Регулярное кольцо фон Неймана

В математике регулярное кольцо фон Неймана — это кольцо R (ассоциативное, с 1, не обязательно коммутативное), такое что для каждого элемента a из R существует x из R с a = axa . Можно считать x «слабым обратным» элемента a; в общем случае x не определяется однозначно элементом a . Регулярные кольца фон Неймана также называются абсолютно плоскими кольцами , поскольку эти кольца характеризуются тем, что каждый левый R -модуль является плоским .

Регулярные кольца фон Неймана были введены фон Нейманом  (1936) под названием «регулярные кольца» в ходе его изучения алгебр фон Неймана и непрерывной геометрии . Регулярные кольца фон Неймана не следует путать с неродственными регулярными кольцами и регулярными локальными кольцами коммутативной алгебры .

Элемент a кольца называется регулярным элементом фон Неймана , если существует x, такой что a = axa . ^[1] Идеал называется регулярным идеалом (фон Неймана) , если для каждого элемента a из существует элемент x из такой, что a = axa . ^[2]${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$

Каждое поле (и каждое тело ) является регулярным по фон Нейману: для a ≠ 0 мы можем взять x = a ⁻¹ . ^[1] Целостная область является регулярной по фон Нейману тогда и только тогда, когда она является полем. Каждое прямое произведение регулярных по фон Нейману колец снова является регулярным по фон Нейману.

Другим важным классом примеров регулярных колец фон Неймана являются кольца M _n ( K ) квадратных матриц размера n на n с элементами из некоторого поля K . Если r — ранг A ∈ M _n ( K ) , гауссово исключение дает обратимые матрицы U и V такие, что

${\displaystyle A=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V}$

(где I _r — единичная матрица размером r на r ). Если мы положим X = V ⁻¹ U ⁻¹ , то

${\displaystyle AXA=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=A.}$

В более общем случае кольцо матриц n × n над любым регулярным кольцом фон Неймана снова является регулярным кольцом фон Неймана. ^[1]

Если V — векторное пространство над полем (или телом ) K , то кольцо эндоморфизмов End _K ( V ) является регулярным по фон Нейману, даже если V не является конечномерным. ^[3]

Обобщая приведенные выше примеры, предположим, что S — некоторое кольцо, а M — S -модуль , такой что каждый подмодуль M является прямым слагаемым M (такие модули M называются полупростыми ). Тогда кольцо эндоморфизмов End _S ( M ) является регулярным по фон Нейману. В частности, каждое полупростое кольцо является регулярным по фон Нейману. Действительно, полупростые кольца — это в точности нётеровы регулярные кольца фон Неймана.

Кольцо присоединенных операторов конечной алгебры фон Неймана является регулярным по фон Нейману.

Булево кольцо — это кольцо, в котором каждый элемент удовлетворяет условию a ² = a . Каждое булево кольцо является регулярным по фон Нейману.

Следующие утверждения эквивалентны для кольца R :

• R — регулярный фон Неймана
• каждый главный левый идеал порождается идемпотентным элементом
• каждый конечно порожденный левый идеал порождается идемпотентом
• каждый главный левый идеал является прямым слагаемым левого R -модуля R
• каждый конечно порождённый левый идеал является прямым слагаемым левого R -модуля R
• каждый конечно порождённый подмодуль проективного левого R -модуля P является прямым слагаемым P
• каждый левый R -модуль является плоским : это также известно как R, являющийся абсолютно плоским , или R, имеющий слабую размерность 0
• каждая короткая точная последовательность левых R -модулей является чисто точной .

Соответствующие утверждения для правых модулей также эквивалентны тому, что R является регулярным по фон Нейману.

Каждое регулярное кольцо фон Неймана имеет радикал Якобсона {0} и, таким образом, является полупримитивным (также называемым «полупростым Якобсоном»).

В коммутативном регулярном кольце фон Неймана для каждого элемента x существует единственный элемент y такой, что xyx = x и yxy = y , поэтому существует канонический способ выбора «слабого обратного» элемента x .

Следующие утверждения эквивалентны для коммутативного кольца R :

• R — регулярный по фон Нейману.
• R имеет размерность Крулла 0 и является сокращенным .
• Каждая локализация R в максимальном идеале является полем.
• R — подкольцо произведения полей, замкнутое относительно взятия «слабых обратных» элементов x ∈ R (единственного элемента y, такого что xyx = x и yxy = y ).
• R — V-образное кольцо . ^[4]
• R обладает свойством правого подъема относительно кольцевого гомоморфизма Z [ t ] → Z [ t ^± ] × Z, определяемого соотношением t ↦ ( t , 0) , или, выражаясь геометрически, каждая регулярная функция пропускается через морфизм схем . ^[5]${\textstyle \mathrm {Спец} (R)\to \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \{0\}\sqcup \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {A} ^{1}}$

Также эквивалентны следующие условия: для коммутативного кольца A

• R = A / nil( A ) является регулярным по фон Нейману.
• Спектр A является хаусдорфовым ( в топологии Зариского ) .
• Конструктивная топология и топология Зарисского для Spec( A ) совпадают.

В этом разделе не указаны источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены . ( Август 2023 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Специальные типы регулярных колец фон Неймана включают единичные регулярные кольца и строго регулярные кольца фон Неймана , а также кольца ранга .

Кольцо R называется единично регулярным, если для каждого a из R существует единица u из R такая, что a = aua . Каждое полупростое кольцо является единично регулярным, а единично регулярные кольца являются прямо конечными кольцами . Обычное фон Нейманово регулярное кольцо не обязано быть прямо конечным.

Кольцо R называется сильно регулярным по фон Нейману , если для каждого a из R существует некоторый x из R с a = aax . Условие симметрично слева направо. Сильно регулярные по фон Нейману кольца являются единично регулярными. Каждое сильно регулярное по фон Нейману кольцо является подпрямым произведением делений . В некотором смысле это более точно имитирует свойства коммутативных регулярных по фон Нейману колец, которые являются подпрямыми произведениями полей . Для коммутативных колец регулярные по фон Нейману и сильно регулярные по фон Нейману эквивалентны. В общем случае для кольца R эквивалентны следующие условия :

• R строго регулярен по фон Нейману
• R — регулярный и редуцированный по фон Нейману
• R является регулярным по фон Нейману и каждый идемпотент в R является центральным
• Каждый главный левый идеал R порождается центральным идемпотентом

Обобщения регулярных колец фон Неймана включают π -регулярные кольца, левые/правые полунаследственные кольца , левые/правые несингулярные кольца и полупримитивные кольца .

• Регулярная полугруппа
• Слабая обратная