Когомологии

В математике , в частности в теории гомологии и алгебраической топологии , когомологии — это общий термин для последовательности абелевых групп , обычно связанных с топологическим пространством , часто определяемым из комплекса коцепей . Когомологии можно рассматривать как метод назначения пространству более богатых алгебраических инвариантов, чем гомологии. Некоторые версии когомологий возникают путем дуализации конструкции гомологии. Другими словами, коцепи являются функциями на группе цепей в теории гомологии.

С момента своего возникновения в топологии эта идея стала доминирующим методом в математике второй половины двадцатого века. От первоначальной идеи гомологии как метода построения алгебраических инвариантов топологических пространств область применения теорий гомологии и когомологии распространилась по всей геометрии и алгебре . Терминология имеет тенденцию скрывать тот факт, что когомологии, контравариантная теория, более естественна, чем гомология во многих приложениях. На базовом уровне это связано с функциями и обратными образами в геометрических ситуациях: заданы пространства и и некоторая функция на , для любого отображения композиция с дает функцию на . Наиболее важные теории когомологий имеют произведение, произведение чашек , которое дает им кольцевую структуру. Из-за этой особенности когомологии обычно являются более сильным инвариантом, чем гомологии.${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle F}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F\circ f}$${\displaystyle X}$

Сингулярные когомологии — мощный инвариант в топологии, связывающий градуированно-коммутативное кольцо с любым топологическим пространством. Каждое непрерывное отображение определяет гомоморфизм из кольца когомологий в кольцо когомологий ; это накладывает сильные ограничения на возможные отображения из в . В отличие от более тонких инвариантов, таких как гомотопические группы , кольцо когомологий имеет тенденцию быть вычислимым на практике для интересующих пространств.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Для топологического пространства определение сингулярных когомологий начинается с сингулярного цепного комплекса : ^[1] По определению сингулярная гомология является гомологией этого цепного комплекса (ядро одного гомоморфизма по модулю образа предыдущего). Более подробно, является свободной абелевой группой на множестве непрерывных отображений из стандартного -симплекса в (называемых "сингулярными -симплексами в "), а является -м граничным гомоморфизмом. Группы равны нулю для отрицательных.${\displaystyle X}$$${\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to }}\ C_{i-1}\to \cdots }$$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle я}$${\displaystyle X}$${\displaystyle я}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle я}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle я}$

Теперь зафиксируем абелеву группу и заменим каждую группу ее двойственной группой и ее двойственным гомоморфизмом${\displaystyle А}$${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}^{*}=\mathrm {Hom} (C_{i},A),}$${\displaystyle \partial _{i}}$$${\displaystyle d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$$

Это имеет эффект «переворачивания всех стрелок» исходного комплекса, оставляя коцепной комплекс$${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$$

Для целого числа , группа когомологий ^th из с коэффициентами в определяется как и обозначается как . Группа равна нулю для отрицательных. Элементы из называются сингулярными -коцепями с коэффициентами в . (Эквивалентно, -коцепь на может быть идентифицирована с функцией из множества сингулярных -симплексов в в .) Элементы из и называются коциклами и кограницами , соответственно, в то время как элементы из называются классами когомологий (потому что они являются классами эквивалентности коциклов).${\displaystyle я}$${\displaystyle я}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})}$${\displaystyle H^{i}(X,A)}$${\displaystyle H^{i}(X,A)}$${\displaystyle я}$${\displaystyle C_{i}^{*}}$${\displaystyle я}$${\displaystyle А}$${\displaystyle я}$${\displaystyle X}$${\displaystyle я}$${\displaystyle X}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \ker(d)}$${\displaystyle {\textrm {им}}(д)}$${\displaystyle \operatorname {ker} (d_{i})/\operatorname {im} (d_{i-1})=H^{i}(X,A)}$

В дальнейшем группа коэффициентов иногда не пишется. Обычно принято считать, что это коммутативное кольцо ; тогда группы когомологий - это - модули . Стандартный выбор - кольцо целых чисел .${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Некоторые формальные свойства когомологий являются лишь незначительными вариантами свойств гомологии:

• Непрерывное отображение определяет гомоморфизм прямого проталкивания на гомологиях и гомоморфизм обратного проталкивания на когомологиях. Это превращает когомологии в контравариантный функтор из топологических пространств в абелевы группы (или -модули).${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f_{*}:H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}$${\displaystyle f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)}$${\displaystyle R}$
• Два гомотопных отображения из в индуцируют один и тот же гомоморфизм на когомологиях (так же, как и на гомологиях).${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• Последовательность Майера–Виеториса является важным вычислительным инструментом в когомологиях, как и в гомологии. Обратите внимание, что граничный гомоморфизм увеличивает (а не уменьшает) степень в когомологиях. То есть, если пространство является объединением открытых подмножеств и , то существует длинная точная последовательность :${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots }$$
• Существуют относительные группы когомологий для любого подпространства пространства . Они связаны с обычными группами когомологий длинной точной последовательностью:${\displaystyle H^{i}(X,Y;A)}$ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to \cdots }$$
• Теорема об универсальном коэффициенте описывает когомологии в терминах гомологии, используя группы Ext . А именно, существует короткая точная последовательность Связанное утверждение заключается в том, что для поля , является в точности двойственным пространством векторного пространства .$${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.}$$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle H^{i}(X,F)}$ ${\displaystyle H_{i}(X,F)}$
• Если — топологическое многообразие или CW-комплекс , то группы когомологий равны нулю для размерности , большей, чем . [ ^2] Если — компактное многообразие (возможно, с границей) или CW-комплекс с конечным числом ячеек в каждой размерности, а — коммутативное нётерово кольцо , то -модуль конечно порожден для каждого . ^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle H^{i}(X,A)}$${\displaystyle я}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle H^{i}(X,R)}$${\displaystyle я}$

С другой стороны, когомологии имеют решающую структуру, которой нет у гомологии: для любого топологического пространства и коммутативного кольца существует билинейное отображение , называемое произведением чашек : определяемое явной формулой на сингулярных коцепях. Произведение классов когомологий и записывается как или просто как . Это произведение превращает прямую сумму в градуированное кольцо , называемое кольцом когомологий . Оно градуированно-коммутативно в том смысле, что: ^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),}$$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u\чашка v}$${\displaystyle уф}$$${\displaystyle H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)}$$${\displaystyle X}$$${\displaystyle uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).}$$

Для любого непрерывного отображения пулбэк является гомоморфизмом градуированных - алгебр . Отсюда следует, что если два пространства гомотопически эквивалентны , то их кольца когомологий изоморфны.${\displaystyle f\двоеточие от X до Y,}$${\displaystyle f^{*}:H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)}$${\displaystyle R}$

Вот некоторые геометрические интерпретации произведения чашек. В дальнейшем под многообразиями понимаются многообразия без границ, если не указано иное. Замкнутое многообразие означает компактное многообразие (без границ), тогда как замкнутое подмногообразие N многообразия M означает подмногообразие, которое является замкнутым подмножеством M , не обязательно компактным (хотя N автоматически компактно, если M компактно).

• Пусть X — замкнутое ориентированное многообразие размерности n . Тогда двойственность Пуанкаре задает изоморфизм H ⁱ X ≅ H _{n − i} X. В результате замкнутое ориентированное подмногообразие S коразмерности i в X определяет класс когомологий в H ⁱ X , называемый [ S ]. В этих терминах произведение чашек описывает пересечение подмногообразий. А именно, если S и T — подмногообразия коразмерности i и j , пересекающиеся трансверсально , то где пересечение S ∩ T — подмногообразие коразмерности i + j , с ориентацией, определяемой ориентациями S , T и X . В случае гладких многообразий , если S и T не пересекаются трансверсально, эту формулу все равно можно использовать для вычисления произведения чашек [ S ][ T ], возмущая S или T так , чтобы сделать пересечение трансверсальным.$${\displaystyle [S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),}$$
  В более общем случае, не предполагая, что X имеет ориентацию, замкнутое подмногообразие X с ориентацией на его нормальном расслоении определяет класс когомологий на X. Если X — некомпактное многообразие, то замкнутое подмногообразие (не обязательно компактное) определяет класс когомологий на X. В обоих случаях произведение чашек снова можно описать в терминах пересечений подмногообразий.
  Обратите внимание, что Том построил целочисленный класс когомологий степени 7 на гладком 14-многообразии, который не является классом какого-либо гладкого подмногообразия. ^[5] С другой стороны, он показал, что каждый целочисленный класс когомологий положительной степени на гладком многообразии имеет положительное кратное, которое является классом гладкого подмногообразия. ^[6] Кроме того, каждый целочисленный класс когомологий на многообразии может быть представлен «псевдомногообразием», то есть симплициальным комплексом, который является многообразием вне замкнутого подмножества коразмерности не менее 2.
• Для гладкого многообразия X теорема де Рама гласит , что сингулярные когомологии X с вещественными коэффициентами изоморфны когомологиям де Рама X , определенным с использованием дифференциальных форм . Произведение чашек соответствует произведению дифференциальных форм. Эта интерпретация имеет то преимущество, что произведение на дифференциальных формах является градуированно-коммутативным, тогда как произведение на сингулярных коцепях является градуированно-коммутативным только с точностью до цепной гомотопии . Фактически, невозможно изменить определение сингулярных коцепей с коэффициентами в целых числах или в для простого числа p, чтобы сделать произведение градуированно-коммутативным на носу. Несостоятельность градуированной коммутативности на уровне коцепей приводит к операциям Стинрода на mod p когомологиях.${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$

Очень неформально, для любого топологического пространства X элементы из можно рассматривать как представленные подпространствами коразмерности i из X , которые могут свободно перемещаться по X. Например, один из способов определить элемент из — это задать непрерывное отображение f из X в многообразие M и замкнутое подмногообразие коразмерности i из M с ориентацией на нормальном расслоении. Неформально, можно думать, что полученный класс лежит на подпространстве X ; это оправдано тем, что класс ограничивается нулем в когомологиях открытого подмножества. Класс когомологий может свободно перемещаться по X в том смысле, что N можно заменить любой непрерывной деформацией N внутри M.${\displaystyle H^{i}(X)}$${\displaystyle H^{i}(X)}$${\displaystyle f^{*}([N])\in H^{i}(X)}$${\displaystyle f^{-1}(N)}$${\displaystyle f^{*}([N])}$${\displaystyle X-f^{-1}(N).}$${\displaystyle f^{*}([N])}$

В дальнейшем когомологии берутся с коэффициентами в целых числах Z , если не указано иное.

• Кольцо когомологий точки — это кольцо Z в степени 0. В силу гомотопической инвариантности это также кольцо когомологий любого стягиваемого пространства, такого как евклидово пространство R ⁿ .

• 

  Для положительного целого числа n кольцо когомологий сферы равно Z [ x ] /( x ² ) ( частное кольцо кольца многочленов по данному идеалу ), где x имеет степень n . В терминах двойственности Пуанкаре, как и выше, x — это класс точки на сфере.${\displaystyle S^{n}}$
• Кольцо когомологий тора — это внешняя алгебра над Z на n образующих в степени 1. ^[7] Например, пусть P обозначает точку в окружности , а Q — точку ( P , P ) в 2-мерном торе . Тогда когомологии ( S ¹ ) ² имеют базис как свободный Z -модуль вида: элемент 1 в степени 0, x  := [ P × S ¹ ] и y  := [ S ¹ × P ] в степени 1, и xy = [ Q ] в степени 2. (Неявно, ориентации тора и двух окружностей были здесь зафиксированы.) Обратите внимание, что yx = − xy = −[ Q ] по градуированной коммутативности.${\displaystyle (S^{1})^{n}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle (S^{1})^{2}}$
• В более общем случае пусть R — коммутативное кольцо, а X и Y — любые топологические пространства, такие, что H ^* ( X , R ) — конечно порожденный свободный R -модуль в каждой степени. (Никаких предположений относительно Y не требуется .) Тогда формула Кюннета дает, что кольцо когомологий пространства произведения X × Y является тензорным произведением R -алгебр: ^[8] $${\displaystyle H^{*}(X\times Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).}$$
• Кольцо когомологий вещественного проективного пространства RP ⁿ с коэффициентами Z /2 равно Z /2[ x ]/( x ^{n +1} ), где x имеет степень 1. ^[9] Здесь x — класс гиперплоскости RP n ^{−1 в} RP n ^; это имеет смысл, даже если RP ^j не является ориентируемым для четного и положительного j , поскольку двойственность Пуанкаре с коэффициентами Z /2 работает для произвольных многообразий.
  С целыми коэффициентами ответ немного сложнее. Z -когомологии RP ^{2 a} имеют элемент y степени 2, такой что все когомологии являются прямой суммой копии Z , натянутой на элемент 1 в степени 0, вместе с копиями Z /2, натянутыми на элементы y ⁱ для i =1,..., a . Z -когомологии RP ^{2 a +1} являются теми же самыми вместе с дополнительной копией Z в степени 2 a +1. ^[10]
• Кольцо когомологий комплексного проективного пространства CP ⁿ есть Z [ x ]/( x ^{n +1} ), где x имеет степень 2. ^[9] Здесь x — класс гиперплоскости CP ^{n −1} в CP ⁿ . В более общем случае x ^j — класс линейного подпространства CP ^{n − j} в CP ⁿ .
• Кольцо когомологий замкнутой ориентированной поверхности X рода g ≥ ₀ имеет базис в виде свободного _{Z -модуля вида: элемент 1 в степени 0, A 1 ,..., Ag и B 1 ,..., Bg} в степени 1 и _класс P точки в степени _2. Произведение задается формулой : A i _A j ₌ B i _B j ₌ 0 для всех i и j , A _i B _j = 0, если i ≠ j , и A _i B _i = P для всех i . ^[11] Из градуированной коммутативности следует, что B _i A _i = − P .
• На любом топологическом пространстве градуированная коммутативность кольца когомологий подразумевает, что 2 x ² = 0 для всех классов когомологий нечетной степени x . Отсюда следует, что для кольца R, содержащего 1/2, все элементы нечетной степени из H ^* ( X , R ) имеют квадратный нуль. С другой стороны, элементы нечетной степени не обязаны иметь квадратный нуль, если R равно Z /2 или Z , как видно в примере RP ² (с коэффициентами Z /2) или RP ⁴ × RP ² (с коэффициентами Z ).

Произведение чашек на когомологиях можно рассматривать как исходящее из диагонального отображения , . А именно, для любых пространств и с классами когомологий и , существует внешнее произведение (или перекрестное произведение ) класса когомологии . Произведение чашек классов и может быть определено как обратный путь внешнего произведения по диагонали: ^[12]${\displaystyle \Delta :X\to X\times X}$${\displaystyle x\mapsto (x,x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$${\displaystyle v\in H^{j}(Y,R)}$${\displaystyle u\times v\in H^{i+j}(X\times Y,R)}$${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$${\displaystyle v\in H^{j}(X,R)}$$${\displaystyle uv=\Delta ^{*}(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).}$$

В качестве альтернативы, внешнее произведение может быть определено в терминах произведения чашек. Для пространств и , запишите и для двух проекций. Тогда внешнее произведение классов и равно:${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\times Y\to X}$${\displaystyle g:X\times Y\to Y}$${\displaystyle u\in H^{i}(X,R)}$${\displaystyle v\in H^{j}(Y,R)}$$${\displaystyle u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).}$$

Другая интерпретация двойственности Пуанкаре заключается в том, что кольцо когомологий замкнутого ориентированного многообразия самодвойственно в сильном смысле. А именно, пусть будет замкнутым связным ориентированным многообразием размерности , и пусть будет полем. Тогда изоморфно , и произведение${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle H^{n}(X,F)}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle H^{i}(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F}$

является совершенным сопряжением для каждого целого числа . ^[13] В частности, векторные пространства и имеют одинаковую (конечную) размерность. Аналогично, произведение на интегральных когомологиях по модулю кручения со значениями в является совершенным сопряжением над .${\displaystyle i}$${\displaystyle H^{i}(X,F)}$${\displaystyle H^{n-i}(X,F)}$${\displaystyle H^{n}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ориентированное вещественное векторное расслоение E ранга r над топологическим пространством X определяет класс когомологий на X , класс Эйлера χ( E ) ∈ H ^r ( X , Z ). Неформально, класс Эйлера — это класс нулевого множества общего сечения E . Эту интерпретацию можно сделать более явной, когда E — гладкое векторное расслоение над гладким многообразием X , поскольку тогда общее гладкое сечение X обращается в нуль на подмногообразии коразмерности r в X .

Существует несколько других типов характеристических классов для векторных расслоений, которые принимают значения в когомологиях, включая классы Черна , классы Штифеля–Уитни и классы Понтрягина .

Для каждой абелевой группы A и натурального числа j существует пространство , j -я гомотопическая группа которого изоморфна A , а другие гомотопические группы равны нулю. Такое пространство называется пространством Эйленберга–Маклейна . Это пространство обладает замечательным свойством, заключающимся в том, что оно является классифицирующим пространством для когомологий: существует естественный элемент u из , и каждый класс когомологий степени j на каждом пространстве X является обратным протягиванием u некоторым непрерывным отображением . Точнее, обратное протягивание класса u дает биекцию${\displaystyle K(A,j)}$${\displaystyle H^{j}(K(A,j),A)}$${\displaystyle X\to K(A,j)}$

${\displaystyle [X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)}$

для любого пространства X с гомотопическим типом комплекса CW. ^[14] Здесь обозначает множество гомотопических классов непрерывных отображений из X в Y .${\displaystyle [X,Y]}$

Например, пространство (определенное с точностью до гомотопической эквивалентности) можно считать окружностью . Таким образом, приведенное выше описание говорит о том, что каждый элемент из вытягивается из класса u точки на некоторым отображением .${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle X\to S^{1}}$

Существует связанное описание первых когомологий с коэффициентами в любой абелевой группе A , скажем, для CW-комплекса X . А именно, находится во взаимно однозначном соответствии с множеством классов изоморфизма пространств Галуа, накрывающих X с группой A , также называемых главными A -расслоениями над X . Для связного X следует, что изоморфно , где - фундаментальная группа X . Например, классифицирует двойные накрывающие пространства X , с элементом, соответствующим тривиальному двойному накрытию, несвязному объединению двух копий X .${\displaystyle H^{1}(X,A)}$${\displaystyle H^{1}(X,A)}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle 0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)}$

Для любого топологического пространства X произведение является билинейным отображением

${\displaystyle \cap :H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)}$

для любых целых чисел i и j и любого коммутативного кольца R. Полученное отображение

${\displaystyle H^{*}(X,R)\times H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)}$

превращает сингулярные гомологии X в модуль над сингулярным кольцом когомологий X.

Для i = j произведение шапок дает естественный гомоморфизм

${\displaystyle H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),}$

что является изоморфизмом для поля R.

Например, пусть X — ориентированное многообразие, не обязательно компактное. Тогда замкнутое ориентированное подмногообразие коразмерности i Y многообразия X (не обязательно компактное) определяет элемент H ⁱ ( X , R ), а компактное ориентированное j -мерное подмногообразие Z многообразия X определяет элемент H _j ( X , R ). Произведение шапки [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H _{j − i} ( X , R ) можно вычислить, возмущая Y и Z так, чтобы они пересекались трансверсально, а затем взяв класс их пересечения, который является компактным ориентированным подмногообразием размерности j − i .

Замкнутое ориентированное многообразие X размерности n имеет фундаментальный класс [ X ] в H _n ( X , R ) . Изоморфизм двойственности Пуанкаре определяется произведением с фундаментальным классом X.$${\displaystyle H^{i}(X,R){\overset {\cong }{\to }}H_{n-i}(X,R)}$$

Хотя когомологии имеют основополагающее значение для современной алгебраической топологии, их важность не была замечена в течение примерно 40 лет после разработки гомологии. Концепция дуальной клеточной структуры , которую Анри Пуанкаре использовал в своем доказательстве теоремы двойственности Пуанкаре, содержала начало идеи когомологий, но это не было замечено до более позднего времени.

Существовали различные предшественники когомологий. ^[15] В середине 1920-х годов Дж. В. Александер и Соломон Лефшец основали теорию пересечений циклов на многообразиях. На замкнутом ориентированном n -мерном многообразии M i -цикл и j -цикл с непустым пересечением, если находятся в общем положении , будут иметь в качестве своего пересечения ( i  +  j  −  n )-цикл. Это приводит к умножению классов гомологии

${\displaystyle H_{i}(M)\times H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),}$

которое (оглядываясь назад ) можно отождествить с произведением чашек на когомологиях M.

К 1930 году Александер определил первое понятие коцепи, рассматривая i -коцепь в пространстве X как функцию на малых окрестностях диагонали в X ^{i +1} .

В 1931 году Жорж де Рам связал гомологию и дифференциальные формы, доказав теорему де Рама . Этот результат можно сформулировать проще в терминах когомологий.

В 1934 году Лев Понтрягин доказал теорему двойственности Понтрягина ; результат о топологических группах . Это (в довольно частных случаях) дало интерпретацию двойственности Пуанкаре и двойственности Александера в терминах групповых характеров .

На конференции 1935 года в Москве Андрей Колмогоров и Александр оба ввели когомологии и попытались построить структуру когомологического произведения.

В 1936 году Норман Стинрод построил когомологии Чеха путем дуализации гомологий Чеха.

С 1936 по 1938 год Хасслер Уитни и Эдуард Чех разработали произведение чашек (превращая когомологии в градуированное кольцо) и произведение колпачков , и поняли, что двойственность Пуанкаре может быть выражена в терминах произведения колпачков. Их теория по-прежнему ограничивалась конечными клеточными комплексами.

В 1944 году Самуэль Эйленберг преодолел технические ограничения и дал современное определение сингулярных гомологий и когомологий.

В 1945 году Эйленберг и Стинрод сформулировали аксиомы, определяющие теорию гомологии или когомологии, обсуждаемую ниже. В своей книге 1952 года «Основы алгебраической топологии » они доказали, что существующие теории гомологии и когомологии действительно удовлетворяют их аксиомам.

В 1946 году Жан Лере определил когомологии пучков.

В 1948 году Эдвин Спаниер , опираясь на работы Александера и Колмогорова, разработал когомологии Александера–Спанье .

Когомологии пучков являются богатым обобщением сингулярных когомологий, допуская более общие «коэффициенты», чем просто абелева группа. Для каждого пучка абелевых групп E на топологическом пространстве X имеются группы когомологий H ⁱ ( X , E ) для целых чисел i . В частности, в случае постоянного пучка на X , связанного с абелевой группой A , результирующие группы H ⁱ ( X , A ) совпадают с сингулярными когомологиями для X многообразия или CW-комплекса (хотя и не для произвольных пространств X ). Начиная с 1950-х годов когомологии пучков стали центральной частью алгебраической геометрии и комплексного анализа , отчасти из-за важности пучка регулярных функций или пучка голоморфных функций .

Гротендик элегантно определил и охарактеризовал когомологии пучков на языке гомологической алгебры . Главное — зафиксировать пространство X и думать о когомологиях пучков как о функторе из абелевой категории пучков на X в абелевы группы. Начнем с функтора, переводящего пучок E на X в его абелеву группу глобальных сечений над X , E ( X ). Этот функтор является точным слева , но не обязательно точным справа. Гротендик определил группы когомологий пучков как правые производные функторы точного слева функтора E ↦ E ( X ). ^[16]

Это определение предполагает различные обобщения. Например, можно определить когомологии топологического пространства X с коэффициентами в любом комплексе пучков, ранее называвшихся гиперкогомологиями (но теперь обычно просто «когомологиями»). С этой точки зрения когомологии пучков становятся последовательностью функторов из производной категории пучков на X в абелевы группы.

В широком смысле слова «когомологии» часто используются для правых производных функторов левого точного функтора на абелевой категории, в то время как «гомологии» используются для левых производных функторов правого точного функтора. Например, для кольца R группы Tor Tor _i ^R ( M , N ) образуют «теорию гомологии» по каждой переменной, левые производные функторы тензорного произведения M ⊗ _RN R -модулей . Аналогично, группы Ext Ext ⁱ _R ( M , N ) можно рассматривать как «теорию когомологии» по каждой переменной, правые производные функторы функтора Hom Hom _R ( M , N ).

Когомологии пучков можно отождествить с типом группы Ext. А именно, для пучка E на топологическом пространстве X , H ⁱ ( X , E ) изоморфен Ext ⁱ ( Z _X , E ), где Z _X обозначает постоянный пучок, связанный с целыми числами Z , а Ext берется в абелевой категории пучков на X .

Существует множество машин, построенных для вычисления когомологий алгебраических многообразий . Простейшим случаем является определение когомологий для гладких проективных многообразий над полем характеристики . Инструменты из теории Ходжа , называемые структурами Ходжа , помогают вычислять когомологии этих типов многообразий (с добавлением более точной информации). В простейшем случае когомологии гладкой гиперповерхности в могут быть определены только из степени многочлена.${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

При рассмотрении многообразий над конечным полем или полем характеристики требуются более мощные инструменты, поскольку классические определения гомологии/когомологии не работают. Это происходит потому, что многообразия над конечными полями будут только конечным набором точек. Гротендик придумал идею топологии Гротендика и использовал когомологии пучков над этальной топологией , чтобы определить теорию когомологий для многообразий над конечным полем. Используя этальную топологию для многообразия над полем характеристики, можно построить -адические когомологии для . Это определяется как проективный предел${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell \neq p}$

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }H_{et}^{k}(X;\mathbb {Z} /(\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }.}$

Если у нас есть схема конечного типа

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]}{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}}\right)}$

то существует равенство размерностей для когомологий Бетти и -адических когомологий всякий раз, когда многообразие гладко над обоими полями. В дополнение к этим теориям когомологий существуют другие теории когомологий, называемые теориями когомологий Вейля , которые ведут себя подобно сингулярным когомологиям. Существует предполагаемая теория мотивов, которая лежит в основе всех теорий когомологий Вейля.${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle X(\mathbb {F} _{q})}$

Другим полезным вычислительным инструментом является последовательность раздутия. При наличии подсхемы коразмерности существует декартов квадрат${\displaystyle \geq 2}$${\displaystyle Z\subset X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}E&\longrightarrow &Bl_{Z}(X)\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\longrightarrow &X\end{matrix}}}$

Из этого следует длинная точная последовательность

${\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\to H^{n}(Z)\oplus H^{n}(Bl_{Z}(X))\to H^{n}(E)\to H^{n+1}(X)\to \cdots }$

Если подмногообразие гладкое, то все связующие морфизмы тривиальны, следовательно${\displaystyle Z}$

${\displaystyle H^{n}(Bl_{Z}(X))\oplus H^{n}(Z)\cong H^{n}(X)\oplus H^{n}(E)}$

Существуют различные способы определения когомологий для топологических пространств (такие как сингулярные когомологии, когомологии Чеха , когомологии Александера–Спаньера или когомологии пучков ). (Здесь когомологии пучков рассматриваются только с коэффициентами в постоянном пучке.) Эти теории дают разные ответы для некоторых пространств, но есть большой класс пространств, по которым они все согласны. Это проще всего понять аксиоматически: есть список свойств, известных как аксиомы Эйленберга–Стинрода , и любые две конструкции, которые разделяют эти свойства, будут согласны по крайней мере на всех комплексах CW. ^[17] Существуют версии аксиом как для теории гомологии, так и для теории когомологии. Некоторые теории можно рассматривать как инструменты для вычисления сингулярных когомологий для специальных топологических пространств, таких как симплициальные когомологии для симплициальных комплексов , клеточные когомологии для комплексов CW и когомологии де Рама для гладких многообразий.

Одной из аксиом Эйленберга–Стинрода для теории когомологий является аксиома размерности : если P — единственная точка, то H ⁱ ( P ) = 0 для всех i ≠ 0. Около 1960 года Джордж Уайтхед заметил, что плодотворно полностью опустить аксиому размерности: это дает понятие обобщенной теории гомологии или обобщенной теории когомологии, определенной ниже. Существуют обобщенные теории когомологии, такие как K-теория или комплексные кобордизмы, которые дают богатую информацию о топологическом пространстве, недоступную напрямую из сингулярных когомологий. (В этом контексте сингулярные когомологии часто называют «обычными когомологиями».)

По определению, обобщенная теория гомологии — это последовательность функторов h _i (для целых чисел i ) из категории CW- пар ( X ,  A ) (то есть X является CW-комплексом, а A является подкомплексом) в категорию абелевых групп вместе с естественным преобразованием ∂ _i : h _i ( X , A ) → h _{i −1} ( A ), называемым граничным гомоморфизмом (здесь h _{i −1} ( A ) является сокращением для h _{i −1} ( A ,∅)). Аксиомы следующие:

1. Гомотопия : Если гомотопно , то индуцированные гомоморфизмы по гомологии одинаковы.${\displaystyle f:(X,A)\to (Y,B)}$${\displaystyle g:(X,A)\to (Y,B)}$
2. Точность : Каждая пара ( X , A ) индуцирует длинную точную последовательность в гомологии посредством включений f : A → X и g : ( X ,∅) → ( X , A ) :$${\displaystyle \cdots \to h_{i}(A){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X){\overset {g_{*}}{\to }}h_{i}(X,A){\overset {\partial }{\to }}h_{i-1}(A)\to \cdots .}$$
3. Вырезание : Если X является объединением подкомплексов A и B , то включение f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) индуцирует изоморфизмдля каждого i .$${\displaystyle h_{i}(A,A\cap B){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X,B)}$$
4. Аддитивность : Если ( X , A ) является дизъюнктным объединением набора пар ( X _α , A _α ), то включения ( X _α , A _α ) → ( X , A ) индуцируют изоморфизм из прямой суммы : для каждого i .$${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })\to h_{i}(X,A)}$$

Аксиомы для обобщенной теории когомологий получаются путем перестановки стрелок, грубо говоря. Более подробно, обобщенная теория когомологий представляет собой последовательность контравариантных функторов h ⁱ (для целых чисел i ) из категории CW-пар в категорию абелевых групп вместе с естественным преобразованием d : h ⁱ ( A ) → h ^{i +1} ( X , A ), называемым граничным гомоморфизмом (запись h ⁱ ( A ) вместо h ⁱ ( A ,∅)). Аксиомы следующие:

1. Гомотопия : Гомотопные отображения индуцируют тот же гомоморфизм на когомологиях.
2. Точность : Каждая пара ( X , A ) индуцирует длинную точную последовательность в когомологиях посредством включений f : A → X и g : ( X ,∅) → ( X , A ):$${\displaystyle \cdots \to h^{i}(X,A){\overset {g_{*}}{\to }}h^{i}(X){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .}$$
3. Вырезание : Если X является объединением подкомплексов A и B , то включение f : ( A , A ∩ B ) → ( X , B ) индуцирует изоморфизм для каждого i .$${\displaystyle h^{i}(X,B){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A,A\cap B)}$$
4. Аддитивность : если ( X , A ) является дизъюнктным объединением набора пар ( X _α , A _α ), то включения ( X _α , A _α ) → ( X , A ) индуцируют изоморфизм к группе произведений : для каждого i .$${\displaystyle h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })}$$

Спектр определяет как обобщенную теорию гомологии, так и обобщенную теорию когомологии. Фундаментальный результат Брауна, Уайтхеда и Адамса гласит, что каждая обобщенная теория гомологии происходит из спектра, и аналогично каждая обобщенная теория когомологии происходит из спектра. ^[18] Это обобщает представимость обычных когомологий пространствами Эйленберга–Маклейна.

Тонкий момент заключается в том, что функтор из стабильной гомотопической категории (гомотопической категории спектров) в обобщенные теории гомологии на CW-парах не является эквивалентностью, хотя он дает биекцию на классах изоморфизма; существуют ненулевые отображения в стабильной гомотопической категории (называемые фантомными отображениями ), которые индуцируют нулевое отображение между теориями гомологии на CW-парах. Аналогично, функтор из стабильной гомотопической категории в обобщенные теории когомологии на CW-парах не является эквивалентностью. ^[19] Именно стабильная гомотопическая категория, а не эти другие категории, имеет хорошие свойства, такие как триангуляция .

Если кто-то предпочитает, чтобы теории гомологии или когомологии были определены на всех топологических пространствах, а не на комплексах CW, один стандартный подход заключается во включении аксиомы, что каждая слабая гомотопическая эквивалентность индуцирует изоморфизм на гомологиях или когомологиях. (Это верно для сингулярных гомологий или сингулярных когомологий, но не для когомологий пучков, например.) Поскольку каждое пространство допускает слабую гомотопическую эквивалентность из комплекса CW, эта аксиома сводит теории гомологии или когомологии на всех пространствах к соответствующей теории на комплексах CW. ^[20]

Вот некоторые примеры обобщенных теорий когомологий:

• Стабильные когомотопические группы Соответствующая теория гомологии используется чаще: стабильные гомотопические группы${\displaystyle \pi _{S}^{*}(X).}$ ${\displaystyle \pi _{*}^{S}(X).}$
• Различные разновидности групп кобордизмов , основанные на изучении пространства путем рассмотрения всех отображений из него в многообразия: неориентированный кобордизм, ориентированный кобордизм, комплексный кобордизм и т. д. Комплексный кобордизм оказался особенно мощным в теории гомотопий. Он тесно связан с формальными группами через теорему Дэниела Квиллена .${\displaystyle MO^{*}(X)}$${\displaystyle MSO^{*}(X),}$ ${\displaystyle MU^{*}(X),}$
• Различные разновидности топологической K-теории , основанные на изучении пространства путем рассмотрения всех векторных расслоений над ним: (действительная периодическая K-теория), (действительная связная K-теория), (комплексная периодическая K-теория), (комплексная связная K-теория) и т. д.${\displaystyle KO^{*}(X)}$${\displaystyle ko^{*}(X)}$${\displaystyle K^{*}(X)}$${\displaystyle ku^{*}(X)}$
• Когомологии Брауна–Петерсона , K-теория Моравы , E-теория Моравы и другие теории, построенные на основе комплексных кобордизмов.
• Различные разновидности эллиптических когомологий .

Многие из этих теорий несут в себе более богатую информацию, чем обычные когомологии, но их сложнее вычислить.

Говорят, что теория когомологий E является мультипликативной , если она имеет структуру градуированного кольца для каждого пространства X. На языке спектров существует несколько более точных понятий кольцевого спектра , таких как кольцевой спектр E _∞ , где произведение коммутативно и ассоциативно в сильном смысле.${\displaystyle E^{*}(X)}$

Теории когомологий в более широком смысле (инварианты других алгебраических или геометрических структур, а не топологических пространств) включают в себя:

• комплексно-ориентированная теория когомологий

• Дьедонне, Жан (1989), История алгебраической и дифференциальной топологии , Birkhäuser , ISBN 0-8176-3388-X, МР  0995842
• Дольд, Альбрехт (1972), Лекции по алгебраической топологии , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58660-9, МР  0415602
• Эйленберг, Сэмюэл ; Стинрод, Норман (1952), Основы алгебраической топологии , Princeton University Press , ISBN 9780691627236, МР  0050886
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics, т. 52, Нью-Йорк, Гейдельберг: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90244-9, МР  0463157
• Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология, Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0, г-н  1867354
• «Когомологии», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994].
• Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии (PDF) , Издательство Чикагского университета , ISBN 0-226-51182-0, г-н  1702278
• Свитцер, Роберт (1975), Алгебраическая топология — Гомология и гомотопия , Springer-Verlag , ISBN 3-540-42750-3, МР  0385836
• Том, Рене (1954), «Quelques proprietés globales des variétés différentiables», Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17–86 , doi : 10.1007/BF02566923, MR  0061823, S2CID  120243638