Эллиптическая орбита

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Часть серии статей о
Астродинамика
Орбитальная механика
Орбитальные элементы Апсис Аргумент перицентра Эксцентриситет Наклон Средняя аномалия Орбитальные узлы Большая полуось Настоящая аномалия
Типы двухтельных орбит по эксцентриситету Круговая орбита Эллиптическая орбита Транзитная орбита ( переходная орбита Хохмана) Биэллиптическая переходная орбита ) Параболическая орбита Гиперболическая орбита Радиальная орбита Затухающая орбита
Уравнения Динамическое трение Скорость убегания Уравнение Кеплера Законы Кеплера о движении планет Период обращения Орбитальная скорость Поверхностная гравитация Удельная орбитальная энергия Уравнение Vis-Viva
Небесная механика
Гравитационные воздействия Барицентр Сфера холма Возмущения Сфера влияния
Орбиты N-тел Lagrangian points (Halo orbits) Lissajous orbits Lyapunov orbits
Engineering and efficiency
Preflight engineering Mass ratio Payload fraction Propellant mass fraction Tsiolkovsky rocket equation
Efficiency measures Gravity assist Oberth effect
Propulsive maneuvers Orbital maneuver Orbit insertion
v t e

В астродинамике или небесной механике эллиптическая орбита или эллиптическая орбита — это орбита Кеплера с эксцентриситетом менее 1; сюда входит частный случай круговой орбиты с эксцентриситетом, равным 0. В более строгом смысле это орбита Кеплера с эксцентриситетом больше 0 и меньше 1 (таким образом исключая круговую орбиту). В более широком смысле это орбита Кеплера с отрицательной энергией . Сюда входит радиальная эллиптическая орбита с эксцентриситетом, равным 1. Они часто используются во время различных астродинамических расчетов.

В гравитационной задаче двух тел с отрицательной энергией оба тела следуют по схожим эллиптическим орбитам с одинаковым орбитальным периодом вокруг их общего барицентра . Относительное положение одного тела по отношению к другому также следует эллиптической орбите.

Примерами эллиптических орбит являются переходные орбиты Гомана , орбиты Молнии и орбиты тундры .

При стандартных предположениях, не действуют никакие другие силы, кроме двух сферически симметричных тел и , ^[1] орбитальная скорость ( ) одного тела, движущегося по эллиптической орбите, может быть вычислена из уравнения vis-viva следующим образом: ^[2]${\displaystyle (m_{1})}$${\displaystyle (m_{2})}$${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

где:

• ${\displaystyle \mu \,}$— стандартный гравитационный параметр , часто выражаемый как случай, когда одно тело намного больше другого.${\displaystyle G(m_{1}+m_{2})}$${\displaystyle GM}$
• ${\displaystyle r\,}$— расстояние между движущимся по орбите телом и центром масс.
• ${\displaystyle a\,\!}$— длина большой полуоси .

Уравнение скорости для гиперболической траектории имеет либо , либо то же самое с условием, что в этом случае оно отрицательно.${\displaystyle (+{1 \over {a}})}$${\displaystyle (a)}$

При стандартных предположениях орбитальный период ( ) тела, движущегося по эллиптической орбите, можно вычислить как: ^[3]${\displaystyle T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu }}}}$

где:

• ${\displaystyle \mu }$— стандартный гравитационный параметр .
• ${\displaystyle a\,\!}$— длина большой полуоси .

Выводы:

• Орбитальный период равен периоду для круговой орбиты с орбитальным радиусом, равным большой полуоси ( ),${\displaystyle a\,\!}$
• Для заданной большой полуоси орбитальный период не зависит от эксцентриситета (см. также: Третий закон Кеплера ).

При стандартных предположениях удельная орбитальная энергия ( ) эллиптической орбиты отрицательна и уравнение сохранения орбитальной энергии ( уравнение Vis-viva ) для этой орбиты может иметь вид: ^[4]${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0}$

где:

• ${\displaystyle v\,}$- орбитальная скорость движущегося по орбите тела,
• ${\displaystyle r\,}$- расстояние орбитального тела от центрального тела ,
• ${\displaystyle a\,}$- длина большой полуоси ,
• ${\displaystyle \mu \,}$— стандартный гравитационный параметр .

Выводы:

• Для данной большой полуоси удельная орбитальная энергия не зависит от эксцентриситета.

Используя теорему вириала, находим:

• среднее по времени значение удельной потенциальной энергии равно −2ε
  • среднее по времени значение r ⁻¹ равно a ⁻¹
• среднее по времени значение удельной кинетической энергии равно ε

Может быть полезно знать энергию в терминах большой полуоси (и вовлеченных масс). Полная энергия орбиты определяется как

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{2a}}}$,

где а — большая полуось.

Поскольку гравитация является центральной силой, момент импульса постоянен:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {L} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times F(r)\mathbf {\hat {r}} =0}$

При максимальном и максимальном приближении момент импульса перпендикулярен расстоянию до вращающейся массы, поэтому:

${\displaystyle L=rp=rmv}$.

Полная энергия орбиты определяется выражением ^[5]

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}-G{\frac {Mm}{r}}}$.

Подставляя v, уравнение принимает вид

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}-G{\frac {Mm}{r}}}$.

Это справедливо для r, являющегося ближайшим/наиболее дальним расстоянием, поэтому составляются два одновременных уравнения, которые при решении относительно E:

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{r_{1}+r_{2}}}}$

Так как и , где эпсилон — эксцентриситет орбиты, то указанный результат достигается.${\textstyle r_{1}=a+a\epsilon }$${\displaystyle r_{2}=a-a\epsilon }$

Угол траектории полета — это угол между вектором скорости тела, движущегося по орбите (равным вектору касательной к мгновенной орбите) и локальной горизонталью. При стандартных предположениях о сохранении момента импульса угол траектории полета удовлетворяет уравнению: ^[6]${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle h\,=r\,v\,\cos \phi }$

где:

• ${\displaystyle h\,}$- удельный относительный момент импульса орбиты,
• ${\displaystyle v\,}$- орбитальная скорость движущегося по орбите тела,
• ${\displaystyle r\,}$- радиальное расстояние орбитального тела от центрального тела ,
• ${\displaystyle \phi \,}$угол траектории полета

${\displaystyle \psi }$- угол между вектором орбитальной скорости и большой полуосью. - локальная истинная аномалия . , следовательно,${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \phi =\nu +{\frac {\pi }{2}}-\psi }$

${\displaystyle \cos \phi =\sin(\psi -\nu )=\sin \psi \cos \nu -\cos \psi \sin \nu ={\frac {1+e\cos \nu }{\sqrt {1+e^{2}+2e\cos \nu }}}}$

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {e\sin \nu }{1+e\cos \nu }}}$

где эксцентриситет.${\displaystyle e}$

Угловой момент связан с векторным произведением положения и скорости, которое пропорционально синусу угла между этими двумя векторами. Здесь определяется как угол, который отличается на 90 градусов от этого, поэтому вместо синуса появляется косинус.${\displaystyle \phi }$

This section needs expansion. You can help by adding to it. (June 2008)

Уравнение орбиты определяет путь тела, вращающегося по орбите вокруг центрального тела относительно , ​​без указания положения как функции времени. Если эксцентриситет меньше 1, то уравнение движения описывает эллиптическую орбиту. Поскольку уравнение Кеплера не имеет общего замкнутого решения для эксцентрической аномалии (E) в терминах средней аномалии (M), уравнения движения как функции времени также не имеют замкнутого решения (хотя численные решения существуют для обоих).${\displaystyle m_{2}\,\!}$ ${\displaystyle m_{1}\,\!}$${\displaystyle m_{1}\,\!}$ ${\displaystyle M=E-e\sin E}$

Однако замкнутые уравнения пути эллиптической орбиты относительно центрального тела, не зависящие от времени, можно определить только по начальному положению ( ) и скорости ( ).${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

В этом случае удобно использовать следующие предположения, которые несколько отличаются от стандартных предположений, приведенных выше:

1. Центральное тело находится в начале координат и является главным фокусом ( ) эллипса (в качестве альтернативы можно использовать центр масс, если вращающееся тело имеет значительную массу).${\displaystyle \mathbf {F1} }$
2. Масса центрального тела (m1) известна.
3. Начальное положение ( ) и скорость ( ) тела, движущегося по орбите, известны.${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$
4. Эллипс лежит в плоскости XY.

Четвертое предположение можно сделать без потери общности, поскольку любые три точки (или вектора) должны лежать в общей плоскости. При этих предположениях второй фокус (иногда называемый «пустым» фокусом) также должен лежать в плоскости XY: .${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$

Общее уравнение эллипса при этих предположениях с использованием векторов имеет вид:

${\displaystyle |\mathbf {F2} -\mathbf {p} |+|\mathbf {p} |=2a\qquad \mid z=0}$

где:

• ${\displaystyle a\,\!}$— длина большой полуоси .
• ${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$второй («пустой») фокус.
• ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(x,y\right)}$любое значение (x,y), удовлетворяющее уравнению.

Длину большой полуоси (a) можно рассчитать как:

${\displaystyle a={\frac {\mu |\mathbf {r} |}{2\mu -|\mathbf {r} |\mathbf {v} ^{2}}}}$

где - стандартный гравитационный параметр .${\displaystyle \mu \ =Gm_{1}}$

Пустой фокус ( ) можно найти, предварительно определив вектор эксцентриситета :${\displaystyle \mathbf {F2} =\left(f_{x},f_{y}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}-{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {h} }{\mu }}}$

Где — удельный момент импульса вращающегося тела: ^[7]${\displaystyle \mathbf {h} }$

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$

Затем

${\displaystyle \mathbf {F2} =-2a\mathbf {e} }$

Это можно сделать в декартовых координатах, используя следующую процедуру:

Общее уравнение эллипса при сделанных выше предположениях имеет вид:

${\displaystyle {\sqrt {\left(f_{x}-x\right)^{2}+\left(f_{y}-y\right)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=2a\qquad \mid z=0}$

Данный:

${\displaystyle r_{x},r_{y}\quad }$начальные координаты положения

${\displaystyle v_{x},v_{y}\quad }$начальные координаты скорости

и

${\displaystyle \mu =Gm_{1}\quad }$гравитационный параметр

Затем:

${\displaystyle h=r_{x}v_{y}-r_{y}v_{x}\quad }$удельный угловой момент

${\displaystyle r={\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}}}\quad }$начальное расстояние от F1 (в начале координат)

${\displaystyle a={\frac {\mu r}{2\mu -r\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)}}\quad }$длина большой полуоси

${\displaystyle e_{x}={\frac {r_{x}}{r}}-{\frac {hv_{y}}{\mu }}\quad }$Координаты вектора эксцентриситета

${\displaystyle e_{y}={\frac {r_{y}}{r}}+{\frac {hv_{x}}{\mu }}\quad }$

Наконец, координаты пустого фокуса

${\displaystyle f_{x}=-2ae_{x}\quad }$

${\displaystyle f_{y}=-2ae_{y}\quad }$

Теперь полученные значения fx, fy и a можно применить к общему уравнению эллипса, приведенному выше.

Состояние орбитального тела в любой момент времени определяется положением и скоростью орбитального тела относительно центрального тела, которые могут быть представлены трехмерными декартовыми координатами (положение орбитального тела представлено x, y и z) и аналогичными декартовыми компонентами скорости орбитального тела. Этот набор из шести переменных вместе со временем называется векторами орбитального состояния . Учитывая массы двух тел, они определяют полную орбиту. Два наиболее общих случая с этими 6 степенями свободы — эллиптическая и гиперболическая орбита. Особые случаи с меньшим количеством степеней свободы — круговая и параболическая орбита.

Поскольку для полного представления эллиптической орбиты с этим набором параметров абсолютно необходимо не менее шести переменных, то для представления орбиты с любым набором параметров требуется шесть переменных. Другой набор из шести параметров, которые обычно используются, — это орбитальные элементы .

В Солнечной системе планеты , астероиды , большинство комет и некоторые части космического мусора имеют приблизительно эллиптические орбиты вокруг Солнца. Строго говоря, оба тела вращаются вокруг одного и того же фокуса эллипса, того, который ближе к более массивному телу , но когда одно тело значительно массивнее, например, Солнце по отношению к Земле, фокус может содержаться внутри большего массивного тела, и, таким образом, говорят, что меньшее вращается вокруг него. Следующая диаграмма перигелия и афелия планет , карликовых планет и кометы Галлея демонстрирует изменение эксцентриситета их эллиптических орбит. Для схожих расстояний от Солнца более широкие полосы обозначают больший эксцентриситет. Обратите внимание на почти нулевой эксцентриситет Земли и Венеры по сравнению с огромным эксцентриситетом кометы Галлея и Эриды .

Расстояния отдельных тел Солнечной системы от Солнца. Левый и правый края каждой полосы соответствуют перигелию и афелию тела, соответственно, поэтому длинные полосы обозначают высокий эксцентриситет орбиты . Радиус Солнца составляет 0,7 млн ​​км, а радиус Юпитера (крупнейшей планеты) — 0,07 млн ​​км, оба слишком малы, чтобы разрешить на этом изображении.

Радиальная траектория может быть двойным отрезком прямой , который является вырожденным эллипсом с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита. Применимо большинство свойств и формул эллиптических орбит. Однако орбита не может быть замкнутой. Это открытая орбита, соответствующая части вырожденного эллипса с момента соприкосновения тел и удаления друг от друга до их повторного соприкосновения. В случае точечных масс возможна одна полная орбита, начинающаяся и заканчивающаяся сингулярностью. Скорости в начале и конце бесконечны в противоположных направлениях, а потенциальная энергия равна минус бесконечности.

Радиальная эллиптическая траектория является решением задачи двух тел, имеющих в некоторый момент нулевую скорость, как в случае падения предмета (пренебрегая сопротивлением воздуха).

Вавилоняне первыми поняли, что движение Солнца по эклиптике неравномерно , хотя они и не знали, почему это так; сегодня известно, что это происходит из-за движения Земли по эллиптической орбите вокруг Солнца, причем Земля движется быстрее, когда она находится ближе к Солнцу в перигелии , и движется медленнее, когда она находится дальше в афелии . ^[8]

В XVII веке Иоганн Кеплер открыл, что орбиты, по которым планеты движутся вокруг Солнца, представляют собой эллипсы с Солнцем в одном из фокусов, и описал это в своем первом законе движения планет . Позднее Исаак Ньютон объяснил это как следствие своего закона всемирного тяготения .

• Апсис
• Характерная энергия
• Эллипс
• Список орбит
• Эксцентриситет орбиты
• Уравнение орбиты
• Параболическая траектория

• D'Eliseo, Maurizio M. (2007). «Орбитальное уравнение первого порядка». American Journal of Physics . 75 (4): 352–355. Bibcode : 2007AmJPh..75..352D. doi : 10.1119/1.2432126.
• D'Eliseo, Maurizio M.; Mironov, Sergey V. (2009). "Гравитационный эллипс". Журнал математической физики . 50 (2): 022901. arXiv : 0802.2435 . Bibcode : 2009JMP....50a2901M. doi : 10.1063/1.3078419.
• Кертис, Ховард Д. (2019). Орбитальная механика для студентов-инженеров (4-е изд.). Butterworth-Heinemann . ISBN 978-0-08-102133-0.

• Java-апплет, анимирующий орбиту спутника на эллиптической кеплеровской орбите вокруг Земли с любым значением большой полуоси и эксцентриситета.
• Апогей - Перигей Сравнение лунных фотографий
• Сравнение фотографий Солнца Афелия и Перигелия
• http://www.castor2.ca