Когомологии Андре–Квиллена

В коммутативной алгебре когомологии Андре–Квиллена — это теория когомологий для коммутативных колец , которая тесно связана с кокасательным комплексом . Первые три группы когомологий были введены Стивеном Лихтенбаумом и Михаэлем Шлессингером  (1967) и иногда называются функторами Лихтенбаума–Шлессингера T ⁰ , T ¹ , T ² , а высшие группы были определены независимо Мишелем Андре  (1974) и Даниэлем Квилленом  (1970) с использованием методов теории гомотопий . Она поставляется с параллельной теорией гомологии, называемой гомологией Андре–Квиллена .

Пусть A — коммутативное кольцо, B — A -алгебра, а M — B -модуль. Группы когомологий Андре–Квиллена являются производными функторами функтора деривации Der _A ( B , M ). До общих определений Андре и Квиллена долгое время было известно, что для заданных морфизмов коммутативных колец A → B → C и C -модуля M существует трехчленная точная последовательность модулей деривации:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Der} _{B}(C,M)\to \operatorname {Der} _{A}(C,M)\to \operatorname {Der} _{A}(B,M).}$

Этот термин может быть расширен до шестичленной точной последовательности с использованием функтора Exalcomm расширений коммутативных алгебр и девятичленной точной последовательности с использованием функторов Лихтенбаума–Шлессингера. Когомологии Андре–Квиллена расширяют эту точную последовательность еще дальше. В нулевой степени это модуль дериваций; в первой степени это Exalcomm; а во второй степени это функтор Лихтенбаума–Шлессингера второй степени.

Пусть B — A -алгебра, а M — B -модуль. Пусть P — симплициальная кофибрантная резольвента A -алгебры B . Андре обозначает q -ю группу когомологий B над A с коэффициентами в M как H ^q ( A , B , M ) , в то время как Квиллен обозначает ту же группу как D ^q ( B / A , M ) . q -я группа когомологий Андре–Квиллена имеет вид:

${\displaystyle D^{q}(B/A,M)=H^{q}(A,B,M){\stackrel {\text{def}}{=}}H^{q}(\operatorname {Der} _{A}(P,M)).}$

Пусть L _{B / A} обозначает относительный котангенс комплекс B над A. Тогда имеем формулы :

${\displaystyle D^{q}(B/A,M)=H^{q}(\operatorname {Hom} _{B}(L_{B/A},M)),}$

${\displaystyle D_{q}(B/A,M)=H_{q}(L_{B/A}\otimes _{B}M).}$

• Комплексный котангенс
• Теория деформации
• Exalcomm

• Андре, Мишель (1974), Homologie des Algèbres Commutatives , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 206, Шпрингер-Верлаг
• Лихтенбаум, Стивен ; Шлессингер, Майкл (1967), «Котагательный комплекс морфизма», Труды Американского математического общества , 128 (1): 41– 70, doi : 10.2307/1994516 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1994516, MR  0209339
• Квиллен, Дэниел Г., Гомологии коммутативных колец, неопубликованные заметки, архивировано из оригинала 20 апреля 2015 г.
• Куиллен, Дэниел (1970), О (ко-)гомологиях коммутативных колец , Proc. Symp. Pure Mat., т. XVII, Американское математическое общество
• Вайбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 38, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139644136, ISBN 978-0-521-43500-0, г-н  1269324

• Когомологии Андре–Квиллена коммутативных S-алгебр
• Гомологии и когомологии спектров колец E-infinity