Гомологическая сфера
Топологическое многообразие, гомология которого совпадает с гомологией сферы

В алгебраической топологии гомологическая сфера — это n - многообразие X, имеющее гомологические группы n - сферы для некоторого целого числа . То есть , н ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1}

ЧАС 0 ( Х , З ) = ЧАС н ( Х , З ) = З {\displaystyle H_{0}(X,\mathbb {Z} )=H_{n}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} }

и

ЧАС я ( Х , З ) = { 0 } {\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )=\{0\}} для всех остальных i .

Следовательно, X — связное пространство с одним ненулевым высшим числом Бетти , а именно, . Из этого не следует, что X односвязно , а следует лишь, что его фундаментальная группа совершенна (см. теорему Гуревича ). б н = 1 {\displaystyle b_{n}=1}

Рациональная гомологическая сфера определяется аналогично, но с использованием гомологии с рациональными коэффициентами.

Гомологическая сфера Пуанкаре

Гомологическая сфера Пуанкаре (также известная как додекаэдрическое пространство Пуанкаре) является частным примером гомологической сферы, впервые построенной Анри Пуанкаре . Будучи сферическим 3-многообразием , она является единственной гомологической 3-сферой (помимо самой 3-сферы ) с конечной фундаментальной группой . Ее фундаментальная группа известна как бинарная икосаэдрическая группа и имеет порядок 120. Поскольку фундаментальная группа 3-сферы тривиальна, это показывает, что существуют 3-многообразия с теми же группами гомологий, что и 3-сфера, которые не гомеоморфны ей.

Строительство

Простая конструкция этого пространства начинается с додекаэдра . Каждая грань додекаэдра отождествляется с ее противоположной гранью, используя минимальный поворот по часовой стрелке для выравнивания граней. Склеивание каждой пары противоположных граней вместе с использованием этой идентификации дает замкнутое 3-многообразие. (См. пространство Зейферта–Вебера для похожей конструкции, использующей больше «поворота», что приводит к гиперболическому 3-многообразию .)

Альтернативно, гомологическую сферу Пуанкаре можно построить как фактор-пространство SO(3) /I, где I — группа икосаэдра (т. е. группа вращательной симметрии правильного икосаэдра и додекаэдра, изоморфная знакопеременной группе A 5 ). Более интуитивно это означает, что гомологическую сферу Пуанкаре — это пространство всех геометрически различимых положений икосаэдра (с фиксированным центром и диаметром) в евклидовом 3-пространстве. Вместо этого можно также перейти к универсальному покрытию SO(3), которое может быть реализовано как группа единичных кватернионов и гомеоморфно 3-сфере. В этом случае гомологическую сферу Пуанкаре изоморфно , где — бинарная группа икосаэдра , совершенное двойное покрытие I, вложенное в . С 3 / я ~ {\displaystyle S^{3}/{\widetilde {I}}} я ~ {\displaystyle {\widetilde {I}}} С 3 {\displaystyle S^{3}}

Другой подход — хирургия Дена . Сфера гомологии Пуанкаре получается в результате операции +1 на правом трилистнике .

Космология

В 2003 году отсутствие структуры на самых больших масштабах (выше 60 градусов) в космическом микроволновом фоне , которое в течение года наблюдалось космическим аппаратом WMAP, привело к предположению Жана-Пьера Люмине из Парижской обсерватории и его коллег, что форма Вселенной представляет собой сферу Пуанкаре. [1] [2] В 2008 году астрономы нашли наилучшую ориентацию на небе для модели и подтвердили некоторые предсказания модели, используя трехлетние наблюдения космического аппарата WMAP. [3] Анализ данных с космического аппарата Planck показывает, что не существует наблюдаемой нетривиальной топологии Вселенной. [4]

Конструкции и примеры

  • Операция на узле в 3-сфере S 3 с обрамлением +1 или −1 дает гомологическую сферу.
  • В более общем смысле, операция над связью дает гомологическую сферу всякий раз, когда матрица, заданная числами пересечений (вне диагонали) и обрамлениями (по диагонали), имеет определитель +1 или −1.
  • Если p , q , и r являются попарно взаимно простыми положительными целыми числами, то связь сингулярности x p + y q + z r = 0 (другими словами, пересечение малой 3-сферы вокруг 0 ​​с этой комплексной поверхностью) является многообразием Брискорна , которое является гомологической 3-сферой, называемой 3-сферой Брискорна Σ( p , q , r ). Она гомеоморфна стандартной 3-сфере, если один из p , q , и r равен 1, а Σ(2, 3, 5) является сферой Пуанкаре.
  • Связная сумма двух ориентированных гомологических 3-сфер является гомологической 3-сферой. Гомологическая 3-сфера, которая не может быть записана как связная сумма двух гомологических 3-сфер, называется неприводимой или простой , и каждая гомологическая 3-сфера может быть записана как связная сумма простых гомологических 3-сфер по существу единственным способом. (См. Простое разложение (3-многообразие) .)
  • Предположим, что все целые числа не менее 2, причем любые два взаимно просты. Тогда волокнистое пространство Зейферта а 1 , … , а г {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}
{ б , ( о 1 , 0 ) ; ( а 1 , б 1 ) , … , ( а г , б г ) } {\displaystyle \{b,(o_{1},0);(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{r},b_{r})\}\,}
над сферой с исключительными слоями степеней a 1 , ..., a r есть гомологическая сфера, где b' выбраны так, что
б + б 1 / а 1 + ⋯ + б г / а г = 1 / ( а 1 ⋯ а г ) . {\displaystyle b+b_{1}/a_{1}+\cdots +b_{r}/a_{r}=1/(a_{1}\cdots a_{r}).}
(Всегда есть способ выбрать b ′s, и гомологическая сфера не зависит (с точностью до изоморфизма) от выбора b ′s.) Если r не больше 2, то это просто обычная 3-сфера; в противном случае это различные нетривиальные гомологические сферы. Если a ′s равны 2, 3 и 5, то это сфера Пуанкаре. Если имеется по крайней мере 3 a ′s, а не 2, 3, 5, то это ациклическая гомологическая 3-сфера с бесконечной фундаментальной группой, которая имеет геометрию Терстона , смоделированную на универсальном покрытии SL 2 ( R ) .

Инварианты

  • Инвариант Рохлина является -значным инвариантом гомологических 3-сфер. З / 2 З {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
  • Инвариант Кассона — это целочисленный инвариант гомологических 3-сфер, редукция которого по модулю 2 является инвариантом Рохлина.

Приложения

Если A — гомологическая 3-сфера , не гомеоморфная стандартной 3-сфере, то подвеска A — пример 4-мерного гомологического многообразия , которое не является топологическим многообразием . Двойная подвеска A гомеоморфна стандартной 5-сфере, но ее триангуляция (индуцированная некоторой триангуляцией A ) не является PL-многообразием . Другими словами, это дает пример конечного симплициального комплекса , который является топологическим многообразием, но не PL-многообразием. (Это не PL-многообразие, потому что связь точки не всегда является 4-сферой.)

Галевски и Стерн показали, что все компактные топологические многообразия (без границы) размерности не менее 5 гомеоморфны симплициальным комплексам тогда и только тогда, когда существует гомологическая 3-сфера Σ с инвариантом Рохлина 1, такая, что связная сумма Σ#Σ сферы Σ с собой ограничивает гладкое ациклическое 4-многообразие. Чиприан Манолеску показал [5] , что не существует такой гомологической сферы с указанным свойством, и, следовательно, существуют 5-многообразия, не гомеоморфные симплициальным комплексам. В частности, пример, первоначально приведенный Галевски и Стерном [6], не является триангулируемым.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ «Является ли Вселенная додекаэдром?», статья в PhysicsWorld.
  2. ^ Люмине, Жан-Пьер ; Уикс, Джефф ; Риасуэло, Ален; Леук, Роланд; Узан, Жан-Филипп (2003-10-09). «Топология додекаэдрического пространства как объяснение слабых широкоугольных температурных корреляций в космическом микроволновом фоне». Nature . 425 (6958): 593–595. arXiv : astro-ph/0310253 . Bibcode : 2003Natur.425..593L. doi : 10.1038/nature01944. PMID  14534579. S2CID  4380713.
  3. ^ Рукема, Будевейн; Булинский, Збигнев; Саневская, Агнешка; Годен, Николя Э. (2008). «Проверка гипотезы топологии додекаэдрического пространства Пуанкаре с данными WMAP CMB». Астрономия и астрофизика . 482 (3): 747–753. arXiv : 0801.0006 . Бибкод : 2008A&A...482..747L. дои : 10.1051/0004-6361: 20078777. S2CID  1616362.
  4. ^ Planck Collaboration, «Результаты Planck 2015. XVIII. Фоновая геометрия и топология», (2015) ArXiv 1502.01593
  5. ^ Manolescu, Ciprian (2016). «Pin(2)-эквивариантные гомологии Зайберга-Виттена-Флоера и гипотеза триангуляции». Журнал Американского математического общества . 29 : 147–176. arXiv : 1303.2354 . doi : 10.1090/jams829 .
  6. ^ Галевски, Дэвид; Стерн, Рональд (1979). «Универсальное 5-многообразие относительно симплициальных триангуляций». Геометрическая топология (Труды конференции по топологии Джорджии, Афины, Джорджия, 1977) . Нью-Йорк-Лондон: Academic Press . С. 345–350. MR  0537740.

Избранное чтение

  • Дрор, Эммануэль (1973). «Гомологические сферы». Israel Journal of Mathematics . 15 (2): 115–129. doi :10.1007/BF02764597. MR  0328926. S2CID  189796498.
  • Галевски, Дэвид; Стерн, Рональд (1980). «Классификация симплициальных триангуляций топологических многообразий». Annals of Mathematics . 111 (1): 1–34. doi :10.2307/1971215. JSTOR  1971215. MR  0558395.
  • Robion Kirby , Martin Scharlemann, Восемь граней гомологии Пуанкаре 3-сферы . Геометрическая топология (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), стр. 113–146, Academic Press , New York-London, 1979.
  • Кервер, Мишель (1969). «Гладкие гомологические сферы и их фундаментальные группы». Труды Американского математического общества . 144 : 67–72. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0253347-3 . JSTOR  1995269. MR  0253347. S2CID  54063849.
  • Николай Савельев, Инварианты гомологии 3-сфер , Энциклопедия математических наук, т. 140. Топология малых размерностей, I. Springer-Verlag, Берлин, 2002. MR 1941324 ISBN 3-540-43796-7 
  • 16-вершинная триангуляция гомологий Пуанкаре 3-сферы и не-PL сфер с небольшим количеством вершин Андерс Бьёрнер и Фрэнк Х. Лутц
  • Лекция Дэвида Гиллмана на тему «Лучшая картина гомологической сферы Пуанкаре»
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Гомологическая_сфера&oldid=1254111256"