Ext-функтор

В математике функторы Ext являются производными функторами функтора Hom . Наряду с функтором Tor , Ext является одним из основных понятий гомологической алгебры , в которой идеи алгебраической топологии используются для определения инвариантов алгебраических структур. Когомологии групп , алгебр Ли и ассоциативных алгебр могут быть определены в терминах Ext. Название происходит от того факта, что первая группа Ext Ext ¹ классифицирует расширения одного модуля другим.

В частном случае абелевых групп Ext был введен Рейнхольдом Бэром (1934). Он был назван Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Маклейном (1942) и применен к топологии ( универсальная теорема коэффициентов для когомологий ). Для модулей над любым кольцом Ext был определен Анри Картаном и Эйленбергом в их книге 1956 года «Гомологическая алгебра» . ^[1]

Пусть будет кольцом и пусть будет категорией модулей над . (Можно понимать это как левые -модули или правые -модули.) Для фиксированного -модуля , пусть для в . (Вот абелева группа -линейных отображений из в ; это -модуль, если коммутативно .) Это точный слева функтор из в категорию абелевых групп , и поэтому он имеет правые производные функторы . Группы Ext являются абелевыми группами, определяемыми формулой${\displaystyle R}$${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle А}$${\displaystyle T(B)={\text{Hom}}_{R}(A,B)}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$${\displaystyle {\text{Гом}}_{R}(A,B)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ ${\displaystyle R^{i}T}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B),}$

для целого числа i . По определению это означает: взять любую инъективную резолюцию

${\displaystyle 0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots ,}$

удалите член B и сформируйте коцепной комплекс :

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots .}$

Для каждого целого числа i , Ext^я
_Р( A , B ) — когомологии этого комплекса в позиции i . Она равна нулю для отрицательного i . Например, Ext⁰
_Р( A , B ) является ядром отображения Hom _R ( A , I ⁰ ) → Hom _R ( A , I ¹ ), которое изоморфно Hom _R ( A , B ).

Альтернативное определение использует функтор G ( A )=Hom _R ( A , B ) для фиксированного R -модуля B . Это контравариантный функтор, который можно рассматривать как левый точный функтор из противоположной категории ( R -Mod) ^op в Ab. Группы Ext определяются как правые производные функторы R ⁱ G :

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).}$

То есть, выбираем любое проективное разрешение

${\displaystyle \cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$

удалите член A и сформируйте коцепной комплекс:

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .}$

Затем Доп.^я
_Р( A , B ) — когомологии этого комплекса в позиции i .

Можно задаться вопросом, почему выбор разрешения до сих пор оставался неопределенным. Фактически, Картан и Эйленберг показали, что эти конструкции не зависят от выбора проективного или инъективного разрешения, и что обе конструкции дают одни и те же группы Ext. ^[2] Более того, для фиксированного кольца R Ext является функтором по каждой переменной (контравариантным по A , ковариантным по B ).

Для коммутативного кольца R и R -модулей A и B , Ext^я
_Р( A , B ) является R -модулем (используя то, что Hom _R ( A , B ) является R -модулем в этом случае). Для некоммутативного кольца R , Ext^я
_Р( A , B ) — это всего лишь абелева группа, в общем случае. Если R — алгебра над кольцом S (что означает, в частности, что S коммутативно), то Ext^я
_Р( A , B ) является по крайней мере S -модулем.

Вот некоторые основные свойства и вычисления групп Ext. ^[3]

• Доп.⁰
  _Р( A , B ) ≅ Hom _R ( A , B ) для любых R -модулей A и B .

• Доп.^я
  _Р( A , B ) = 0 для всех i > 0, если R -модуль A проективен ( например , свободен ) или если B инъективен .

• Обратные утверждения также верны:
  • Если Внешн.¹
    _Р( A , B ) = 0 для всех B , тогда A проективен (и, следовательно, Ext^я
    _Р( А , В ) = 0 для всех i > 0).
  • Если Внешн.¹
    _Р( A , B ) = 0 для всех A , тогда B инъективен (и, следовательно, Ext^я
    _Р( А , В ) = 0 для всех i > 0).

• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0}$для всех i ≥ 2 и всех абелевых групп A и B. ^[4 ]

• Обобщая предыдущий пример, для всех i ≥ 2, если R — область главных идеалов .${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=0}$

• Если R — коммутативное кольцо и u в R не является делителем нуля , то

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

для любого R -модуля B . Здесь B [ u ] обозначает u -крученую подгруппу B , { x ∈ B : ux = 0}. Принимая R за кольцо целых чисел, это вычисление можно использовать для вычисления для любой конечно порождённой абелевой группы A .${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)}$

• Обобщая предыдущий пример, можно вычислить группы Ext, когда первый модуль является фактором коммутативного кольца по любой регулярной последовательности , используя комплекс Кошуля . ^[5] Например, если R — кольцо многочленов k [ x ₁ ,..., x _n ] над полем k , то Ext^*
  _Р( k , k ) — внешняя алгебра S над k с n образующими в Ext ¹ . Более того, Ext^*
  _С( k , k ) — кольцо многочленов R ; это пример двойственности Кошуля .

• По общим свойствам производных функторов существуют две основные точные последовательности для Ext. ^[6] Во-первых, короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 R -модулей индуцирует длинную точную последовательность вида

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,}$

для любого R -модуля A. Кроме того, короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 индуцирует длинную точную последовательность вида

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,}$

для любого R - модуля B.

• Ext берет прямые суммы (возможно, бесконечные) по первой переменной и произведения по второй переменной в произведения. ^[7] То есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}}$

• Пусть A — конечно порождённый модуль над коммутативным нётеровым кольцом R. Тогда Ext коммутирует с локализацией в том смысле, что для каждого мультипликативно замкнутого множества S в R , каждого R -модуля B и каждого целого числа i [ ^8]

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$

Группы Ext получили свое название из-за их связи с расширениями модулей. При наличии R - модулей A и B расширение A посредством B является короткой точной последовательностью R -модулей

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0.}$

Два расширения

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0}$

${\displaystyle 0\to B\to E'\to A\to 0}$

называются эквивалентными (как расширения A посредством B ), если существует коммутативная диаграмма :

Обратите внимание, что лемма Five подразумевает, что средняя стрелка является изоморфизмом. Расширение A посредством B называется расщепленным , если оно эквивалентно тривиальному расширению

${\displaystyle 0\to B\to A\oplus B\to A\to 0.}$

Существует взаимно-однозначное соответствие между классами эквивалентности расширений A посредством B и элементами Ext¹
_Р( A , B ). ^[9] Тривиальное расширение соответствует нулевому элементу Ext¹
_Р( А , Б ).

Сумма Бэра — это явное описание структуры абелевой группы на Ext¹
_Р( A , B ), рассматриваемое как множество классов эквивалентности расширений A посредством B . ^[10] А именно, если даны два расширения

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f}]{}}E{\xrightarrow[{g}]{}}A\to 0}$

и

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f'}]{}}E'{\xrightarrow[{g'}]{}}A\to 0,}$

сначала сформируйте откат ,${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.}$

Затем формируем частный модуль

${\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),-f'(b))\;|\;b\in B\}.}$

Сумма Бэра E и E′ является расширением

${\displaystyle 0\to B\to Y\to A\to 0,}$

где первая карта и вторая .${\displaystyle b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]}$${\displaystyle (e,e')\mapsto g(e)=g'(e')}$

С точностью до эквивалентности расширений сумма Бэра коммутативна и имеет тривиальное расширение в качестве единичного элемента. Отрицательное расширение 0 → B → E → A → 0 — это расширение, включающее тот же модуль E , но с гомоморфизмом B → E, замененным на его отрицательное значение.

Нобуо Ёнеда определил абелевы группы Ext^н
_С( A , B ) для объектов A и B в любой абелевой категории C ; это согласуется с определением в терминах резолюций, если C имеет достаточно проективных или достаточно инъективных . Во-первых, Ext⁰
_С( A , B ) = Hom _C ( A , B ). Далее, Ext¹
_С( A , B ) — это множество классов эквивалентности расширений A с помощью B , образующих абелеву группу относительно суммы Бэра. Наконец, высшие группы Ext Ext^н
_С( A , B ) определяются как классы эквивалентности n-расширений , которые являются точными последовательностями

${\displaystyle 0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0,}$

в соответствии с отношением эквивалентности, порожденным отношением, которое идентифицирует два расширения

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi :0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi ':0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{aligned}}}$

если существуют отображения для всех m из {1, 2, ..., n }, такие, что каждый результирующий квадрат коммутирует , то есть если существует цепное отображение , которое является тождественным на A и B .${\displaystyle X_{m}\to X'_{m}}$$${\displaystyle {\begin{array}{cc cc cc c cc cc cc}0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\\&&{\Bigg \Vert }&&{\Bigg \downarrow }\iota _{n}\!&&&&{\Bigg \downarrow }\iota _{1}&&{\Bigg \Vert }&&\\0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X'_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X'_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\end{array}}}$$ ${\displaystyle \iota \colon \xi \to \xi '}$

Сумма Бэра двух n -расширений , как указано выше , формируется, если позволить быть оттягиванием и над A , а быть выталкиванием и под B. [ 11 ^] Тогда сумма Бэра расширений равна${\displaystyle X''_{1}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X'_{1}}$${\displaystyle X''_{n}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X'_{n}}$

${\displaystyle 0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{2}\to X''_{1}\to A\to 0.}$

Важным моментом является то, что группы Ext в абелевой категории C можно рассматривать как наборы морфизмов в категории, связанной с C , производной категории D ( C ). ^[12] Объекты производной категории являются комплексами объектов в C . В частности, имеется

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)=\operatorname {Hom} _{D({\mathbf {C} })}(A,B[i]),}$

где объект C рассматривается как комплекс, сосредоточенный в степени ноль, а [ i ] означает сдвиг комплекса на i шагов влево. Из этой интерпретации следует билинейное отображение , иногда называемое произведением Йонеды :

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)\times \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C),}$

что является просто композицией морфизмов в производной категории.

Продукт Йонеды можно также описать в более элементарных терминах. Для i = j = 0 продукт является композицией отображений в категории C. В общем случае продукт можно определить путем сращивания двух расширений Йонеды.

В качестве альтернативы, произведение Йонеды можно определить в терминах резолюций. (Это близко к определению производной категории.) Например, пусть R — кольцо с R -модулями A , B , C , и пусть P , Q и T — проективные резольвенты A , B , C. Тогда Ext^я
_Р( A , B ) можно отождествить с группой цепных гомотопических классов цепных отображений P → Q [ i ]. Произведение Йонеды задается путем составления цепных отображений:

${\displaystyle P\to Q[i]\to T[i+j].}$

Согласно любой из этих интерпретаций, произведение Йонеды ассоциативно. В результате, является градуированным кольцом для любого R -модуля A . Например, это дает кольцевую структуру на групповых когомологиях, поскольку это можно рассматривать как . Также по ассоциативности произведения Йонеды: для любых R -модулей A и B , является модулем над .${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$ ${\displaystyle H^{*}(G,\mathbb {Z} ),}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$

• Групповые когомологии определяются формулой , где G — группа, M — представление G над целыми числами, а — групповое кольцо G.${\displaystyle H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

• Для алгебры A над полем k и A - бимодуля M когомологии Хохшильда определяются формулой

${\displaystyle HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M).}$

• Когомологии алгебры Ли определяются соотношением , где — алгебра Ли над коммутативным кольцом k , M — -модуль, а — универсальная обертывающая алгебра .${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$

• Для топологического пространства X когомологии пучков можно определить как Здесь Ext берется в абелевой категории пучков абелевых групп на X и представляет собой пучок локально постоянных -значных функций.${\displaystyle H^{*}(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A).}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Для коммутативного нётерова локального кольца R с полем вычетов k , является универсальной обертывающей алгеброй градуированной алгебры Ли π*( R ) над k , известной как гомотопическая алгебра Ли R . (Точнее, когда k имеет характеристику 2, π*( R ) следует рассматривать как «упорядоченную алгебру Ли». ^[13] ) Существует естественный гомоморфизм градуированных алгебр Ли из когомологий Андре–Квиллена D *( k / R , k ) в π*( R ), который является изоморфизмом, если k имеет характеристику ноль. ^[14]${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)}$

• глобальное измерение
• разрешение полосы
• Группа Гротендик
• Локальная двойственность Гротендика

• Аврамов, Лучезар (2010), «Бесконечные свободные резолюции», Шесть лекций по коммутативной алгебре , Биркхойзер , стр.  1– 108, doi :10.1007/978-3-0346-0329-4_1, ISBN 978-3-7643-5951-5, г-н  2641236
• Баер, Рейнхольд (1934), «Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen», Mathematische Zeitschrift , 38 (1): 375–416 , doi : 10.1007/BF01170643, Zbl  0009.01101
• Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1999) [1956], Гомологическая алгебра , Принстон: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2, МР  0077480
• Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1942), «Расширения групп и гомологии», Annals of Mathematics , 43 (4): 757–931 , doi :10.2307/1968966, JSTOR  1968966, MR  0007108
• Гельфанд Сергей Иванович; Манин, Юрий Иванович (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12492-5, ISBN 978-3-540-43583-9, МР  1950475
• Сьёдин, Гуннар (1980), «Алгебры Хопфа и дифференцирования», Journal of Algebra , 64 : 218–229 , doi : 10.1016/0021-8693(80)90143-X , MR  0575792
• Weibel, Charles A. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.
• Вайбель, Чарльз А. (1999), «История гомологической алгебры» (PDF) , История топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр.  797–836 , ISBN 9780444823755, г-н  1721123