Эквивариантные когомологии

В математике эквивариантные когомологии ( или когомологии Бореля ) — это теория когомологий из алгебраической топологии , которая применяется к топологическим пространствам с действием группы . Её можно рассматривать как общее обобщение групповых когомологий и обычной теории когомологий . В частности, эквивариантное кольцо когомологий пространства с действием топологической группы определяется как обычное кольцо когомологий с кольцом коэффициентов гомотопического фактора :${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Лямбда}$ ${\displaystyle EG\times _{G}X}$

${\displaystyle H_{G}^{*}(X;\Lambda)=H^{*}(EG\times _{G}X;\Lambda).}$

Если — тривиальная группа , то это обычное кольцо когомологий , тогда как если — стягиваемое , то оно сводится к кольцу когомологий классифицирующего пространства (то есть к групповым когомологиям , когда G конечна.) Если G действует свободно на X , то каноническое отображение является гомотопической эквивалентностью, и поэтому получается:${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle БГ}$${\displaystyle G}$${\displaystyle EG\times _{G}X\to X/G}$${\displaystyle H_{G}^{*}(X;\Лямбда)=H^{*}(X/G;\Лямбда).}$

Также возможно определить эквивариантные когомологии с коэффициентами в -модуле A ; это абелевы группы . Эта конструкция является аналогом когомологий с локальными коэффициентами.${\displaystyle H_{G}^{*}(X;A)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

Если X — многообразие , G — компактная группа Ли и — поле действительных чисел или поле комплексных чисел (наиболее типичная ситуация), то указанные выше когомологии можно вычислить с помощью так называемой модели Картана (см. эквивариантные дифференциальные формы ).${\displaystyle \Лямбда}$

Эту конструкцию не следует путать с другими теориями когомологий, такими как когомологии Бредона или когомологии инвариантных дифференциальных форм: если G — компактная группа Ли, то с помощью усредняющего аргумента ^{[ требуется ссылка ]} любую форму можно сделать инвариантной; таким образом, когомологии инвариантных дифференциальных форм не дают новой информации.

Известно, что двойственность Кошуля имеет место между эквивариантными когомологиями и обычными когомологиями.

Для группоида Ли эквивариантные когомологии гладкого многообразия ^[1] являются особым примером группоидных когомологий группоида Ли. Это происходит потому, что для заданного -пространства для компактной группы Ли существует ассоциированный группоид${\displaystyle {\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{G}=[G\times X\rightrightarrows X]}$

чьи эквивариантные группы когомологий могут быть вычислены с использованием комплекса Картана , который является суммированием двойного комплекса де-Рама группоида. Члены комплекса Картана следующие:${\displaystyle \Омега _{G}^{\bullet }(X)}$

${\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)=\bigoplus _{2k+i=n}({\text{Sym}}^{k}({\mathfrak {g}}^{\vee })\otimes \Omega ^{i}(X))^{G}}$

где - симметричная алгебра дуальной алгебры Ли из группы Ли , и соответствует -инвариантным формам. Это особенно полезный инструмент для вычисления когомологий для компактной группы Ли, поскольку это может быть вычислено как когомологии${\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }({\mathfrak {g}}^{\vee })}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (-)^{G}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle БГ}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle [G\rightrightarrows *]}$

где действие тривиально в точке. Тогда,

${\displaystyle H_{dR}^{*}(BG)=\bigoplus _{k\geq 0}{\text{Sym}}^{2k}({\mathfrak {g}}^{\vee })^{G}}$

Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{dR}^{*}(BU(1))&=\bigoplus _{k=0}{\text{Sym}}^{2k}(\mathbb {R} ^{\vee })\\&\cong \mathbb {R} [t]\\&{\text{ where }}\deg(t)=2\end{aligned}}}$

поскольку -действие на дуальной алгебре Ли тривиально.${\displaystyle U(1)}$

Гомотопическое фактор-пространство , также называемое гомотопическим орбитальным пространством или конструкцией Бореля , представляет собой «гомотопически правильную» версию орбитального пространства (фактора по его -действию), в котором сначала заменяется большим, но гомотопически эквивалентным пространством, так что действие гарантированно будет свободным .${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

Для этого построим универсальное расслоение EG → BG для G и напомним, что EG допускает свободное G -действие. Тогда произведение EG × X — которое гомотопически эквивалентно X, поскольку EG стягиваемо — допускает «диагональное» G -действие, определяемое соотношением ( e , x ). g = ( eg , g ⁻¹ x ): более того, это диагональное действие свободно, поскольку оно свободно на EG . Поэтому мы определяем гомотопический фактор X _G как пространство орбит ( EG × X )/ G этого свободного G -действия.

Другими словами, гомотопический фактор — это ассоциированное X -расслоение над BG , полученное из действия G на пространстве X и главного расслоения EG → BG . Это расслоение X → X _G → BG называется расслоением Бореля .

Следующий пример — Предложение 1 из [1].

Пусть X — комплексная проективная алгебраическая кривая . Мы отождествляем X как топологическое пространство с множеством комплексных точек , которое является компактной римановой поверхностью . Пусть G — комплексная односвязная полупростая группа Ли. Тогда любое главное G -расслоение на X изоморфно тривиальному расслоению, поскольку классифицирующее пространство является 2-связным и X имеет действительную размерность 2. Зафиксируем некоторое гладкое G -расслоение на X . Тогда любое главное G -расслоение на изоморфно . Другими словами, множество всех классов изоморфизма пар, состоящих из главного G -расслоения на X и комплексно-аналитической структуры на нем, можно отождествить с множеством комплексно-аналитических структур на или, что эквивалентно, с множеством голоморфных связностей на X (так как связности интегрируемы по причине размерности). является бесконечномерным комплексным аффинным пространством и, следовательно, стягиваемым.${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle БГ}$${\displaystyle P_{\text{см}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P_{\text{см}}}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle P_{\text{см}}}$${\displaystyle \Омега}$

Пусть — группа всех автоморфизмов (т.е. калибровочная группа ). Тогда гомотопический фактор по классифицирует комплексно-аналитические (или, что эквивалентно, алгебраические) главные G -расслоения на X ; т.е. это в точности классифицирующее пространство дискретной группы .${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle P_{\text{sm}}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Можно определить стек модулей главных расслоений как стек факторов , и тогда гомотопический фактор , по определению, является гомотопическим типом .${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$ ${\displaystyle [\Omega /{\mathcal {G}}]}$${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

Пусть E — эквивариантное векторное расслоение на G -многообразии M . Оно порождает векторное расслоение на гомотопическом факторе так, что оно тянется обратно к расслоению над . Тогда эквивариантный характеристический класс E — это обычный характеристический класс , который является элементом пополнения кольца когомологий . (Чтобы применить теорию Черна–Вейля , используется конечномерная аппроксимация EG .)${\displaystyle {\widetilde {E}}}$${\displaystyle EG\times _{G}M}$${\displaystyle {\widetilde {E}}=EG\times E}$${\displaystyle EG\times M}$${\displaystyle {\widetilde {E}}}$${\displaystyle H^{*}(EG\times _{G}M)=H_{G}^{*}(M)}$

В качестве альтернативы можно сначала определить эквивариантный класс Черна, а затем определить другие характеристические классы как инвариантные многочлены классов Черна, как в обычном случае; например, эквивариантный класс Тодда эквивариантного линейного расслоения — это функция Тодда, вычисленная в эквивариантном первом классе Черна расслоения. (Эквивариантный класс Тодда линейного расслоения — это степенной ряд (а не многочлен, как в неэквивариантном случае) в эквивариантном первом классе Черна; следовательно, он принадлежит пополнению эквивариантного кольца когомологий.)

В неэквивариантном случае первый класс Черна можно рассматривать как биекцию между множеством всех классов изоморфизма комплексных линейных расслоений на многообразии M и ^[2] В эквивариантном случае это переводится как: эквивариантный первый класс Черна дает биекцию между множеством всех классов изоморфизма эквивариантных комплексных линейных расслоений и .${\displaystyle H^{2}(M;\mathbb {Z} ).}$${\displaystyle H_{G}^{2}(M;\mathbb {Z} )}$

This section needs expansion. You can help by adding to it. (April 2014)

Теорема локализации — один из самых мощных инструментов в эквивариантных когомологиях.

• Эквивариантная дифференциальная форма
• Карта Кирвана
• Формула локализации для эквивариантных когомологий
• сорт ГКМ
• когомологии Бредона

• Атья, Майкл ; Ботт, Рауль (1984), «Отображение моментов и эквивариантные когомологии», Топология , 23 : 1–28, doi : 10.1016/0040-9383(84)90021-1
• Brion, M. (1998). "Эквивариантные когомологии и эквивариантная теория пересечений" (PDF) . Теории представлений и алгебраическая геометрия . Серия НАТО ASI. Т. 514. Springer. стр. 1–37. arXiv : math/9802063 . doi :10.1007/978-94-015-9131-7_1. ISBN 978-94-015-9131-7. S2CID  14961018.
• Горески, Марк ; Котвитц, Роберт ; Макферсон, Роберт (1998), «Эквивариантные когомологии, двойственность Кошуля и теорема локализации», Inventiones Mathematicae , 131 : 25–83, CiteSeerX  10.1.1.42.6450 , doi : 10.1007/s002220050197, S2CID  6006856
• Hsiang, Wu-Yi (1975). Теория когомологий топологических групп преобразований . Springer. doi :10.1007/978-3-642-66052-8. ISBN 978-3-642-66052-8.
• Tu, Loring W. (март 2011 г.). «Что такое . . . Эквивариантные когомологии?» (PDF) . Notices of the American Mathematical Society . 58 (3): 423–6. arXiv : 1305.4293 .

• Беренд, К. (2004). "Когомологии стеков" (PDF) . Теория пересечений и модули . ICTP Lecture Notes. Том 19. С. 249–294. ISBN 9789295003286.На странице 10 PDF-файла представлен основной результат с примерами.

• Guillemin, VW; Sternberg, S. (1999). Суперсимметрия и эквивариантная теория де Рама . Springer. doi :10.1007/978-3-662-03992-2. ISBN 978-3-662-03992-2.
• Вернь, М.; Пайча, С. (1998). «Эквивариантные когомологии и теория Стокса» (PDF) . Департамент математики Университета Блеза Паскаля.

• Майнренкен, Э. (2006), «Эквивариантные когомологии и модель Картана» (PDF) , Энциклопедия математической физики , стр. 242–250, ISBN 978-0-12-512666-3— Отличная обзорная статья, описывающая основы теории и основные важные теоремы.
• «Эквивариантные когомологии», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Young-Hoon Kiem (2008). "Введение в эквивариантную теорию когомологий" (PDF) . Сеульский национальный университет.
• Что такое эквивариантные когомологии группы, действующей на себя посредством сопряжения?