Уравнение Йоса–Вайнберга

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить ее, чтобы сделать ее понятной для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( Декабрь 2016 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Quantum field theory
Feynman diagram
History
Background Field theory Electromagnetism Weak force Strong force Quantum mechanics Special relativity General relativity Gauge theory Yang–Mills theory
Symmetries Symmetry in quantum mechanics C-symmetry P-symmetry T-symmetry Lorentz symmetry Poincaré symmetry Gauge symmetry Explicit symmetry breaking Spontaneous symmetry breaking Noether charge Topological charge
Tools Anomaly Background field method BRST quantization Correlation function Crossing Effective action Effective field theory Expectation value Feynman diagram Lattice field theory LSZ reduction formula Partition function Path Integral Formulation Propagator Quantization Regularization Renormalization Vacuum state Wick's theorem Wightman Axioms
Equations Dirac equation Klein–Gordon equation Proca equations Wheeler–DeWitt equation Bargmann–Wigner equations Schwinger-Dyson equation Renormalization group equation
Standard Model Quantum electrodynamics Electroweak interaction Quantum chromodynamics Higgs mechanism
Incomplete theories String theory Supersymmetry Technicolor Theory of everything Quantum gravity
Scientists Adler Anderson Anselm Bargmann Becchi Belavin Bell Berezin Bethe Bjorken Bleuer Bogoliubov Brodsky Brout Buchholz Cachazo Callan Coleman Connes Dashen DeWitt Dirac Doplicher Dyson Englert Faddeev Fadin Fayet Fermi Feynman Fierz Fock Frampton Fritzsch Fröhlich Fredenhagen Furry Glashow Gelfand Gell-Mann Glimm Goldstone Gribov Gross Gupta Guralnik Haag Heisenberg Hepp Higgs Hagen 't Hooft Iliopoulos Ivanenko Jackiw Jaffe Jona-Lasinio Jordan Jost Källén Kendall Kinoshita Klebanov Kontsevich Kreimer Kuraev Landau Lee Lehmann Leutwyler Lipatov Łopuszański Low Lüders Maiani Majorana Maldacena Migdal Mills Møller Naimark Nambu Neveu Nishijima Oehme Oppenheimer Osterwalder Parisi Pauli Peskin Plefka Polchinski Polyakov Pomeranchuk Popov Proca Rubakov Ruelle Salam Schrader Schwarz Schwinger Segal Seiberg Semenoff Shifman Shirkov Skyrme Sommerfield Stora Stueckelberg Sudarshan Symanzik Thirring Tomonaga Tyutin Vainshtein Veltman Virasoro Ward Weinberg Weisskopf Wentzel Wess Wetterich Weyl Wick Wightman Wigner Wilczek Wilson Witten Yang Yukawa Zamolodchikov Zamolodchikov Zee Zimmermann Zinn-Justin Zuber Zumino
v t e

В релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля уравнение Йоса –Вайнберга является релятивистским волновым уравнением, применимым к свободным частицам произвольного спина j , целого числа для бозонов ( j = 1, 2, 3 ... ) или полуцелого числа для фермионов ( j = 1 ⁄ 2 , 3 ⁄ 2 , 5 ⁄ 2 ... ). Решениями уравнений являются волновые функции , математически представленные в форме многокомпонентных спинорных полей . Спиновое квантовое число обычно обозначается как s в квантовой механике, однако в этом контексте j более типично в литературе (см. ссылки).

Он назван в честь Ганса Х. Йоса и Стивена Вайнберга , найденных в начале 1960-х годов. ^{[1] [2] [3]}

Вводим матрицу 2(2 j + 1) × 2(2 j + 1) ; ^[2]

${\displaystyle \gamma ^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{2j}}}$

симметричный по любым двум тензорным индексам, что обобщает гамма-матрицы в уравнении Дирака, ^{[3] [4]} уравнение имеет вид ^[5]

${\displaystyle [(i\hbar )^{2j}\gamma ^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{2j}}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{2j}}+(mc)^{2j}]\Psi =0}$

или

Для уравнений JW представление группы Лоренца имеет вид ^[6]

${\displaystyle D^{\mathrm {JW} }=D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)}.}$

Это представление имеет определенный спин j . Оказывается, что частица со спином j в этом представлении также удовлетворяет уравнениям поля. Эти уравнения очень похожи на уравнения Дирака. Оно подходит, когда симметрии сопряжения зарядов , симметрии обращения времени и четности хороши.

Представления D ^{( j , 0)} и D ^{(0, j )} могут по отдельности представлять частицы со спином j . Состояние или квантовое поле в таком представлении не удовлетворяло бы никакому уравнению поля, кроме уравнения Клейна–Гордона.

Шестикомпонентное пространство представления спина 1,

${\displaystyle D^{\mathrm {JW} }=D^{(1,0)}\oplus D^{(0,1)}}$

может быть помечен парой антисимметричных индексов Лоренца, [ αβ ] , что означает, что он преобразуется как антисимметричный тензор Лоренца второго ранга , т.е.${\displaystyle B_{[\alpha \beta ]},}$

${\displaystyle B_{[\alpha \beta ]}\sim D^{(1,0)}\oplus D^{(0,1)}.}$

j -кратное произведение Кронекера T _{[ α 1 β 1 ] ... [ α} j _{β j ]} из B _{[ αβ ]}

${\displaystyle T_{[\alpha _{1}\beta _{1}]\cdots [\alpha _{j}\beta _{j}]}=B_{[\alpha _{1}\beta _{1}]}\otimes \cdots \otimes B_{[\alpha _{j}\beta _{j}]}=\bigotimes _{i=1}^{j}B_{[\alpha _{i}\beta _{i}]},}$

( 8А )

разлагается в конечный ряд неприводимых по Лоренцу пространств представлений согласно

${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{j}\left(D_{i}^{(1,0)}\oplus D_{i}^{(0,1)}\right)\to D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)}\oplus D^{(j,j)}\oplus \cdots \oplus D^{(j_{k},j_{l})}\oplus D^{(j_{l},j_{k})}\oplus \cdots \oplus D^{(0,0)},}$

и обязательно содержит сектор. Этот сектор может быть мгновенно идентифицирован с помощью независимого от импульса проектора оператора P ^{( j ,0)} , разработанного на основе C ⁽¹⁾ , одного из элементов Казимира (инвариантов) ^[7] алгебры Ли группы Лоренца , которые определяются как,${\displaystyle D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\left[C^{(1)}\right]_{AB}={\frac {1}{4}}{\left[M^{\mu \nu }\right]_{A}}^{C}\left[M_{\mu \nu }\right]_{CB}\\[6pt]\left[C^{(2)}\right]_{AB}={\frac {1}{4}}\varepsilon _{\mu \nu \lambda \eta }{\left[M^{\mu \nu }\right]_{A}}^{C}\left[M^{\lambda \eta }\right]_{CB}\end{cases}}\qquad A,B,C=1,\ldots ,(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$

( 8Б )

где M ^μν — постоянные матрицы (2 j ₁ +1)(2 j ₂ +1) × (2 j ₁ +1)(2 j ₂ +1) , определяющие элементы алгебры Лоренца в представлениях. Метки заглавными латинскими буквами указывают ^[8] на конечную размерность рассматриваемых пространств представлений, описывающих внутренние угловые ( спиновые ) степени свободы.${\displaystyle D^{(j_{1},j_{2})}\oplus D^{(j_{2},j_{1})}}$

Пространства представления являются собственными векторами для C ⁽¹⁾ в ( 8B ) согласно,${\displaystyle D^{(j_{1},j_{2})}\oplus D^{(j_{2},j_{1})}}$

${\displaystyle C^{(1)}\left[D^{(j_{1},j_{2})}\oplus D^{(j_{2},j_{1})}\right]=\left(j_{1}(j_{1}+1)+j_{2}(j_{2}+1)\right)\left[D^{(j_{1},j_{2})}\oplus D^{(j_{2},j_{1})}\right],}$

Здесь мы определяем:

${\displaystyle \lambda _{(j_{1},j_{2})}^{(1)}=j_{1}(j_{1}+1)+j_{2}(j_{2}+1),}$

быть собственным значением C ⁽¹⁾ сектора . Используя эту нотацию, мы определяем оператор проектора, P ^{( j ,0)} в терминах C ⁽¹⁾ : ^[8]${\displaystyle D^{(j_{1},j_{2})}\oplus D^{(j_{2},j_{1})}}$

${\displaystyle {\left[P^{(j,0)}\right]_{\left[\alpha _{1}\beta _{1}\right]\cdots \left[\alpha _{j}\beta _{j}\right]}}^{\left[\rho _{1}\sigma _{1}\right]\cdots \left[\rho _{j}\sigma _{j}\right]}={\left[\prod _{k,l}\left({\frac {C^{(1)}-\lambda _{(j_{k},j_{l})}^{(1)}}{\lambda _{(j,\,0)}^{(1)}-\lambda _{(j_{k},j_{l})}^{(1)}}}\right)\right]_{\left[\alpha _{1}\beta _{1}\right]\cdots \left[\alpha _{j}\beta _{j}\right]}}^{\left[\rho _{1}\sigma _{1}\right]\cdots \left[\rho _{j}\sigma _{j}\right]}.}$

( 8С )

Такие проекторы можно использовать для поиска по T _{[ α 1 β 1 ]...[ α j β j ]} и исключения всех остальных. Релятивистские волновые уравнения второго порядка для любого j затем напрямую получаются путем первой идентификации сектора в T _{[ α 1 β 1 ]...[ α j β j ]} в ( 8A ) с помощью проектора Лоренца в ( 8C ) и последующего наложения на результат условия массовой оболочки.${\displaystyle D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)},}$${\displaystyle D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)}}$

Этот алгоритм свободен от вспомогательных условий. Схема также распространяется на полуцелые спины, в этом случае произведение Кронекера T [ _{α 1 β 1 ] ...[ α j β j ]} со спинором Дирака,${\displaystyle s=j+{\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle D^{\left({\frac {1}{2}},0\right)}\oplus D^{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}}$

необходимо рассмотреть. Выбор полностью антисимметричного тензора Лоренца второго ранга, B _{[ α i β i ]} , в приведенном выше уравнении ( 8A ) является только необязательным. Можно начать с нескольких произведений Кронекера полностью симметричных тензоров Лоренца второго ранга, A _{α i β i} . Последний вариант должен представлять интерес в теориях, где высокоспиновые поля Йоса–Вайнберга предпочтительно взаимодействуют с симметричными тензорами, такими как метрический тензор в гравитации.${\displaystyle D^{(j,0)}\oplus D^{(0,j)}}$

Источник: ^[8]

The

${\displaystyle \left({\tfrac {3}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\tfrac {3}{2}}\right)}$

преобразуя в спинор тензора Лоренца второго ранга,

${\displaystyle \psi _{[\mu \nu ]}=[(1,0)\oplus (0,1)]\otimes \left[\left({\tfrac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\tfrac {1}{2}}\right)\right].}$

Генераторы группы Лоренца в этом пространстве представления обозначаются и задаются следующим образом:${\displaystyle \left[M_{\mu \nu }^{ATS}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]},}$

${\displaystyle \left[M_{\mu \nu }^{ATS}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}=\left[M_{\mu \nu }^{AT}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}{\mathbf {1} }^{S}+{\mathbf {1} }_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}\,\,\left[M_{\mu \nu }^{S}\right],}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}={\tfrac {1}{2}}\left(g_{\alpha \gamma }g_{\beta \delta }-g_{\alpha \delta }g_{\beta \gamma }\right),}$

${\displaystyle M_{\mu \nu }^{S}={\tfrac {1}{2}}\sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{4}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }],}$

где 1 _{[ αβ ][ γδ ]} обозначает тождество в этом пространстве, 1 ^S и M ^S _μν — соответствующие единичные операторы и элементы алгебры Лоренца в пространстве Дирака, а γ _μ — стандартные гамма-матрицы . Генераторы [ M ^AT _μν ] _{[ αβ ][ γδ ]} выражаются через генераторы в четырехвекторе,

${\displaystyle \left[M_{\mu \nu }^{V}\right]_{\alpha \beta }=i\left(g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu }-g_{\alpha \nu }g_{\beta \mu }\right),}$

как

${\displaystyle \left[M_{\mu \nu }^{AT}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}=-2\cdot {\mathbf {1} _{[\alpha \beta ]}}^{[\kappa \sigma ]}{\left[M_{\mu \nu }^{V}\right]_{\sigma }}^{\rho }{\mathbf {1} }_{[\rho \kappa ][\gamma \delta ]}.}$

Тогда явное выражение для инварианта Казимира C ⁽¹⁾ в ( 8B ) принимает вид,

${\displaystyle \left[C^{(1)}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}=-{\frac {1}{8}}\left(\sigma _{\alpha \beta }\sigma _{\gamma \delta }-\sigma _{\gamma \delta }\sigma _{\alpha \beta }-22\cdot \mathbf {1} _{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}\right),}$

а проектор Лоренца на (3/2,0)⊕(0,3/2) задается выражением,

${\displaystyle \left[P^{\left({\frac {3}{2}},0\right)}\right]_{[\alpha \beta ][\gamma \delta ]}={\frac {1}{8}}\left(\sigma _{\alpha \beta }\sigma _{\gamma \delta }+\sigma _{\gamma \delta }\sigma _{\alpha \beta }\right)-{\frac {1}{12}}\sigma _{\alpha \beta }\sigma _{\gamma \delta }.}$

По сути, (3/2,0)⊕(0,3/2) степеней свободы, обозначаемых как

${\displaystyle \left[w_{\pm }^{\left({\frac {3}{2}},0\right)}\left({\mathbf {p} },{\tfrac {3}{2}},\lambda \right)\right]^{[\gamma \delta ]}}$

найдено, что решают следующее уравнение второго порядка,

${\displaystyle \left({\left[P^{\left({\frac {3}{2}},0\right)}\right]^{[\alpha \beta ]}}_{[\gamma \delta ]}p^{2}-m^{2}\cdot {{\mathbf {1} }^{[\alpha \beta ]}}_{[\gamma \delta ]}\right)\left[w_{\pm }^{\left({\frac {3}{2}},0\right)}\left({\mathbf {p} },{\tfrac {3}{2}},\lambda \right)\right]^{[\gamma \delta ]}=0.}$

Выражения для решений можно найти в ^{[8] .}

• Многомерные гамма-матрицы
• Уравнения Баргмана–Вигнера , альтернативные уравнения, описывающие свободные частицы любого спина
• Теория высшего спина

• В. В. Двоеглазов (1993). "Лагранжева формулировка теории 2(2 j +1) Йоса–Вайнберга и ее связь с описанием кососимметричного тензора". Международный журнал геометрических методов в современной физике . 13 (4): 1650036. arXiv : hep-th/9305141 . Bibcode :2016IJGMM..1350036D. doi :10.1142/S0219887816500365. S2CID  55918215.