Аффилированный оператор

В математике присоединенные операторы были введены Мюрреем и фон Нейманом в теории алгебр фон Неймана как метод использования неограниченных операторов для изучения модулей, порожденных одним вектором. Позднее Атья и Зингер показали, что теоремы об индексе для эллиптических операторов на замкнутых многообразиях с бесконечной фундаментальной группой могут быть естественным образом сформулированы в терминах неограниченных операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана группы. Алгебраические свойства присоединенных операторов оказались важными в когомологиях L ² , области между анализом и геометрией , которая развилась из изучения таких теорем об индексе.

Пусть M — алгебра фон Неймана, действующая в гильбертовом пространстве H. Замкнутый и плотно определенный оператор A называется присоединенным к M, если A коммутирует с каждым унитарным оператором U в коммутанте M. Эквивалентные условия таковы:

• каждый унитар U в M' должен оставлять инвариантным график A , определяемый формулой .${\displaystyle G(A)=\{(x,Ax):x\in D(A)\}\subseteq H\oplus H}$
• проекция на G ( A ) должна лежать в M ₂ ( M ).
• каждое унитарное U в M' должно переносить D ( A ), область определения A , на себя и удовлетворять там UAU* = A.
• каждый унитар U в M' должен коммутировать с обоими операторами в полярном разложении A.

Последнее условие следует из единственности полярного разложения. Если A имеет полярное разложение

${\displaystyle А=В|А|,\,}$

он говорит, что частичная изометрия V должна лежать в M и что положительный самосопряженный оператор |A| должен быть присоединен к M. Однако, по спектральной теореме , положительный самосопряженный оператор коммутирует с унитарным оператором тогда и только тогда, когда каждая из его спектральных проекций коммутирует. Это дает другое эквивалентное условие:${\displaystyle E([0,N])}$

• каждая спектральная проекция | A | и частичная изометрия в полярном разложении A лежит в M .

В общем случае операторы, присоединенные к алгебре фон Неймана M, не обязательно должны хорошо себя вести при сложении или композиции. Однако при наличии точного полуконечного нормального следа τ и стандартного действия Гельфанда–Наймарка–Сигала M на H  =  L ² ( M , τ) Эдвард Нельсон доказал, что измеримые присоединенные операторы действительно образуют *-алгебру с хорошими свойствами: это операторы, такие, что τ( I  −  E ([0, N ])) < ∞ для достаточно большого N. Эта алгебра неограниченных операторов является полной для естественной топологии, обобщая понятие сходимости по мере . Она содержит все некоммутативные пространства L ^{p ,} определяемые следом, и была введена для облегчения их изучения.

Эту теорию можно применять, когда алгебра фон Неймана M имеет тип I или тип II . Когда M  =  B ( H ), действующая ^на гильбертовом пространстве L ² ( H ) операторов Гильберта–Шмидта , она дает известную теорию некоммутативных пространств L ^p ( H ) , предложенную Шаттеном и фон Нейманом .

Когда M вдобавок является конечной алгеброй фон Неймана, например, фактором типа II ₁ , то каждый присоединенный оператор автоматически измерим, поэтому присоединенные операторы образуют *-алгебру , как первоначально наблюдалось в первой статье Мюррея и фон Неймана. В этом случае M является регулярным кольцом фон Неймана : для замыкания его образа |A| имеет измеримый обратный B , и тогда T  =  BV ^* определяет измеримый оператор с ATA  =  A. Конечно, в классическом случае, когда X является вероятностным пространством и M  =  L ^∞ ( X ), мы просто восстанавливаем *-алгебру измеримых функций на X .

Однако если M имеет тип III , теория принимает совершенно иную форму. Действительно, в этом случае, благодаря теории Томиты–Такесаки , известно, что некоммутативные пространства L ^p больше не реализуются операторами, связанными с алгеброй фон Неймана. Как показал Конн , эти пространства могут быть реализованы как неограниченные операторы только с использованием определенной положительной степени опорного модулярного оператора. Вместо того, чтобы характеризоваться простым отношением принадлежности UAU ^*  =  A , существует более сложное бимодульное отношение, включающее аналитическое продолжение группы модулярных автоморфизмов.

• А. Конн, Некоммутативная геометрия , ISBN  0-12-185860-X
• Дж. Диксмье, Алгебры фон Неймана , ISBN 0-444-86308-7 [Les algèbres d'operateurs dans l'espace hilbertien: алгебры фон Неймана, Готье-Вилларса (1957 и 1969)] 
• В. Люк, L ² -Инварианты: теория и приложения к геометрии и K-теории , (Глава 8: алгебра присоединенных операторов) ISBN 3-540-43566-2 
• Ф. Дж. Мюррей и Дж. фон Нейман, Кольца операторов , Annals of Mathematics 37 (1936), 116–229 (глава XVI).
• Э. Нельсон, Заметки о некоммутативном интегрировании , J. Funct. Anal. 15 (1974), 103–116.
• М. Такесаки, Теория операторных алгебр I, II, III , ISBN 3-540-42248-X ISBN 3-540-42914-X ISBN 3-540-42913-1