операция Дена

В топологии , разделе математики, операция Дена , названная в честь Макса Дена , представляет собой конструкцию, используемую для модификации 3-многообразий . Процесс принимает в качестве входных данных 3-многообразие вместе со ссылкой . Его часто концептуализируют в виде двух шагов: сверление, затем заполнение .

• При наличии 3-многообразия и зацепления многообразие, просверленное вдоль, получается путем удаления открытой трубчатой ​​окрестности из . Если , просверленное многообразие имеет граничные компоненты тора . Многообразие, просверленное вдоль, также известно как дополнение зацепления , поскольку если удалить соответствующую замкнутую трубчатую окрестность из , то получится многообразие, диффеоморфное .${\displaystyle М}$ ${\displaystyle L\subset M}$${\displaystyle М}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle М}$${\displaystyle L=L_{1}\cup \точки \cup L_{k}}$${\displaystyle к}$${\displaystyle T_{1}\cup \точки \cup T_{k}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle L}$${\displaystyle М}$${\displaystyle M\setminus L}$
• Если задано 3-многообразие, граница которого состоит из 2-торов , мы можем склеить один полноторий с помощью гомеоморфизма (соответственно диффеоморфизма ) его границы с каждой из компонент границы тора исходного 3-многообразия. В общем случае существует много неэквивалентных способов сделать это. Этот процесс называется заполнением Дена .${\displaystyle T_{1}\cup \точки \cup T_{k}}$${\displaystyle T_{i}}$
• Операция Дена на 3-многообразии, содержащем зацепление, состоит в высверливании трубчатой ​​окрестности зацепления вместе с заполнением Дена на всех компонентах границы, соответствующей зацеплению.

Чтобы описать операцию Дена, ^[1] выбираются две ориентированные простые замкнутые кривые и на соответствующем граничном торе просверленного 3-многообразия, где — меридиан (кривая, находящаяся в маленьком шаре в и имеющая число зацепления +1 с или, что эквивалентно, кривая, ограничивающая диск, пересекающий компоненту один раз ), а — долгота (кривая, проходящая один раз вдоль или, что эквивалентно, кривая на , такая, что алгебраическое пересечение равно +1). Кривые и порождают фундаментальную группу тора , и они образуют базис его первой группы гомологий . Это дает любой простой замкнутой кривой на торе две координаты и , так что . Эти координаты зависят только от гомотопического класса .${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \ell _{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle М}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle \ell _{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle \langle \ell _{i},m_{i}\rangle }$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle \ell _{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle \гамма _{i}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle [\gamma _{i}]=[a_{i}\ell _{i}+b_{i}m_{i}]}$${\displaystyle \гамма _{i}}$

Мы можем задать гомеоморфизм границы полнотора в , заставив меридианную кривую полнотора отобразиться в кривую, гомотопную . Пока меридиан отображается в наклон хирургии , результирующая хирургия Дена даст 3-многообразие, которое не будет зависеть от конкретной склейки (с точностью до гомеоморфизма). Отношение называется коэффициентом хирургии .${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle \гамма _{i}}$ ${\displaystyle [\гамма _{i}]}$${\displaystyle b_{i}/a_{i}\in \mathbb {Q} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle L_{i}}$

В случае связей в 3-сфере или, в более общем случае, ориентированной целочисленной гомологической сфере, существует канонический выбор долгот : каждая долгота выбирается так, чтобы она была нуль-гомологичной в дополнении к узлу — эквивалентно, если она является границей поверхности Зейферта . ${\displaystyle \ell _{i}}$

Когда все отношения являются целыми числами (обратите внимание, что это условие не зависит от выбора долгот, поскольку оно соответствует новым меридианам, пересекающим старые меридианы ровно один раз), операция называется интегральной операцией . Такие операции тесно связаны с handlebody , cobordism и Morse functions .${\displaystyle b_{i}/a_{i}}$

• Если все коэффициенты операции бесконечны, то каждый новый меридиан гомотопен древнему меридиану . Поэтому тип гомеоморфизма многообразия не изменяется при операции.${\displaystyle \гамма _{i}}$${\displaystyle m_{i}}$

• Если — 3-сфера , — тривиальный узел , а коэффициент хирургии — , то хирургическое 3-многообразие — .${\displaystyle М}$${\displaystyle L}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}}$

• Если — 3-сфера , — неразвязанный узел , а коэффициент хирургии — , то 3-многообразие с хирургией — это линзовое пространство . В частности, если коэффициент хирургии имеет вид , то 3-многообразие с хирургией — это по-прежнему 3-сфера.${\displaystyle М}$${\displaystyle L}$${\displaystyle б/а}$ ${\displaystyle L(б,а)}$${\displaystyle \pm 1/r}$

• Если — 3-сфера, — правый трилистниковый узел , а коэффициент хирургии равен , то 3-многообразие с хирургией — это додекаэдрическое пространство Пуанкаре .${\displaystyle М}$${\displaystyle L}$${\displaystyle +1}$

Каждое замкнутое , ориентируемое , связное 3-многообразие получается путем выполнения операции Дена на зацеплении в 3-сфере . Этот результат, теорема Ликориша–Уоллеса , был впервые доказан Эндрю Х. Уоллесом в 1960 году и независимо В. Б. Р. Ликоришем в более сильной форме в 1962 году. Благодаря хорошо известной связи между настоящей операцией и кобордизмом , этот результат эквивалентен теореме о том, что группа ориентированных кобордизмов 3-многообразий тривиальна, теореме, первоначально доказанной Владимиром Абрамовичем Рохлиным в 1951 году.

Поскольку все ориентируемые 3-многообразия могут быть получены с помощью соответствующим образом оформленных связей, можно задаться вопросом, как могут быть связаны различные представления хирургии данного 3-многообразия. Ответ называется исчислением Кирби .

• Гиперболическая операция Дена
• Трубчатый район
• Хирургия многообразий в общем смысле также называется сферической модификацией.

• Ден, Макс (1938), «Die Gruppe der Abbildungsklassen», Acta Mathematica , 69 (1): 135–206, doi : 10.1007/BF02547712.
• Том, Рене (1954), «Quelques proprietés globales des variétés différentiables», Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17–86, doi : 10.1007/BF02566923, MR  0061823, S2CID  120243638
• Рольфсен, Дейл (1976), Узлы и связи (PDF) , Серия лекций по математике, т. 346, Беркли, Калифорния: Publish or Perish, ISBN 9780914098164
• Кирби, Роб (1978), «Исчисление для структурированных ссылок в S ³ », Inventiones Mathematicae , 45 (1): 35–56, Bibcode : 1978InMat..45...35K, doi : 10.1007/BF01406222, MR  0467753, S2CID  120770295.
• Фенн, Роджер; Рурк, Колин (1979), «Об исчислении связей Кирби», Топология , 18 (1): 1–15, doi : 10.1016/0040-9383(79)90010-7 , MR  0528232.
• Gompf, Robert ; Stipsicz, András (1999), 4-многообразия и исчисление Кирби , Graduate Studies in Mathematics , т. 20, Providence, RI: American Mathematical Society, doi :10.1090/gsm/020, ISBN 0-8218-0994-6, МР  1707327.