее произведение тензора напряженности поля, то образуется инвариант Лоренца , то есть это число не меняется от одной системы отсчета к другой.$${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=2\left({\frac {E^{2}}{c^{2}}}-B^{2}\right)}$$
4. Псевдоскалярный инвариант: произведение тензорас его дуальным по Ходжу даёт инвариант Лоренца :где — символ Леви-Чивиты ранга 4.Знак для вышеприведённого выражения зависит от соглашения, используемого для символа Леви-Чивиты. Соглашение, используемое здесь, —.${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle G^{\mu \nu }}$$${\displaystyle G_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \,}$$${\displaystyle \epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }}$${\displaystyle \epsilon _{0123}=-1}$
5. Определитель : который пропорционален квадрату вышеуказанного инварианта.$${\displaystyle \det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}}$$
6. След : который равен нулю.$${\displaystyle F={{F}^{\mu }}_{\mu }=0}$$

Этот тензор упрощает и сводит уравнения Максвелла как четыре уравнения векторного исчисления к двум уравнениям тензорного поля. В электростатике и электродинамике закон Гаусса и закон Ампера для цепи соответственно:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}},\quad \nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J} }$

и свести к неоднородному уравнению Максвелла:

${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\beta \alpha }=-\mu _{0}J^{\beta }}$, где - четырехток .${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )}$

В магнитостатике и магнитодинамике закон Гаусса для магнетизма и уравнение Максвелла–Фарадея имеют вид соответственно:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0} }$

которые сводятся к тождеству Бьянки :

${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$

или используя индексную запись с квадратными скобками ^{[примечание 1]} для антисимметричной части тензора:

${\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0}$

Используя выражение, связывающее тензор Фарадея с 4-потенциалом, можно доказать, что указанная выше антисимметричная величина тождественно обращается в ноль ( ). Следствие этого тождества имеет далеко идущие последствия: оно означает, что теория электромагнитного поля не оставляет места для магнитных монополей и токов таковых.${\displaystyle \equiv 0}$

Тензор поля получил свое название от того факта, что электромагнитное поле подчиняется закону преобразования тензора , это общее свойство физических законов было признано после появления специальной теории относительности . Эта теория предусматривала, что все законы физики должны иметь одинаковую форму во всех системах координат — это привело к введению тензоров . Тензорный формализм также приводит к математически более простому представлению физических законов.

Неоднородное уравнение Максвелла приводит к уравнению непрерывности :

${\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=J^{\alpha }{}_{,\alpha }=0}$

подразумевая сохранение заряда .

Законы Максвелла, приведенные выше, можно обобщить на искривленное пространство-время , просто заменив частные производные ковариантными производными :

${\displaystyle F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}=0}$и ${\displaystyle F^{\alpha \beta }{}_{;\alpha }=\mu _{0}J^{\beta }}$

где точка с запятой обозначает ковариантную производную, в отличие от частной производной. Эти уравнения иногда называют уравнениями Максвелла для искривленного пространства . Опять же, второе уравнение подразумевает сохранение заряда (в искривленном пространстве-времени):

${\displaystyle J^{\alpha }{}_{;\alpha }\,=0}$

Классический электромагнетизм и уравнения Максвелла можно вывести из действия : где — над пространством и временем.$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-{\begin{matrix}{\frac {1}{4\mu _{0}}}\end{matrix}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\right)\mathrm {d} ^{4}x\,}$$${\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x}$

Это означает, что плотность Лагранжа равна

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\\end{aligned}}}$

Два средних члена в скобках одинаковы, как и два внешних члена, поэтому плотность Лагранжа равна

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }.}$

Подставим это в уравнение движения Эйлера–Лагранжа для поля:

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}=0}$

Таким образом, уравнение Эйлера–Лагранжа принимает вид:

${\displaystyle -\partial _{\mu }{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)+J^{\nu }=0.\,}$

Величина в скобках выше — это просто тензор поля, так что это в конечном итоге упрощается до

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }}$

Это уравнение представляет собой другой способ записи двух неоднородных уравнений Максвелла (а именно, закона Гаусса и закона Ампера ) с использованием подстановок:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}E^{i}&=-F^{0i}\\\epsilon ^{ijk}B_{k}&=-F^{ij}\end{aligned}}}$

где i, j, k принимают значения 1, 2 и 3.

Плотность гамильтониана можно получить с помощью обычного соотношения:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ^{i},\pi _{i})=\pi _{i}{\dot {\phi }}^{i}(\phi ^{i},\pi _{i})-{\mathcal {L}}}$.

Лагранжиан квантовой электродинамики выходит за рамки классического Лагранжиана, установленного в теории относительности , и учитывает рождение и уничтожение фотонов (и электронов):

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta },}$

где первая часть в правой части, содержащая спинор Дирака , представляет поле Дирака . В квантовой теории поля он используется как шаблон для тензора напряженности калибровочного поля. Будучи использованным в дополнение к локальному лагранжиану взаимодействия, он повторяет свою обычную роль в КЭД.${\displaystyle \psi }$

• Классификация электромагнитных полей
• Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
• Электромагнитный тензор энергии-напряжения
• Тензор напряженности глюонного поля
• исчисление Риччи
• Вектор Римана–Зильберштейна

• Брау, Чарльз А. (2004). Современные проблемы классической электродинамики . Oxford University Press . ISBN 0-19-514665-4.
• Джексон, Джон Д. (1999). Классическая электродинамика . John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-30932-X.
• Пескин, Майкл Э.; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Perseus Publishing. ISBN 0-201-50397-2.