Вектор Римана–Зильберштейна

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм Оптика История Вычислительный Учебники Феномены
Электростатика Плотность заряда Дирижер закон Кулона Электрет Электрический заряд Электрический диполь Электрическое поле Электрический поток Электрический потенциал Электростатический разряд Электростатическая индукция закон Гаусса Изолятор Диэлектрическая проницаемость Поляризация Потенциальная энергия Статическое электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био-Савара Магнитный закон Гаусса Magnetic dipole Magnetic field Magnetic flux Magnetic scalar potential Magnetic vector potential Magnetization Permeability Right-hand rule
Electrodynamics Bremsstrahlung Cyclotron radiation Displacement current Eddy current Electromagnetic field Electromagnetic induction Electromagnetic pulse Electromagnetic radiation Faraday law Jefimenko equations Larmor formula Lenz law Liénard–Wiechert potential London equations Lorentz force Maxwell equations Maxwell tensor Poynting vector Synchrotron radiation
Electrical network Alternating current Capacitance Current density Direct current Electric current Electric power Electrolysis Electromotive force Impedance Inductance Joule heating Kirchhoff laws Network analysis Ohm law Parallel circuit Resistance Resonant cavities Series circuit Voltage Watt Waveguides
Magnetic circuit AC motor DC motor Electric machine Electric motor Gyrator–capacitor Induction motor Linear motor Magnetomotive force Permeance Reluctance (complex) Reluctance (real) Rotor Stator Transformer
Covariant formulation Electromagnetic tensor Electromagnetism and special relativity Four-current Four-potential Mathematical descriptions Maxwell equations in curved spacetime Relativistic electromagnetism Stress–energy tensor
Scientists Ampère Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Helmholtz Henry Hertz Hopkinson Jefimenko Joule Kelvin Kirchhoff Larmor Lenz Liénard Lorentz Maxwell Neumann Ohm Ørsted Poisson Poynting Ritchie Savart Singer Steinmetz Tesla Thomson Volta Weber Wiechert
v t e

В математической физике , в частности в электромагнетизме , вектор Римана–Зильберштейна ^[1] или вектор Вебера ^{[2] [3],} названный в честь Бернхарда Римана , Генриха Мартина Вебера и Людвика Зильберштейна (или иногда неоднозначно называемый «электромагнитным полем»), представляет собой комплексный вектор , объединяющий электрическое поле E и магнитное поле B.

Генрих Мартин Вебер опубликовал четвертое издание « Частных дифференциальных уравнений математической физики по лекциям Римана» в двух томах (1900 и 1901). Однако Вебер указал в предисловии к первому тому (1900), что это четвертое издание было полностью переписано на основе его собственных лекций, а не лекций Римана, и что ссылка на «лекции Римана» осталась только в названии, поскольку общая концепция осталась прежней, и что он продолжил работу в духе Римана. ^[4] Во втором томе (1901, §138, стр. 348) Вебер продемонстрировал, как объединить уравнения Максвелла с помощью . ^[5] Действительные и мнимые компоненты уравнения${\displaystyle {\mathfrak {E}}+i\ {\mathfrak {M}}}$

${\displaystyle \operatorname {curl} ({\mathfrak {E}}+i\ {\mathfrak {M}})={\frac {i}{c}}\ {\frac {\partial ({\mathfrak {E}}+i\ {\mathfrak {M}})}{\partial t}}}$

являются интерпретацией уравнений Максвелла без зарядов и токов. Они были независимо переоткрыты и далее развиты Людвиком Зильберштейном в 1907 году. ^{[6] [7]}

При заданных электрическом поле E и магнитном поле B, определенных в общей области пространства -времени , вектор Римана–Зильберштейна равен где c — скорость света , при этом некоторые авторы предпочитают умножать правую часть на общую константу , где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства . Он аналогичен электромагнитному тензору F , 2-вектору, используемому в ковариантной формулировке классического электромагнетизма .$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +ic\mathbf {B} ,}$$${\textstyle {\sqrt {\varepsilon _{0}/2}}}$

В формулировке Зильберштейна i определялось как мнимая единица , а F определялось как комплексифицированное трехмерное векторное поле , называемое бивекторным полем . ^[8]

Вектор Римана–Зильберштейна используется как точка отсчета в геометрической алгебраической формулировке электромагнетизма . Четыре уравнения Максвелла в векторном исчислении сводятся к одному уравнению в алгебре физического пространства :

${\displaystyle \left({\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\right)\mathbf {F} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\left(\rho -{\frac {1}{c}}\mathbf {J} \right).}$

Выражения для фундаментальных инвариантов , плотности энергии и плотности импульса также принимают простые формы:

${\displaystyle \mathbf {F} ^{2}=\mathbf {E} ^{2}-c^{2}\mathbf {B} ^{2}+2ic\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} }$

${\displaystyle {\frac {\epsilon _{0}}{2}}\mathbf {F} ^{\dagger }\mathbf {F} ={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left(\mathbf {E} ^{2}+c^{2}\mathbf {B} ^{2}\right)+{\frac {1}{c}}\mathbf {S} ,}$

где S — вектор Пойнтинга .

Вектор Римана–Зильберштейна используется для точного матричного представления уравнений Максвелла в неоднородной среде с источниками . ^{[1] [9]}

В 1996 году в работе ^[1] по квантовой электродинамике Иво Бялыницкий-Бирула использовал вектор Римана–Зильберштейна в качестве основы для подхода к фотону , отметив, что это «комплексная векторная функция пространственных координат r и времени t , которая адекватно описывает квантовое состояние отдельного фотона». Чтобы выразить вектор Римана–Зильберштейна современным языком, делается переход:

С появлением спинорного исчисления, пришедшего на смену кватернионному исчислению, свойства преобразования вектора Римана-Зильберштейна стали еще более прозрачными... симметричный спинор второго ранга.

Бялыницкий-Бируля признает, что волновая функция фотона является спорной концепцией и что она не может обладать всеми свойствами волновых функций Шредингера нерелятивистской волновой механики. Однако защита строится на основе практичности: она полезна для описания квантовых состояний возбуждения свободного поля, электромагнитных полей, действующих на среду, вакуумного возбуждения виртуальных пар позитрон-электрон и представления фотона среди квантовых частиц, которые имеют волновые функции.

Умножение двух зависящих от времени уравнений Максвелла на уравнение Шредингера для фотона в вакууме дает${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle i\hbar \partial _{t}{\mathbf {F} }=c(\mathbf {S} \cdot {\hbar \over i}\nabla )\mathbf {F} =c(\mathbf {S} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {F} }$

где — вектор, построенный из спина матриц длины 1 , генерирующих полные бесконечно малые вращения 3-спинорной частицы. Поэтому можно заметить, что гамильтониан в уравнении Шредингера фотона является проекцией его спина 1 на его импульс, поскольку нормальный оператор импульса появляется там из объединения частей вращений.${\displaystyle {\mathbf {S} }}$

В отличие от волновой функции электрона квадрат модуля волновой функции фотона (вектор Римана-Зильбертейна) не является безразмерным и должен быть умножен на «локальную длину волны фотона» с соответствующей степенью, чтобы получить безразмерное выражение для нормализации, т.е. он нормализуется экзотическим способом с помощью интегрального ядра.

${\displaystyle \|\mathbf {F} \|={1 \over \hbar c}\int {\mathbf {F} ^{*}(x)\cdot \mathbf {F} (x') \over |x-x'|^{2}}dx^{3}dx'^{3}=1}$

Два остаточных уравнения Максвелла являются только ограничениями, т.е.

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =0}$

и они автоматически выполняются всегда, если выполняются только в начальный момент времени , т.е.${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \mathbf {F} (0)=\nabla \times \mathbf {G} }$

где — любое комплексное векторное поле с ненулевым вращением , или — векторный потенциал для вектора Римана–Зильберштейна.${\displaystyle \mathbf {G} }$

Имея волновую функцию фотона, можно оценить соотношения неопределенности для фотона. ^[10] Показывается, что фотоны «более квантовые», чем электрон, в то время как их неопределенности положения и импульса выше. Естественными кандидатами для оценки неопределенности являются естественный импульс, как просто проекция или из формулы Эйнштейна для фотоэлектрического эффекта и простейшей теории квантов и неопределенность вектора длины положения.${\displaystyle E/c}$${\displaystyle H/c}$${\displaystyle r}$

Мы будем использовать общее соотношение для неопределенности операторов${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|.}$

Мы хотим соотношение неопределенностей для , то есть для операторов${\displaystyle \sigma _{r}\sigma _{p}}$

${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

${\displaystyle p^{2}=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {p} )^{2}}$

Первый шаг — найти вспомогательный оператор, такой, чтобы это соотношение можно было использовать напрямую. Сначала мы проделаем тот же трюк, который Дирак проделал для вычисления квадратного корня оператора Клейна-Гордона, чтобы получить уравнение Дирака :${\displaystyle {\tilde {r}}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\tilde {r}}=\alpha _{1}x+\alpha _{2}y+\alpha _{3}z}$

где — матрицы из уравнения Дирака :${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle \alpha _{i}^{2}=1}$

${\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{k}+\alpha _{k}\alpha _{i}=2\delta _{ik}}$

Поэтому у нас есть

${\displaystyle {\tilde {r}}^{2}=r^{2}}$

Поскольку спиновые матрицы 1 предназначены только для вычисления коммутатора в том же пространстве, мы аппроксимируем спиновые матрицы матрицами углового момента частицы с длиной , опуская умножение , поскольку полученные уравнения Максвелла в 4 измерениях будут выглядеть слишком искусственными по сравнению с оригиналом (в качестве альтернативы мы можем сохранить исходные множители, но нормализовать новый 4-спинор до 2 как 4 скалярные частицы, нормализованные до 1/2): ^{[ необходимо разъяснение ]}${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle 3/2\approx 1}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle 1/2}$

${\displaystyle {\tilde {p}}^{2}=(\mathbf {\tilde {L}} \cdot \mathbf {p} )^{2}}$

Теперь мы можем легко вычислить коммутатор, вычисляя коммутаторы матриц и масштабируя и замечая, что симметричное гауссовское состояние в среднем уничтожает члены, содержащие смешанную переменную, например . Вычисляя 9 коммутаторов (смешанные могут быть равны нулю по примеру Гаусса и поскольку эти матрицы контрдиагональные) и оценивая члены из нормы полученной матрицы, содержащей четыре фактора, дающие квадрат наиболее естественной нормы этой матрицы как ^{[ необходимо разъяснение ]} и используя неравенство нормы для оценки ${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle {\tilde {L}}_{i}}$${\displaystyle e^{-ar^{2}}}$${\displaystyle xp_{y}}$${\displaystyle L_{z}\alpha _{z}=\alpha _{z}L_{z}=0}$${\displaystyle 4\times 4}$${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$${\displaystyle L2,1}$${\displaystyle 48\approx 49=7^{2}\approx 8^{2}}$

${\displaystyle \lVert \mathbf {A} \mathbf {x} \rVert \leq \lVert \mathbf {A} \rVert \lVert \mathbf {x} \rVert \approx \lVert \mathbf {A} \rVert \lVert \mathbf {x} \rVert }$

мы получаем

${\displaystyle \left|\langle [{\tilde {r}},{\tilde {p}}]\rangle \right|\geq 8\hbar .}$

или

${\displaystyle \sigma _{r}\sigma _{p}\geq 4\hbar }$

что намного больше, чем для массы частицы в 3 измерениях, то есть

${\displaystyle \sigma _{r}\sigma _{p}\geq {\frac {3}{2}}\hbar }$

и поэтому фотоны оказываются частицами в разы или почти в 3 раза «более квантовыми», чем частицы с массой, подобной электронам. ^{[ необходимо разъяснение ]}${\displaystyle 8/3}$

• Матричное представление уравнений Максвелла