Курносый двуклиновидный
Выпуклый многогранник с 12 треугольными гранями
Курносый двуклиновидный
ТипДельтаэдр
Джонсон
J 83 – J 84 – J 85
Лица12 треугольников
Края18
Вершины8
Конфигурация вершины 4 × ( 3 4 ) + 4 × ( 3 5 ) {\displaystyle 4\times (3^{4})+4\times (3^{5})}
Группа симметрии Д 2 г {\displaystyle D_{2\mathrm {d} }}
Двойной многогранникУдлиненный гиробифастигиум
Характеристикивыпуклый
Сеть

В геометрии плосконосый двуклиноид — это выпуклый многогранник с 12 равносторонними треугольниками в качестве граней . Это пример дельтаэдра и тела Джонсона . Его можно построить разными способами. Эту форму также называют сиамским додекаэдром , треугольным додекаэдром , тригональным додекаэдром или додекадельтаэдром .

Плосконосый двуклиноид можно визуализировать как кластер атомов , окружающий центральный атом, то есть додекаэдрическую молекулярную геометрию . Его вершины можно поместить в сферу, а также можно использовать как минимально возможный потенциал Леннарда-Джонса среди всех кластеров из восьми сфер. Двойственный многогранник плосконосого двуклиноида — удлиненный гиробифастигиум .

Строительство

Плосконосый двуклиноид может быть построен разными способами. Как следует из названия, плосконосый двуклиноид строится из тетрагонального двуклиноида путем отрезания всех ребер от его граней и добавления равносторонних треугольников (светло-голубые цвета на следующем изображении), которые скручены под определенным углом между ними. [ необходима цитата ] Этот процесс построения известен как снубификация . [1]

Процесс построения двуклиновидной курносой формы путем ее курносости

Плосконосый двуклиноид может быть также построен из треугольной бипирамиды, разрезав ее два ребра вдоль вершин. Эти вершины могут быть сдвинуты друг к другу, в результате чего новые две вершины будут отодвинуты. [2] В качестве альтернативы, плосконосый двуклиноид может быть построен из пятиугольной бипирамиды, разрезав два ребра вдоль того, что соединяет основание бипирамиды, а затем вставив два равносторонних треугольника между ними. [3] Другой способ построения плосконосого двуклиноида начинается с квадратной антипризмы , путем замены двух квадратных граней парами равносторонних треугольников. Другая конструкция плосконосого двуклиноида - это двуугольный гиробиантикупол . Он имеет ту же топологию и симметрию, но без равносторонних треугольников. Он имеет 4 вершины в квадрате на центральной плоскости в виде двух антикуполов, прикрепленных с вращательной симметрией.

Физическая модель плосконосого двуклиновидного треугольника может быть сформирована путем складывания развертки, образованной 12 равносторонними треугольниками ( 12-ромб ), показанной на рисунке. Альтернативная развертка, предложенная Джоном Монтроллом, имеет меньше вогнутых вершин на своей границе, что делает ее более удобной для построения оригами . [4]

Восемь вершин плосконосого двуклиновидного треугольника могут быть затем заданы декартовыми координатами : Здесь, — положительное действительное решение кубического многочлена . Три переменные , , и — выражение: [5] Поскольку эта конструкция включает решение кубического уравнения, плосконосый двуклиновидный треугольник нельзя построить с помощью циркуля и линейки , в отличие от других семи дельтаэдров. [2] ( ± т , г , 0 ) , ( 0 , − г , ± т ) , ( ± 1 , − с , 0 ) , ( 0 , с , ± 1 ) . {\displaystyle {\begin{align}(\pm t,r,0),&\qquad (0,-r,\pm t),\\(\pm 1,-s,0),&\qquad (0,s,\pm 1).\end{align}}} д ≈ 0,16902 {\displaystyle q\приблизительно 0,16902} 2 х 3 + 11 х 2 + 4 х − 1. {\textstyle 2x^{3}+11x^{2}+4x-1.} г {\displaystyle r} с {\displaystyle с} т {\displaystyle т} г = д ≈ 0,41112 , с = 1 − д 2 д ≈ 1.56786 , т = 2 г с = 2 − 2 д ≈ 1,28917. {\displaystyle r={\sqrt {q}}\approx 0,41112,\qquad s={\sqrt {\frac {1-q}{2q}}}\approx 1,56786,\qquad t=2rs={\sqrt {2-2q}}\approx 1,28917.}

Характеристики

В результате таких построений плосконосый двуклиноид имеет 12 равносторонних треугольников. Дельтаэдр — это многогранник, все грани которого являются равносторонними треугольниками. Существует восемь выпуклых дельтаэдров, один из которых — плосконосый двуклиноид. [6] В более общем смысле, выпуклые многогранники, все грани которых являются правильными многоугольниками, являются телами Джонсона , и каждый выпуклый дельтаэдр является телом Джонсона. Плосконосый двуклиноид входит в их число и обозначается как 84-е тело Джонсона . [7] Двойственный многогранник плосконосого двуклиноида — удлиненный гиробифастигиум . Дж. 84 {\displaystyle J_{84}}

Измерение

Плосконосый двуклиноид с длиной ребра имеет площадь поверхности: [8] площадь 12 равносторонних треугольников. Его объем можно вычислить по формуле: [8] а {\displaystyle а} А = 3 3 а 2 ≈ 5.19615 а 2 , {\displaystyle A=3{\sqrt {3}}a^{2}\approx 5.19615a^{2},} В ≈ 0,85949 а 3 . {\displaystyle V\приблизительно 0,85949a^{3}.}

Симметрия и геодезические

3D модель двуклиновидной кости курносого типа

Плосконосый двуклиноид имеет те же симметрии, что и тетрагональный двуклиноид , антипризматическая симметрия 8-го порядка: он имеет ось вращательной симметрии 180°, проходящую через середины двух его противоположных рёбер, две перпендикулярные плоскости симметрии отражения, проходящие через эту ось, и четыре дополнительные операции симметрии, заданные отражением, перпендикулярным оси, за которым следует четверть поворота и, возможно, ещё одно отражение, параллельное оси. [6] . Д 2 г {\displaystyle D_{2\mathrm {d} }}

С точностью до симметрий и параллельного переноса плосконосый двуклиноид имеет пять типов простых (несамопересекающихся) замкнутых геодезических . Это пути на поверхности многогранника, которые избегают вершин и локально выглядят как кратчайший путь: они следуют прямым отрезкам через каждую грань многогранника, которую они пересекают, и когда они пересекают ребро многогранника, они образуют дополнительные углы на двух инцидентных гранях к ребру. Интуитивно можно было бы растянуть резинку вокруг многогранника вдоль этого пути, и она останется на месте: нет никакого способа локально изменить путь и сделать его короче. Например, один тип геодезических пересекает два противоположных ребра плосконосого двуклиноида в их серединах (где ось симметрии выходит из многогранника) под углом . Второй тип геодезических проходит вблизи пересечения плосконосого двуклиноида с плоскостью, перпендикулярно делящей пополам ось симметрии (экватор многогранника ), пересекая ребра восьми треугольников под углами, которые чередуются между и . Сдвиг геодезической на поверхности многогранника на небольшую величину (достаточно малую, чтобы сдвиг не привел к пересечению каких-либо вершин) сохраняет свойство быть геодезической и сохраняет ее длину, поэтому оба этих примера имеют сдвинутые версии одного и того же типа, которые расположены менее симметрично. Длины пяти простых замкнутых геодезических на плосконосом двуклиноиде с ребрами единичной длины равны π / 3 {\displaystyle \пи /3} π / 2 {\displaystyle \пи /2} π / 6 {\displaystyle \пи /6}

2 3 ≈ 3.464 {\displaystyle 2{\sqrt {3}}\approx 3.464} (для экваториальной геодезической), , (для геодезической через середины противоположных рёбер), , и . 13 ≈ 3.606 {\displaystyle {\sqrt {13}}\approx 3.606} 4 {\displaystyle 4} 2 7 ≈ 5.292 {\displaystyle 2{\sqrt {7}}\приблизительно 5,292} 19 ≈ 4.359 {\displaystyle {\sqrt {19}}\approx 4.359}

За исключением тетраэдра, который имеет бесконечно много типов простых замкнутых геодезических, плосконосый двуклиноид имеет наибольшее количество типов геодезических среди всех дельтаэдров. [9]

Представление графом

Плосконосый двуклиноид является 4-связным , что означает, что для разъединения оставшихся вершин требуется удаление четырех вершин. Это один из четырех 4-связных симплициальных хорошо покрытых многогранников, что означает, что все максимальные независимые множества его вершин имеют одинаковый размер. Другие три многогранника с этим свойством — это правильный октаэдр , пентагональная бипирамида и неправильный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями. [10]

Приложения

При изучении вычислительной химии и молекулярной физики сферы, центрированные в вершинах плосконосого двуклиноида, образуют кластер, который, согласно численным экспериментам, имеет минимально возможный потенциал Леннарда-Джонса среди всех кластеров из восьми сфер. [5]

В геометрии химических соединений многогранник можно визуализировать как кластер атомов, окружающий центральный атом. Додекаэдрическая молекулярная геометрия описывает кластер, для которого он является плосконосым двуклиноидом. [11]

История и наименование

Название плосконосый двуклиноид происходит от классификации Джонсона (1966) тела Джонсона . [12] Однако это тело было впервые изучено Раузенбергером (1915). [13] [14] Оно было снова изучено в статье Фройденталя и ван д. Вардена (1947), которые впервые описали множество из восьми выпуклых дельтаэдров и назвали его сиамским додекаэдром . [15] [14]

Название додекадельтаэдр было дано той же форме Берналом (1964), ссылаясь на тот факт, что это 12-сторонний дельтаэдр. Существуют и другие симплициальные додекаэдры , такие как гексагональная бипирамида , но это единственный, который может быть реализован с равносторонними гранями. Бернал интересовался формами отверстий, остающихся в нерегулярных плотно упакованных расположениях сфер, поэтому он использовал ограничительное определение дельтаэдров, в котором дельтаэдр — это выпуклый многогранник с треугольными гранями, которые могут быть образованы центрами набора конгруэнтных сфер, чьи касания представляют собой ребра многогранника, и такой, что нет места для упаковки другой сферы внутри клетки, созданной этой системой сфер. Это ограничительное определение не допускает треугольную бипирамиду (как образующую два тетраэдрических отверстия, а не одно отверстие), пентагональную бипирамиду (потому что сферы для ее вершин взаимопроникают, поэтому она не может встречаться в упаковках сфер) и правильный икосаэдр (потому что у нее есть внутреннее пространство для другой сферы). Бернал пишет, что плосконосый дисфеноид является «очень распространенной координацией для иона кальция в кристаллографии ». [16] В координационной геометрии он обычно известен как тригональный додекаэдр или просто как додекаэдр. [2] [ необходима цитата ]

Ссылки

  1. ^ Холм, Одун (2010), Геометрия: наше культурное наследие, Springer, doi :10.1007/978-3-642-14441-7, ISBN 978-3-642-14441-7.
  2. ^ abc Hartshorne, Robin (2000), Геометрия: Евклид и далее, Тексты для бакалавриата по математике, Springer-Verlag, стр. 457, ISBN 9780387986500.
  3. ^ Тимофеенко, А.В. (2009), "Неплатоновы и неархимедовы несоставные многогранники", Журнал математических наук , 162 (5): 725, doi :10.1007/s10958-009-9655-0, S2CID  120114341.
  4. ^ Монтролл, Джон (2004), «Додекадельтаэдр», Созвездие оригами-многогранников , Серия Dover Origami Papercraft, Dover Publications, Inc., стр.  38–40 , ISBN 9780486439587.
  5. ^ ab Sloane, NJA ; Hardin, RH; Duff, TDS; Conway, JH (1995), "Кластеры твердых сфер с минимальной энергией", Discrete and Computational Geometry , 14 (3): 237–259 , doi : 10.1007/BF02570704 , MR  1344734.
  6. ^ ab Cundy, H. Martyn (1952), «Дельтаэдры», The Mathematical Gazette , 36 (318): 263– 266, doi :10.2307/3608204, JSTOR  3608204, MR  0051525, S2CID  250435684.
  7. ^ Фрэнсис, Даррил (август 2013 г.), «Твердые тела Джонсона и их аббревиатуры», Word Ways , 46 (3): 177
  8. ^ ab Берман, Мартин (1971), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Журнал Института Франклина , 291 (5): 329–352 , doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245.
  9. ^ Лоусон, Кайл А.; Пэриш, Джеймс Л.; Трауб, Синтия М.; Вейхаупт, Адам Г. (2013), «Раскраска графов для классификации простых замкнутых геодезических на выпуклых дельтаэдрах». (PDF) , Международный журнал чистой и прикладной математики , 89 (2): 123– 139, doi : 10.12732/ijpam.v89i2.1 , Zbl  1286.05048.
  10. ^ Финбоу, Артур С.; Хартнелл, Берт Л.; Новаковски, Ричард Дж.; Пламмер, Майкл Д. (2010), «О хорошо покрытых триангуляциях. III», Дискретная прикладная математика , 158 (8): 894–912 , doi : 10.1016/j.dam.2009.08.002 , MR  2602814.
  11. ^ Бердетт, Джереми К.; Хоффманн, Роальд; Фэй, Роберт К. (1978), «Восьмикоординационная связь», Неорганическая химия , 17 (9): 2553– 2568, doi :10.1021/ic50187a041.
  12. ^ Джонсон, Норман В. (1966), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Канадский журнал математики , 18 : 169–200 , doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR  0185507, S2CID  122006114, Zbl  0132.14603.
  13. ^ Раузенбергер, О. ( 1915 ), "Konvex pseudoreguläre Polyeder", Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht , 46 : 135–142.
  14. ^ ab Смит, Джеймс Т. (2000), Методы геометрии, John Wiley & Sons , стр. 420.
  15. ^ Фрейденталь, Х .; ван д. Варден, Б.Л. (1947), «Об утверждении Евклида», Саймон Стевин , 25 : 115–121 , MR  0021687.
  16. ^ Бернал, Дж. Д. (1964), «Бейкерианская лекция, 1962. Структура жидкостей», Труды Лондонского королевского общества , Серия A, Математические и физические науки, 280 (1382): 299– 322, Bibcode : 1964RSPSA.280..299B, doi : 10.1098/rspa.1964.0147, JSTOR  2415872, S2CID  178710030.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Snub_disphenoid&oldid=1266298524"