Чистый подмодуль

В математике , особенно в области теории модулей , понятие чистого подмодуля обеспечивает обобщение прямого слагаемого , типа особенно хорошо себя ведущей части модуля . Чистые модули являются дополнительными к плоским модулям и обобщают понятие чистых подгрупп Прюфера . В то время как плоские модули — это те модули, которые оставляют короткие точные последовательности точными после тензорного умножения , чистый подмодуль определяет короткую точную последовательность (известную как чистая точная последовательность ), которая остается точной после тензорного умножения с любым модулем. Аналогично плоский модуль является прямым пределом проективных модулей , а чистая точная последовательность является прямым пределом расщепляемых точных последовательностей .

Пусть R — кольцо (ассоциативное, с 1), M — (левый) модуль над R , P — подмодуль M и i : P → M — естественное инъективное отображение. Тогда P — чистый подмодуль M , если для любого (правого) R -модуля X естественное индуцированное отображение id X ⊗ i  : _X ⊗ P → X ⊗ M (где тензорные произведения берутся над R ) инъективно.

Аналогично, короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$

(левых) R -модулей является чисто точным , если последовательность остается точной при тензорном умножении на любой (правый) R -модуль X. Это эквивалентно утверждению, что f ( A ) является чистым подмодулем B .

Чистота подмодуля может быть также выражена поэлементно; это на самом деле утверждение о разрешимости определенных систем линейных уравнений. В частности, P является чистым в M тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: для любой матрицы m -на- n ( a _ij ) с записями в R и любого набора y ₁ , ..., y _m элементов P , если существуют элементы x ₁ , ..., x _n в M такие, что

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=y_{i}\qquad {\mbox{ для }}i=1,\ldots ,m}$

тогда также существуют элементы x ₁ ′, ..., x _n ′ в P такие, что

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x'_{j}=y_{i}\qquad {\mbox{ для }}i=1,\ldots ,m}$

Другая характеристика: последовательность является чисто точной тогда и только тогда, когда она является фильтрованным копределом (также известным как прямой предел ) разделенных точных последовательностей.

${\displaystyle 0\longrightarrow A_{i}\longrightarrow B_{i}\longrightarrow C_{i}\longrightarrow 0.}$^[1]

• Каждое прямое слагаемое M является чистым в M. Следовательно, каждое подпространство векторного пространства над полем является чистым .

Предположим ^[2]

${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$

— короткая точная последовательность R -модулей, тогда:

1. C является плоским модулем тогда и только тогда, когда точная последовательность является чисто точной для каждого A и B. Из этого мы можем вывести, что над регулярным кольцом фон Неймана каждый подмодуль каждого R -модуля является чистым . Это потому , что каждый модуль над регулярным кольцом фон Неймана является плоским. Обратное также верно. ^[3]
2. Предположим, что B плоский. Тогда последовательность является чисто точной тогда и только тогда, когда C плоский. Из этого можно вывести, что чистые подмодули плоских модулей являются плоскими.
3. Предположим, что C плоский. Тогда B плоский тогда и только тогда, когда A плоский.

Если является чисто точным, а F является конечно представленным R -модулем, то любой гомоморфизм из F в C может быть поднят до B , т.е. для каждого u  : F → C существует v  : F → B такой, что gv = u .${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$

• Фукс, Ласло (2015), Абелевы группы , Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 9783319194226

• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции о модулях и кольцах , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, г-н  1653294