Уравнение Vis-Viva

Часть серии статей о
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент перицентра Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Настоящая аномалия
Типы двухтельных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Транзитная орбита ( переходная орбита Хохмана) Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы движения планет Кеплера Период обращения Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-Viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
Орбиты N-тел Точки Лагранжа ( Гало-орбиты ) Орбиты Лиссажу Орбиты Ляпунова
Инжиниринг и эффективность
Предполетная инженерия Массовое отношение Доля полезной нагрузки Массовая доля топлива Уравнение ракеты Циолковского
Меры повышения эффективности Гравитационная помощь эффект Оберта
Пропульсивные маневры Орбитальный маневр Введение в орбиту
в т е

В астродинамике уравнение vis-viva , также называемое законом инвариантности орбитальной энергии ^{или формулой Бургаса [1] [} нужен лучший ^{источник} ] ^{, является} одним из уравнений, моделирующих движение орбитальных тел . Это прямой результат принципа сохранения механической энергии , который применяется, когда единственной силой, действующей на объект, является его собственный вес, который является гравитационной силой, определяемой произведением массы объекта и напряженности окружающего гравитационного поля .

Vis viva (лат. «живая сила») — термин из истории механики, сохранившийся только в этом контексте. Он представляет собой принцип, согласно которому разница между общей работой ускоряющих сил системыи работой замедляющих сил равна половине vis viva , накопленной или потерянной в системе за время выполнения работы.

Для любой кеплеровской орбиты ( эллиптической , параболической , гиперболической или радиальной ) уравнение vis-viva ^[2] выглядит следующим образом: ^[3] где:$${\displaystyle v^{2}=GM\left({2 \over r}-{1 \over a}\right)}$$

• v — относительная скорость двух тел
• r — расстояние между центрами масс двух тел
• a — длина большой полуоси ( a > 0 для эллипсов , a = ∞ или 1/ a = 0 для парабол и a < 0 для гипербол )
• G — гравитационная постоянная
• M — масса центрального тела

Произведение GM также можно выразить как стандартный гравитационный параметр, используя греческую букву μ .

В уравнении vis-viva масса m вращающегося тела (например, космического корабля) считается пренебрежимо малой по сравнению с массой M центрального тела (например, Земли). Центральное тело и вращающееся тело также часто называют первичным и частицей соответственно. В конкретных случаях эллиптической или круговой орбиты уравнение vis-viva может быть легко выведено из законов сохранения энергии и импульса.

Удельная полная энергия постоянна по всей орбите. Таким образом, используя индексы a и p для обозначения апогея (апогея) и перигея (перигея) соответственно,$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{a}}}={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$$

Перестановка,$${\displaystyle {\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {v_{p}^{2}}{2}}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$$

Вспоминая, что для эллиптической орбиты (и, следовательно, также круговой орбиты) векторы скорости и радиуса перпендикулярны в апоцентре и перицентре, сохранение момента импульса требует определенного момента импульса , таким образом :${\displaystyle h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}={\text{constant}}}$${\displaystyle v_{p}={\frac {r_{a}}{r_{p}}}v_{a}}$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {r_{a}^{2}}{r_{p}^{2}}}\right)v_{a}^{2}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}{r_{p}^{2}}}\right)v_{a}^{2}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$$

Выделяя кинетическую энергию в апоцентре и упрощая,$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}&=\left({\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}\right)\cdot {\frac {r_{p}^{2}}{r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}}\\{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}&=GM\left({\frac {r_{p}-r_{a}}{r_{a}r_{p}}}\right){\frac {r_{p}^{2}}{r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}}\\{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}&=GM{\frac {r_{p}}{r_{a}(r_{p}+r_{a})}}\end{aligned}}}$$

Из геометрии эллипса, где a — длина большой полуоси. Таким образом,${\displaystyle 2a=r_{p}+r_{a}}$$${\displaystyle {\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=GM{\frac {2a-r_{a}}{r_{a}(2a)}}=GM\left({\frac {1}{r_{a}}}-{\frac {1}{2a}}\right)={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{2a}}}$$

Подставим это в наше исходное выражение для удельной орбитальной энергии:$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{p}}}={\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{a}}}=-{\frac {GM}{2a}}}$$

Таким образом, и уравнение vis-viva может быть записано или${\displaystyle \varepsilon =-{\frac {GM}{2a}}}$$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}=-{\frac {GM}{2a}}}$$$${\displaystyle v^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}$$

Следовательно, сохраняющийся угловой момент L = mh можно вывести с помощью и , где a — большая полуось , а b — малая полуось эллиптической орбиты, следующим образом: и поочередно,${\displaystyle r_{a}+r_{p}=2a}$${\displaystyle r_{a}r_{p}=b^{2}}$$${\displaystyle v_{a}^{2}=GM\left({\frac {2}{r_{a}}}-{\frac {1}{a}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {2a-r_{a}}{r_{a}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {r_{p}}{r_{a}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {b}{r_{a}}}\right)^{2}}$$$${\displaystyle v_{p}^{2}=GM\left({\frac {2}{r_{p}}}-{\frac {1}{a}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {2a-r_{p}}{r_{p}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {r_{a}}{r_{p}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {b}{r_{p}}}\right)^{2}}$$

Следовательно, удельный момент импульса , и${\displaystyle h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}=b{\sqrt {\frac {GM}{a}}}}$

Полный угловой момент${\displaystyle L=mh=mb{\sqrt {\frac {GM}{a}}}}$

Учитывая общую массу и скаляры r и v в одной точке орбиты, можно вычислить:

• r и v в любой другой точке орбиты; ^{[примечания 1]} и
• удельная орбитальная энергия , позволяющая классифицировать объект, вращающийся по орбите вокруг более крупного объекта, как не имеющий достаточно энергии, чтобы оставаться на орбите, следовательно, являющийся « суборбитальным » (например, баллистическая ракета), имеющий достаточно энергии, чтобы быть «орбитальным», но без возможности завершить полный оборот по орбите в любом случае, поскольку он в конечном итоге сталкивается с другим телом, или имеющий достаточно энергии, чтобы прийти из бесконечности и/или уйти в нее (например, метеор).${\displaystyle \varepsilon \,\!}$

Формулу для скорости убегания можно получить из уравнения Vis-viva, взяв предел как приближающийся :${\displaystyle a}$${\displaystyle \infty }$$${\displaystyle v_{e}^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-0\right)\rightarrow v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}$$