Тождество Уорда–Такахаши

В квантовой теории поля тождество Уорда –Такахаши представляет собой тождество между корреляционными функциями , которое следует из глобальных или калибровочных симметрий теории и которое остается справедливым после перенормировки .

Тождество Уорда–Такахаши квантовой электродинамики (КЭД) первоначально использовалось Джоном Клайвом Уордом ^[1] и Ясуши Такахаши ^[2] для связи перенормировки волновой функции электрона с его фактором перенормировки вершины , гарантируя отмену ультрафиолетовой расходимости для всех порядков теории возмущений . Более поздние применения включают расширение доказательства теоремы Голдстоуна на все порядки теории возмущений.

В более общем смысле тождество Уорда–Такахаши является квантовой версией классического сохранения тока, связанной с непрерывной симметрией теоремой Нётер . Такие симметрии в квантовой теории поля (почти) всегда приводят к этим обобщенным тождествам Уорда–Такахаши, которые накладывают симметрию на уровень квантово-механических амплитуд. Этот обобщенный смысл следует отличать при чтении литературы, такой как учебник Майкла Пескина и Дэниела Шредера ^[3] , от оригинального тождества Уорда–Такахаши.

Подробное обсуждение ниже касается QED, абелевой теории , к которой применимо тождество Уорда–Такахаши. Эквивалентными тождествами для неабелевых теорий, таких как квантовая хромодинамика (КХД), являются тождества Славнова–Тейлора .

Оператор Уорда описывает, как скалярный член в лагранжиане преобразуется при бесконечно малых калибровочных преобразованиях. Он тесно связан с оператором BRST и играет центральную роль в предоставлении геометрического описания последовательного квантования калибровочных теорий .

Тождество Уорда–Такахаши применяется к корреляционным функциям в импульсном пространстве , которые не обязательно имеют все свои внешние импульсы на оболочке . Пусть

${\displaystyle {\mathcal {M}}(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})}$

быть функцией корреляции QED, включающей внешний фотон с импульсом k (где — вектор поляризации фотона, а суммирование по подразумевается), n электронов начального состояния с импульсами и n электронов конечного состояния с импульсами . Также определим как более простую амплитуду , которая получается путем удаления фотона с импульсом k из нашей исходной амплитуды. Тогда тождество Уорда–Такахаши читается как${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$${\displaystyle \mu =0,\ldots ,3}$${\displaystyle p_{1}\cdots p_{n}}$${\displaystyle q_{1}\cdots q_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=e\sum _{i}\left[{\mathcal {M}}_{0}\right.&(p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots (q_{i}-k)\cdots q_{n})\\&\left.-{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots (p_{i}+k)\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})\right]\end{aligned}}}$

где — заряд электрона , а имеет отрицательный знак. Обратите внимание, что если имеет внешние электроны на оболочке, то амплитуды в правой части этого тождества имеют одну внешнюю частицу вне оболочки, и поэтому они не вносят вклад в элементы S-матрицы .${\displaystyle e}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Тождество Уорда является специализацией тождества Уорда–Такахаши к элементам S-матрицы , которые описывают физически возможные процессы рассеяния и, таким образом, имеют все свои внешние частицы на оболочке . Снова пусть будет амплитудой для некоторого процесса QED, включающего внешний фотон с импульсом , где — вектор поляризации фотона. Тогда тождество Уорда читается как:${\displaystyle {\mathcal {M}}(k)=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \epsilon _{\mu }(k)}$

${\displaystyle k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k)=0}$

С физической точки зрения эта идентичность означает, что продольная поляризация фотона, возникающая в калибровке ξ, является нефизической и исчезает из S-матрицы.

Примерами его использования являются ограничение тензорной структуры поляризации вакуума и вершинной функции электрона в КЭД.

В формулировке интеграла по траектории тождества Уорда–Такахаши являются отражением инвариантности функциональной меры относительно калибровочного преобразования . Точнее, если представляет калибровочное преобразование с помощью (и это применимо даже в случае, когда физическая симметрия системы является глобальной или даже не существует; нас здесь волнует только инвариантность функциональной меры ), то${\displaystyle \delta _{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =0}$

выражает инвариантность функциональной меры, где есть действие, а есть функционал полей . Если калибровочное преобразование соответствует глобальной симметрии теории , то,${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \delta _{\varepsilon }S=\int \left(\partial _{\mu }\varepsilon \right)J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x=-\int \varepsilon \partial _{\mu }J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x}$

для некоторого « тока » J (как функционала полей ) после интегрирования по частям и предположения, что поверхностными членами можно пренебречь.${\displaystyle \phi }$

Тогда тождества Уорда-Такахаши становятся

${\displaystyle \langle \delta _{\varepsilon }{\mathcal {F}}\rangle -i\int \varepsilon \langle {\mathcal {F}}\partial _{\mu }J^{\mu }\rangle \mathrm {d} ^{d}x=0}$

Это аналог квантовой теории поля (КТП) уравнения непрерывности Нётер .${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}$

Если калибровочное преобразование соответствует реальной калибровочной симметрии , то

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{i\left(S+S_{gf}\right)}\right){\mathcal {D}}\phi =0}$

где — калибровочно-инвариантное действие, а — некалибровочно-инвариантный член фиксации калибровки . Члены фиксации калибровки требуются для того, чтобы иметь возможность выполнить вторичное квантование классической калибровочной теории. Формулировка квантовой теории поля с использованием интеграла по траекториям (лагранжева) не полностью устраняет необходимость фиксации калибровки, поскольку все еще необходимо вычислять асимптотические состояния матрицы рассеяния ( например, в картине взаимодействия ). Короче говоря, фиксация калибровки требуется, но она нарушает общую калибровочную инвариантность теории. Затем тождества Уорда–Такахаши точно описывают, как все различные поля связаны друг с другом при бесконечно малом калибровочном преобразовании. Эти тождества Уорда–Такахаши генерируются оператором Уорда; в линеаризованной форме оператор Уорда является оператором BRST . Соответствующий заряд является зарядом BRST . Когда калибровочная теория формулируется на расслоенном пространстве , тождества Уорда–Такахаши соответствуют (глобальному) правому действию в главном расслоении : они порождаются производной Ли на вертикальном расслоении .${\displaystyle S}$${\displaystyle S_{\mathrm {gf} }}$

Когда функциональная мера не является калибровочно-инвариантной, но удовлетворяет

${\displaystyle \int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =\int \varepsilon \lambda {\mathcal {F}}e^{iS}\mathrm {d} ^{d}x}$

с некоторым функционалом полей , соответствующее соотношение дает аномальное тождество Уорда–Такахаши . Обычным примером является хиральная аномалия . Этот пример является ярким в сигма-модели теории ядерных сил . В этой теории нейтрон и протон , в изоспиновом дублете, чувствуют силы, передаваемые пионами , в изоспиновом триплете. Эта теория имеет не одну, а две различные глобальные симметрии: векторную и аксиальную векторную симметрии; что эквивалентно, левую и правую хиральные симметрии . Соответствующие токи — изовекторный ток ( ро-мезон ) и аксиальный векторный ток . Невозможно квантовать оба одновременно (из-за аномального тождества Уорда–Такахаши); по соглашению векторная симметрия квантуется так, что векторный ток сохраняется, в то время как аксиальный векторный ток не сохраняется. Затем ро -мезон интерпретируется как калибровочный бозон векторной симметрии, тогда как аксиальная симметрия спонтанно нарушается . Нарушение происходит из-за квантования, то есть из-за аномального тождества Уорда–Такахаши (а не из-за потенциала мексиканской шляпы в стиле Хиггса, который приводит к совершенно иному виду нарушения симметрии). Расхождение аксиального тока связывает пион-нуклонное взаимодействие с распадом пиона, фиксируя как аксиальную константу связи. Соотношение Голдбергера–Треймана связано с константой распада пиона . Таким образом, хиральная аномалия обеспечивает каноническое описание пион-ядерного взаимодействия.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma _{\mu }\psi }$${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu }\psi }$${\displaystyle g_{A}\approx 1.267}$ ${\displaystyle f_{\pi }g_{\pi N{\overline {N}}}\simeq g_{A}m_{N}}$${\displaystyle g_{A}}$ ${\displaystyle f_{\pi }}$