исчисление Кирби

В математике исчисление Кирби в геометрической топологии , названное в честь Робиона Кирби , представляет собой метод модификации оснащенных связей в 3-сфере с использованием конечного набора движений, движений Кирби . Используя четырехмерную теорию Серфа , он доказал, что если M и N являются 3-многообразиями , полученными в результате хирургии Дена на оснащенных связях L и J соответственно, то они гомеоморфны тогда и только тогда, когда L и J связаны последовательностью движений Кирби. Согласно теореме Ликориша–Уоллеса любое замкнутое ориентируемое 3-многообразие получается такой хирургией на некотором звене в 3-сфере.

В литературе существует некоторая двусмысленность относительно точного использования термина «движения Кирби». Различные представления «исчисления Кирби» имеют разный набор движений, и их иногда называют движениями Кирби. Первоначальная формулировка Кирби включала два вида движения: «раздувание» и «скольжение ручки»; Роджер Фенн и Колин Рурк продемонстрировали эквивалентную конструкцию в терминах одного движения, движения Фенна–Рурка, которое появляется во многих изложениях и расширениях исчисления Кирби. Книга Дейла Рольфсена « Узлы и связи» , из которой многие топологи узнали об исчислении Кирби, описывает набор из двух движений: 1) удалить или добавить компонент с бесконечным коэффициентом хирургии 2) скрутить вдоль незавязанного компонента и соответствующим образом изменить коэффициенты хирургии (это называется скручиванием Рольфсена). Это позволяет расширить исчисление Кирби до рациональных хирургий.

Существуют также различные приемы для модификации хирургических диаграмм. Одним из таких полезных приемов является слэм-данк .

Расширенный набор диаграмм и ходов используется для описания 4-многообразий . Обрамленная связь в 3-сфере кодирует инструкции по присоединению 2-ручек к 4-шару. (3-мерная граница этого многообразия является интерпретацией 3-многообразия диаграммы связи, упомянутой выше.) 1-ручки обозначаются либо

1. пара 3-шариков (место крепления 1-ручки) или, чаще,
2. незавязанные круги с точками.

Точка указывает, что окрестность стандартного 2-диска с границей в виде пунктирной окружности должна быть вырезана из внутренней части 4-шара. ^[1] Вырезание этой 2-ручки эквивалентно добавлению 1-ручки; 3-ручки и 4-ручки обычно не указываются на диаграмме.

• Замкнутое гладкое 4-многообразие обычно описывается разложением на ручки .
• Нулевая ручка — это просто шар, а прикрепляющая карта — это несвязное объединение.
• Вдоль двух непересекающихся 3- шаров прикреплена 1-ручка .
• 2-ручка прикреплена вдоль полнотора ; поскольку это полнотор вложено в 3-многообразие , существует связь между разложениями ручек на 4-многообразиях и теорией узлов в 3-многообразиях.
• Пара ручек с индексом, отличающимся на 1, чьи ядра связывают друг друга достаточно простым способом, может быть отменена без изменения базового многообразия. Аналогично может быть создана такая отменяющая пара.

Два различных гладких разложения тел-ручек гладкого 4-многообразия связаны конечной последовательностью изотопий присоединяемых отображений и созданием/удалением пар ручек.

• Экзотика${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• Кирби, Робион (1978). "Исчисление для рамочных связей в S ³ ". Inventiones Mathematicae . 45 (1): 35–56. Bibcode :1978InMat..45...35K. doi :10.1007/BF01406222. MR  0467753. S2CID  120770295.
• Фенн, Роджер; Рурк, Колин (1979). «Об исчислении связей Кирби». Топология . 18 (1): 1–15. doi : 10.1016/0040-9383(79)90010-7 . MR  0528232.
• Gompf, Robert ; Stipsicz, András (1999). 4-многообразия и исчисление Кирби . Аспирантура по математике . Том 20. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0994-6. МР  1707327.