Исходное поле

В теоретической физике источник — это абстрактное понятие, разработанное Джулианом Швингером , мотивированное физическими эффектами окружающих частиц, участвующих в создании или уничтожении другой частицы . ^[1] Таким образом, можно воспринимать источники как источник физических свойств, переносимых созданной или уничтоженной частицей, и, таким образом, можно использовать это понятие для изучения всех квантовых процессов, включая локализованные в пространстве-времени свойства и формы энергии, т. е. массу и импульс, явлений. Амплитуда вероятности созданной или распадающейся частицы определяется эффектом источника на локализованную область пространства-времени таким образом, что затронутая частица захватывает свою физику в зависимости от тензорной ^[2] и спинорной ^[3] природы источника. Примером, на который ссылался Джулиан Швингер, является создание мезона из-за корреляций масс между пятью мезонами. ^[4] .${\displaystyle \эта ^{*}}$${\displaystyle \пи}$

Та же идея может быть использована для определения исходных полей . Математически исходное поле — это фоновое поле, связанное с исходным полем как${\displaystyle J}$${\displaystyle \фи}$

${\displaystyle S_{\text{source}}=J\phi }$.

Этот член появляется в действии в формулировке интеграла по траектории Ричарда Фейнмана и отвечает за взаимодействия теории. В реакции столкновения источником могут быть другие частицы в столкновении. ^[5] Таким образом, источник появляется в вакуумной амплитуде, действующей с обеих сторон на коррелятор функции Грина теории. ^[1]

Теория источника Швингера вытекает из квантового принципа действия Швингера и может быть связана с формулировкой интеграла по траектории, поскольку вариация относительно источника как такового соответствует полю , т.е. ^[6]${\displaystyle \delta J}$${\displaystyle \фи}$

${\displaystyle \delta J=\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i\int dt~J(t)\phi (t)}}$.

Также источник действует эффективно ^[7] в области пространства-времени. Как видно из примеров ниже, поле источника появляется в правой части уравнений движения (обычно уравнений в частных производных второго порядка ) для . Когда поле является электромагнитным потенциалом или метрическим тензором , поле источника является электрическим током или тензором энергии-импульса , соответственно. ^{[8] [9]}${\displaystyle \фи}$${\displaystyle \фи}$

С точки зрения статистических и нерелятивистских приложений формулировка источника Швингера играет решающую роль в понимании многих неравновесных систем. ^{[10] [11]} Теория источника имеет теоретическое значение, поскольку она не нуждается ни в регуляризации расхождения, ни в перенормировке. ^[5]

В формулировке интеграла по траекториям Фейнмана с нормализацией , функция распределения ^[12]${\displaystyle {\mathcal {N}}\equiv Z[J=0]}$

${\displaystyle Z[J]={\mathcal {N}}\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i\int dt~[{\mathcal {L}}(t;\phi , {\dot {\phi }})+J(t)\phi (t)]}}$

генерирует функции Грина ( корреляторы )

${\displaystyle G(t_{1},\cdots ,t_{N})=(-i)^{N}{\frac {\delta ^{N}Z[J]}{\delta J(t_{1})\cdots \delta J(t_{N})}}{\Bigg |}_{J=0}}$.

Один реализует квантовую вариационную методологию, чтобы понять, что является внешним источником возбуждения . С точки зрения теории вероятностей, можно рассматривать как ожидаемое значение функции . Это мотивирует рассматривать гамильтониан вынужденного гармонического осциллятора как игрушечную модель${\displaystyle J}$${\displaystyle \фи}$${\displaystyle Z[J]}$${\displaystyle e^{J\phi}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=E{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{\sqrt {2E}}}(J{\hat {a}}^{\dagger }+J^{*}a)}$где .${\displaystyle E^{2}=m^{2}+{\vec {p}}^{2}}$

На самом деле ток действителен, то есть . ^[13] А лагранжиан равен . С этого момента мы опускаем шляпу и звездочку. Помните, что каноническое квантование утверждает . В свете связи между статистической суммой и ее корреляторами изменение амплитуды вакуума дает${\displaystyle J=J^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\hat {a}}^{\dagger }\partial _{0}({\hat {a}})-{\mathcal {H}}}$${\displaystyle \фи \сим (а^{\dagger}+а)}$

${\displaystyle \delta _{J}\langle 0,x'_{0}|0,x''_{0}\rangle _{J}=i{\Big \langle }0,x'_{0}{\Big |}\int _{x''_{0}}^{x'_{0}}dx_{0}~\delta J{\Big (}a^{\dagger }+a{\Big )}{\Big |}0,x''_{0}~{\Big \rangle }_{J}}$, где .${\displaystyle x_{0}'>x_{0}>x_{0}''}$

Поскольку интеграл находится во временной области, его можно преобразовать Фурье вместе с операторами рождения/уничтожения, так что амплитуда в конечном итоге станет ^[6]

${\displaystyle \langle 0,x'_{0}|0,x''_{0}\rangle _{J}=\exp {{\Big [}{\frac {i}{2\pi }}\int df~J(f){\frac {1}{f-E}}J(-f){\Big ]}}}$.

Легко заметить, что существует сингулярность при . Тогда мы можем воспользоваться -предписанием и сместить полюс так, чтобы для функции Грина обнаружилась${\displaystyle f=E}$${\displaystyle i\epsilon }$${\displaystyle f-E+i\epsilon }$${\displaystyle x_{0}>x_{0}'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{J}&=\exp {{\Big [}{\frac {i}{2}}\int dx_{0}~dx'_{0}J(x_{0})\Delta (x_{0}-x'_{0})J(x'_{0}){\Big ]}}\\&\Delta (x_{0}-x'_{0})=\int {\frac {df}{2\pi }}{\frac {e^{-if(x_{0}-x'_{0})}}{f-E+i\epsilon }}\end{aligned}}}$

Последний результат представляет собой теорию источника Швингера для взаимодействующих скалярных полей и может быть обобщен на любые области пространства-времени. ^[7] Обсуждаемые ниже примеры следуют метрике .${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)}$

Теория причинных возмущений объясняет, как источники действуют слабо. Для слабого источника, испускающего частицы со спином 0 , действуя на состояние вакуума с амплитудой вероятности , в определенной области пространства-времени создается одна частица с импульсом и амплитудой . Затем другой слабый источник поглощает эту одну частицу в другой области пространства-времени таким образом, что амплитуда становится . ^[5] Таким образом, полная амплитуда вакуума определяется как${\displaystyle J_{e}}$${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J_{e}}\sim 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \langle p|0\rangle _{J_{e}}}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle J_{a}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \langle 0|p\rangle _{J_{a}}}$

${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J_{e}+J_{a}}\sim 1+{\frac {i}{2}}\int dx~dx'J_{a}(x)\Delta (x-x')J_{e}(x')}$

где - пропагатор (коррелятор) источников. Второй член последней амплитуды определяет функцию распределения свободного скалярного поля . А для некоторой теории взаимодействия лагранжиан скалярного поля, связанного с током, задается как ^[14]${\displaystyle \Delta (x-x')}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle J}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+J\phi .}$

Если добавить к массовому члену, то Фурье преобразует и то , и другое в импульсное пространство, вакуумная амплитуда становится${\displaystyle -i\epsilon }$${\displaystyle J}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \langle 0|0\rangle =\exp {\left({\frac {i}{2}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\left[{\tilde {\phi }}(p)(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon ){\tilde {\phi }}(-p)+J(p){\frac {1}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}J(-p)\right]\right)}}$,

где Легко заметить, что член в амплитуде выше может быть преобразован Фурье к , т.е. .${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)=\phi (p)+{\frac {J(p)}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}.}$${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon ){\tilde {\phi }}(-p)}$${\displaystyle {\tilde {\phi }}(x)(\Box +m^{2}){\tilde {\phi }}(x)={\tilde {\phi }}(x)J(x)}$${\displaystyle (\Box +m^{2}){\tilde {\phi }}=J}$

Таким образом, производящий функционал получается из функции распределения следующим образом. ^[8] Последний результат позволяет нам прочитать функцию распределения как

${\displaystyle Z[J]=Z[0]e^{{\frac {i}{2}}\langle J(y)\Delta (y-y')J(y')\rangle }}$, где , а — вакуумная амплитуда, полученная источником . Следовательно, пропагатор определяется путем изменения статистической суммы следующим образом.${\displaystyle Z[0]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}~e^{-i\int dt~[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }{\tilde {\phi }}\partial ^{\mu }{\tilde {\phi }}-{\frac {1}{2}}(m^{2}-i\epsilon ){\tilde {\phi }}^{2}]}}$${\displaystyle \langle J(y)\Delta (y-y')J(y')\rangle }$${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {-1}{Z[0]}}{\frac {\delta ^{2}Z[J]}{\delta J(x)\delta J(x')}}{\Bigg \vert }_{J=0}&={\frac {-1}{2Z[0]}}{\frac {\delta }{\delta J(x)}}{\Bigg \{}Z[J]\left(\int d^{4}y'\Delta (x'-y')J(y')+\int d^{4}yJ(y)\Delta (y-x')\right){\Bigg \}}{\Bigg \vert }_{J=0}={\frac {Z[J]}{Z[0]}}\Delta (x-x'){\Bigg \vert }_{J=0}\\\quad \\&=\Delta (x-x').\end{aligned}}}$Это мотивирует обсуждение приближения среднего поля ниже.

Основываясь на теории источника Швингера, Стивен Вайнберг заложил основы эффективной теории поля, которая широко ценится среди физиков. Несмотря на « инцидент с туфлями », Вайнберг отдал должное Швингеру за то, что он стал катализатором этой теоретической структуры. ^[15]

Все функции Грина могут быть формально найдены с помощью разложения Тейлора суммы распределения , рассматриваемой как функция исходных полей. Этот метод обычно используется в формулировке интеграла по траектории квантовой теории поля . Общий метод, с помощью которого такие исходные поля используются для получения пропагаторов как в квантовой, так и в статистической механике и других системах, излагается следующим образом. После переопределения функции распределения в терминах амплитуды , повернутой по Вику , функция распределения становится . Можно ввести , которая ведет себя как свободная энергия Гельмгольца в тепловых теориях поля , ^[16] чтобы поглотить комплексное число, и, следовательно , . Функция также называется приведенным квантовым действием . ^[17] И с помощью преобразования Лежандра мы можем изобрести «новый» эффективный функционал энергии , ^[18] или эффективное действие , как${\displaystyle W[J]=-i\ln(\langle 0|0\rangle _{J})}$${\displaystyle Z[J]=e^{iW[J]}}$${\displaystyle F[J]=iW[J]}$${\displaystyle \ln Z[J]=F[J]}$${\displaystyle F[J]}$

${\displaystyle \Gamma [{\bar {\phi }}]=W[J]-\int d^{4}xJ(x){\bar {\phi }}(x)}$, с преобразованиями ^[19] ${\displaystyle {\frac {\delta W}{\delta J}}={\bar {\phi }}~,~{\frac {\delta W}{\delta J}}{\Bigg |}_{J=0}=\langle \phi \rangle ~,~{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}{\Bigg |}_{J}=-J~,~{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}{\Bigg |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }=0.}$

Интеграцию в определении эффективного действия разрешается заменить суммой по , т.е. . ^[20] Последнее уравнение напоминает термодинамическое соотношение между свободной энергией Гельмгольца и энтропией. Теперь ясно, что тепловые и статистические теории поля в своей основе исходят из функциональных интеграций и функциональных производных . Возвращаясь к преобразованиям Лежандра,${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \Gamma [{\bar {\phi }}]=W[J]-J_{a}(x){\bar {\phi }}^{a}(x)}$${\displaystyle F=E-TS}$

Называется средним полем, очевидно , потому что , в то время как является фоновым классическим полем . ^[17] Поле разлагается на классическую часть и флуктуационную часть , т.е. , поэтому амплитуду вакуума можно повторно ввести как${\displaystyle \langle \phi \rangle }$${\displaystyle \langle \phi \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i\int dt~[{\mathcal {L}}(t;\phi ,{\dot {\phi }})+J(t)\phi (t)]}~\phi ~}{Z[J]/{\mathcal {N}}}}}$${\displaystyle {\bar {\phi }}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\bar {\phi }}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}+\eta }$

${\displaystyle e^{i\Gamma [{\bar {\phi }}]}={\mathcal {N}}\int \exp {{\Bigg \{}i{\Big [}S[\phi ]-{\Big (}{\frac {\delta }{\delta {\bar {\phi }}}}\Gamma [{\bar {\phi }}]{\Big )}\eta {\Big ]}}{\Bigg \}}~d\phi }$,

и любая функция определяется как${\displaystyle {\mathcal {F}}[\phi ]}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}[\phi ]\rangle =e^{-i\Gamma [{\bar {\phi }}]}~{\mathcal {N}}\int {\mathcal {F}}[\phi ]~\exp {{\Bigg \{}i{\Big [}S[\phi ]-{\Big (}{\frac {\delta }{\delta {\bar {\phi }}}}\Gamma [{\bar {\phi }}]{\Big )}\eta {\Big ]}}{\Bigg \}}~d\phi }$,

где — действие свободного лагранжиана. Последние два интеграла являются столпами любой эффективной теории поля. ^[20] Эта конструкция незаменима при изучении рассеяния ( формула редукции LSZ ), спонтанного нарушения симметрии , ^{[21] [22]} тождеств Уорда , нелинейных сигма-моделей и низкоэнергетических эффективных теорий . ^[16] Кроме того, эта теоретическая структура инициирует линию мыслей, опубликованную в основном Брайсом ДеВиттом , который был аспирантом Швингера, о разработке канонической квантованной эффективной теории для квантовой гравитации. ^[23]${\displaystyle S[\phi ]}$

Вернемся к функциям Грина действий. Поскольку — преобразование Лежандра , и определяет N-точечный связанный коррелятор , то соответствующий коррелятор, полученный из , известный как вершинная функция , задается как . Следовательно, в одночастичных неприводимых графах (обычно обозначаемых как 1PI ), связанный 2-точечный -коррелятор определяется как обратный 2-точечному -коррелятору, т.е. обычная приведенная корреляция равна , а эффективная корреляция равна . Для наиболее общие соотношения между N-точечными связанными и являются${\displaystyle \Gamma [{\bar {\phi }}]}$${\displaystyle F[J]}$${\displaystyle F[J]}$${\displaystyle G_{F[J]}^{N,~c}={\frac {\delta F[J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{N})}}{\Big |}_{J=0}}$${\displaystyle F[J]}$${\displaystyle G_{\Gamma [J]}^{N,~c}={\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}(x_{1})\cdots \delta {\bar {\phi }}(x_{N})}}{\Big |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G_{F[J]}^{(2)}={\frac {\delta {\bar {\phi }}(x_{1})}{\delta J(x_{2})}}{\Big |}_{J=0}={\frac {1}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}}}}$${\displaystyle G_{\Gamma [\phi ]}^{(2)}={\frac {\delta J(x_{1})}{\delta {\bar {\phi }}(x_{2})}}{\Big |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }=p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}}$${\displaystyle J_{i}=J(x_{i})}$${\displaystyle F[J]}$${\displaystyle Z[J]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta ^{N}F}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}=&{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{N}Z[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}-{\Big \{}{\frac {1}{Z^{2}[J]}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta ^{N-1}Z[J]}{\delta J_{2}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\big \{}{\frac {1}{Z^{3}[J]}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}Z[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \\&-{\Big \{}{\frac {1}{Z^{2}[J]}}{\frac {\delta ^{2}Z[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}Z[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {1}{Z^{3}[J]}}{\frac {\delta ^{3}Z[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}\delta J_{3}}}{\frac {\delta ^{N-3}Z[J]}{\delta J_{4}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}-\cdots \end{aligned}}}$и

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{N}Z[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}=&{\frac {\delta ^{N}F[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}+{\Big \{}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta ^{N-1}F[J]}{\delta J_{2}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}F[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \\&+{\Big \{}{\frac {\delta ^{2}F[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}F[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {\delta ^{3}F[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}\delta J_{3}}}{\frac {\delta ^{N-3}F[J]}{\delta J_{4}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \end{aligned}}}$

Для слабого источника, создающего летучую частицу со спином 1 с общим током, действующим на различные причинные точки пространства-времени , амплитуда вакуума равна${\displaystyle J=J_{e}+J_{a}}$${\displaystyle x_{0}>x_{0}'}$

${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J}=\exp {\left({\frac {i}{2}}\int dx~dx'\left[J_{\mu }(x)\Delta (x-x')J^{\mu }(x')+{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }J^{\mu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\nu }J^{\nu }(x')\right]\right)}}$

В импульсном пространстве частица со спином 1 и массой покоя имеет определенный импульс в своей системе покоя, т.е. Тогда амплитуда дает ^[5]${\displaystyle m}$${\displaystyle p_{\mu }=(m,0,0,0)}$${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=m^{2}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(J_{\mu }(p))^{T}~J^{\mu }(p)-{\frac {1}{m^{2}}}(p_{\mu }J^{\mu }(p))^{T}~p_{\nu }J^{\nu }(p)&=(J_{\mu }(p))^{T}~J^{\mu }(p)-(J^{\mu }(p))^{T}~{\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{p_{\sigma }p^{\sigma }}}{\Big |}_{on-shell}~J^{\nu }(p)\\&=(J^{\mu }(p))^{T}~\left[\eta _{\mu \nu }-{\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{m^{2}}}\right]~J^{\nu }(p)\end{alignedat}}}$

где и является транспонированием . Последний результат совпадает с использованным пропагатором в вакуумной амплитуде в конфигурационном пространстве, то есть,${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)}$${\displaystyle (J_{\mu }(p))^{T}}$${\displaystyle J_{\mu }(p)}$

${\displaystyle \langle 0|TA_{\mu }(x)A_{\nu }(x')|0\rangle =-i\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{p_{\alpha }p^{\alpha }+i\epsilon }}\left[\eta _{\mu \nu }-(1-\xi ){\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{p_{\sigma }p^{\sigma }-\xi m^{2}}}\right]e^{ip^{\mu }(x_{\mu }-x'_{\mu })}}$.

Когда , выбранная калибровка Фейнмана-'т Хоофта делает спин-1 безмассовым. А когда , выбранная калибровка Ландау делает спин-1 массивным. ^[24] Безмассовый случай очевиден, как изучено в квантовой электродинамике . Массивный случай более интересен, поскольку ток не требуется сохранять. Однако ток можно улучшить способом, аналогичным тому, как улучшается тензор Белинфанте-Розенфельда, так что он в конечном итоге сохраняется. И чтобы получить уравнение движения для массивного вектора, можно определить ^[5]${\displaystyle \xi =1}$${\displaystyle \xi =0}$

${\displaystyle W[J]=-i\ln(\langle 0|0\rangle _{J})={\frac {1}{2}}\int dx~dx'\left[J_{\mu }(x)\Delta (x-x')J^{\mu }(x')+{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }J^{\mu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\nu }J^{\nu }(x')\right].}$

Можно применить интегрирование по частям ко второму члену, а затем выделить его, чтобы получить определение массивного поля спина 1.${\displaystyle \int dxJ_{\mu }(x)}$

${\displaystyle A_{\mu }(x)\equiv \int dx'\Delta (x-x')J^{\mu }(x')-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\left[\int dx'\Delta (x-x')\partial '_{\nu }J^{\nu }(x')\right].}$

Кроме того, уравнение выше говорит, что . Таким образом, уравнение движения можно записать в любой из следующих форм${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=(1/m^{2})\partial _{\mu }J^{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\Box +m^{2})A_{\mu }=J_{\mu }+{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\nu }\partial _{\mu }J^{\nu },\\(\Box +m^{2})A_{\mu }+\partial _{\nu }\partial _{\mu }A^{\nu }=J_{\mu }.\end{aligned}}}$

Для слабого источника на плоском фоне Минковского , создающего и затем поглощающего летящую частицу со спином 2 с общим переопределенным тензором энергии-импульса , действующую как ток, , где - тензор поляризации вакуума , амплитуда вакуума в компактной форме равна ^[5]${\displaystyle {\bar {T}}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}\eta _{\mu \alpha }{\bar {\eta }}_{\nu \beta }T^{\alpha \beta }}$${\displaystyle {\bar {\eta }}_{\mu \nu }(p)=(\eta _{\mu \nu }-{\frac {1}{m^{2}}}p_{\mu }p_{\nu })}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{\bar {T}}=\exp {\Big (}-{\frac {i}{2}}\int {\Big [}{\bar {T}}_{\mu \nu }(x)\Delta (x-x'){\bar {T}}^{\mu \nu }(x')&+{\frac {2}{m^{2}}}\eta _{\lambda \nu }\partial _{\mu }{\bar {T}}^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }{\bar {T}}^{\kappa \lambda }(x')\\&+{\frac {1}{m^{4}}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\bar {T}}^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }{\bar {T}}^{\kappa \lambda }(x'){\Big ]}dx~dx'{\Big )},\end{aligned}}}$

или

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{T}=\exp {\Bigg (}-{\frac {i}{2}}\int &{\Bigg [}T_{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')T^{\mu \nu }(x')+{\frac {2}{m^{2}}}\eta _{\lambda \nu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }T^{\kappa \lambda }(x')\\&+{\frac {1}{m^{4}}}\partial _{\mu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')\\&-{\frac {1}{3}}\left(\eta _{\mu \nu }T^{\mu \nu }(x)-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }T^{\mu \nu }(x)\right)\Delta (x-x')\left(\eta _{\kappa \lambda }T^{\kappa \lambda }(x')-{\frac {1}{m^{2}}}\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')\right){\Bigg ]}dx~dx'{\Bigg )}.\end{aligned}}}$

Эта амплитуда в импульсном пространстве дает (транспонирование вложено)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\mu \kappa }p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)\\&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }p^{\mu }p^{\kappa }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)+{\frac {1}{m^{4}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\mu }p^{\nu }p^{\kappa }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)=\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta ^{\mu \kappa }{\Big (}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p){\Big )}\\&-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\mu }p^{\kappa }{\Big (}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p){\Big )}=\\{\Big (}\eta ^{\mu \kappa }-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\mu }p^{\kappa }{\Big )}{\Big (}&{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p){\Big )}=\\&{\bar {T}}_{\mu \nu }(p){\Big (}\eta ^{\mu \kappa }-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\mu }p^{\kappa }{\Big )}{\Big (}\eta ^{\nu \lambda }-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\nu }p^{\lambda }{\Big )}{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p).\end{aligned}}}$

А с помощью симметричных свойств источника последний результат можно записать как , где оператор проекции, или преобразование Фурье оператора поля Якоби, полученное применением скобки Пайерлса к вариационному принципу Швингера , ^[25] равно .${\displaystyle T^{\mu \nu }(p)\Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }(p)T^{\kappa \lambda }(p)}$${\displaystyle \Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }(p)={\frac {1}{2}}{\Big (}{\bar {\eta }}_{\mu \kappa }(p){\bar {\eta }}_{\nu \lambda }(p)+{\bar {\eta }}_{\mu \lambda }(p){\bar {\eta }}_{\nu \kappa }(p)-{\frac {2}{3}}{\bar {\eta }}_{\mu \nu }(p){\bar {\eta }}_{\kappa \lambda }(p){\Big )}}$

В N-мерном плоском пространстве-времени 2/3 заменяется на 2/(N-1). ^[26] А для безмассовых полей спина 2 оператор проекции определяется как ^[5] .${\displaystyle \Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }^{m=0}={\frac {1}{2}}{\Big (}\eta _{\mu \kappa }\eta _{\nu \lambda }+\eta _{\mu \lambda }\eta _{\nu \kappa }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\eta _{\kappa \lambda }{\Big )}}$

Вместе с тождеством Уорда-Такахаши оператор проектора имеет решающее значение для проверки симметричных свойств поля, закона сохранения тока и разрешенных физических степеней свободы.

Стоит отметить, что тензор поляризации вакуума и улучшенный тензор энергии-импульса появляются в ранних версиях теорий массивной гравитации . ^{[27] [28]} Интересно, что теории массивной гравитации не были широко оценены до недавнего времени из-за очевидных несоответствий, полученных в исследованиях начала 1970-х годов по обмену одним полем спина 2 между двумя источниками. Но в 2010 году подход dRGT ^[29] использования переопределения поля Штюкельберга привел к последовательной ковариантизированной массивной теории, свободной от всех призраков и разрывов, полученных ранее.${\displaystyle {\bar {\eta }}_{\nu \beta }}$${\displaystyle {\bar {T}}^{\mu \nu }}$

Если рассмотреть и следовать той же процедуре, которая использовалась для определения массивных полей спина 1, то легко определить массивные поля спина 2 как${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{T}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mu \nu }(x)&=\int \Delta (x-x')T^{\mu \nu }(x')dx'-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\int \Delta (x-x')\partial '^{\kappa }T_{\kappa \nu }(x')dx'-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\nu }\int \Delta (x-x')\partial '^{\kappa }T_{\kappa \mu }(x')dx'\\&+{\frac {1}{m^{4}}}\partial _{\mu }\partial _{\mu }\int \Delta (x-x')\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')dx'\\&-{\frac {1}{3}}\left(\eta _{\mu \nu }-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\partial _{\mu }\right)\int \Delta (x-x')\left[\eta _{\kappa \lambda }T^{\kappa \lambda }(x')-{\frac {1}{m^{2}}}\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')\right]dx'.\end{aligned}}}$

Соответствующее условие дивергенции читается как , где ток не обязательно сохраняется (это не калибровочное условие, как в случае безмассового случая). Но тензор энергии-импульса может быть улучшен таким образом, что согласно конструкции Белинфанте-Розенфельда . Таким образом, уравнение движения${\displaystyle \partial ^{\mu }h_{\mu \nu }-\partial _{\nu }h={\frac {1}{m^{2}}}\partial ^{\mu }T_{\mu \nu }}$${\displaystyle \partial ^{\mu }T_{\mu \nu }}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\mu \nu }=T_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}\eta _{\mu \nu }{\mathfrak {T}}}$${\displaystyle \partial ^{\mu }{\mathfrak {T}}_{\mu \nu }=0}$

${\displaystyle \left(\square +m^{2}\right)h_{\mu \nu }=T_{\mu \nu }+{\dfrac {1}{m^{2}}}\left(\partial _{\mu }\partial ^{\rho }T_{\rho \nu }+\partial _{\nu }\partial ^{\rho }T_{\rho \mu }-{\frac {1}{2}}~\eta _{\mu \nu }\partial ^{\rho }\partial ^{\sigma }T_{\rho \sigma }\right)+{\frac {2}{3m^{4}}}\left(\partial _{\mu }\partial _{\nu }-{\frac {1}{4}}~\eta _{\mu \nu }\square \right)\partial ^{\rho }\partial ^{\sigma }T_{\rho \sigma }}$

становится

${\displaystyle \left(\square +m^{2}\right)h_{\mu \nu }={\mathfrak {T}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}~\eta _{\mu \nu }{\mathfrak {T}}-{\dfrac {1}{6m^{4}}}\left(\partial _{\mu }\partial _{\nu }-{\frac {1}{4}}~\eta _{\mu \nu }\square \right)\left(\square +3m^{2}\right){\mathfrak {T}}.}$

Можно использовать условие дивергенции, чтобы разделить нефизические поля и , поэтому уравнение движения упрощается как ^[30]${\displaystyle \partial ^{\mu }h_{\mu \nu }}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle \left(\square +m^{2}\right)h_{\mu \nu }={\mathfrak {T}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}~\eta _{\mu \nu }{\mathfrak {T}}-{\frac {1}{3m^{2}}}~\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\mathfrak {T}}}$.

Можно обобщить источник, чтобы он стал источником с более высоким спином, таким образом, что становится . ^[5] Обобщенный проекционный оператор также помогает обобщить вектор электромагнитной поляризации квантованного электромагнитного векторного потенциала следующим образом. Для точек пространства-времени теорема сложения сферических гармоник утверждает, что${\displaystyle T^{\mu \nu }(p)}$${\displaystyle S^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)}$ ${\displaystyle T^{\mu \nu }(p)\Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }(p)T^{\kappa \lambda }(p)}$${\displaystyle S^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)\Pi _{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)S^{\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)}$${\displaystyle e_{m}^{\mu }(p)}$${\displaystyle x~{\text{and}}~x'}$

${\displaystyle x^{\mu _{1}}\cdots x^{\mu _{\ell }}\Pi _{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)x'^{\nu _{1}}\cdots x'^{\nu _{\ell }}={\frac {2^{\ell }(\ell !)^{2}}{(2\ell )!}}{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum \limits _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell ,m}(x)Y_{\ell ,m}^{*}(x')}$.

Кроме того, теория представления пространства комплекснозначных однородных многочленов степени на единичной (N-1)-сфере определяет тензор поляризации как ^[31] Тогда обобщенный вектор поляризации равен .${\displaystyle \ell }$${\displaystyle e_{(m)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}e_{(m)i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }},~\forall x_{i}\in S^{N-1}.}$${\displaystyle e^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)~x_{\mu _{1}}\cdots x_{\mu _{\ell }}={\sqrt {{\frac {2^{\ell }(\ell !)^{2}}{(2\ell )!}}{\frac {4\pi }{2\ell +1}}}}~~Y_{\ell ,m}(x)}$

А оператор проекции можно определить как .${\displaystyle \Pi ^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)=\sum \limits _{m=-\ell }^{\ell }[e_{m}^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)]~[e_{m}^{\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)]^{*}}$

Симметричные свойства проекционного оператора облегчают работу с вакуумной амплитудой в импульсном пространстве. Поэтому вместо того, чтобы выражать ее через коррелятор в конфигурационном пространстве, мы пишем${\displaystyle \Delta (x-x')}$

${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{S}=\exp {{\Big [}{\frac {i}{2}}\int {\frac {dp^{4}}{(2\pi )^{4}}}S^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(-p){\frac {\Pi _{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)}{p_{\sigma }p^{\sigma }-m^{2}+i\epsilon }}S^{\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p){\Big ]}}}$.

Кроме того, теоретически непротиворечиво обобщать теорию источника для описания гипотетических калибровочных полей с антисимметричными и смешанными симметричными свойствами в произвольных измерениях и произвольных спинах . Но следует позаботиться о нефизических степенях свободы в теории. Например, в N-мерностях и для смешанной симметричной безмассовой версии поля Куртрайта и источника амплитуда вакуума равна , что для теории в N=4 заставляет источник в конечном итоге раскрыть, что это теория нефизического поля. ^[32] Однако массивная версия выживает в N≥5.${\displaystyle T_{[\mu \nu ]\lambda }}$${\displaystyle S_{[\mu \nu ]\lambda }=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }T_{[\mu \nu ]\lambda }}$${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{S}=\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\int dx~dx'\left[S_{[\mu \nu ]\lambda }(x)\Delta (x-x')S_{[\mu \nu ]\lambda }(x')+{\frac {2}{3-N}}S_{[\mu \alpha ]\alpha }(x)\Delta (x-x')S_{[\mu \beta ]\beta }(x')\right]\right)}}$

Для спин- фермионного пропагатора и тока , определенных выше, вакуумная амплитуда равна ^[5]${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle S(x-x')=(p\!\!\!/+m)\Delta (x-x')}$${\displaystyle J=J_{e}+J_{a}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{J}&=\exp {{\Bigg [}{\frac {i}{2}}\int dxdx'~J(x)~{\Big (}\gamma ^{0}S(x-x'){\Big )}~J(x'){\Bigg ]}}\\&=\langle 0|0\rangle _{J_{e}}\exp {{\Bigg [}i\int dxdx'~J_{e}(x)~{\Big (}\gamma ^{0}S(x-x')~{\Big )}~J_{a}(x'){\Bigg ]}}\langle 0|0\rangle _{J_{a}}.\end{aligned}}}$

В импульсном пространстве приведенная амплитуда определяется выражением

${\displaystyle W_{\frac {1}{2}}=-{\frac {1}{3}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}~J(-p){\Big [}\gamma ^{0}{\frac {p\!\!\!/+m}{p^{2}-m^{2}}}{\Big ]}~J(p).}$