Нелинейная сигма-модель
Класс моделей квантовой теории поля

В квантовой теории поля нелинейная σ- модель описывает скалярное поле Σ , которое принимает значения в нелинейном многообразии, называемом целевым многообразием T. Нелинейная σ -модель была введена Гелл-Манном и Леви (1960, раздел 6), которые назвали ее в честь поля, соответствующего бесспиновому мезону, называемому σ в их модели. [1] В этой статье в первую очередь рассматривается квантование нелинейной сигма-модели; пожалуйста, обратитесь к базовой статье о сигма-модели для получения общих определений и классических (неквантовых) формулировок и результатов.  

Описание

Целевое многообразие T снабжено римановой метрикой  g . Σ — дифференцируемое отображение из пространства Минковского M (или некоторого другого пространства)  в T.

Плотность лагранжиана в современной хиральной форме [2] определяется выражением

Л = 1 2 г ( ∂ μ Σ , ∂ μ Σ ) − В ( Σ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g(\partial ^{\mu }\Sigma ,\partial _{\mu }\Sigma )-V(\Sigma )}

где мы использовали метрическую сигнатуру + − − − , а частная производная ∂Σ задается сечением струйного расслоения T × M , а V — потенциал.

В координатной записи с координатами Σ a , a  = 1, ...,  n , где n — размерность  T ,

Л = 1 2 г а б ( Σ ) ( ∂ μ Σ а ) ( ∂ μ Σ б ) − В ( Σ ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}g_{ab}(\Sigma )(\partial ^{\mu }\Sigma ^{a})(\partial _{\mu }\Sigma ^{b})-V(\Sigma ).}

В более чем двух измерениях нелинейные σ- модели содержат размерную константу связи и, таким образом, не являются пертурбативно перенормируемыми. Тем не менее, они демонстрируют нетривиальную ультрафиолетовую фиксированную точку группы перенормировки как в решеточной формулировке [3] [4] , так и в двойном расширении, первоначально предложенном Кеннетом Г. Уилсоном . [5]

В обоих подходах нетривиальная неподвижная точка ренормгруппы, найденная для O(n) -симметричной модели , как видно, просто описывает, в измерениях больше двух, критическую точку, разделяющую упорядоченную и неупорядоченную фазы. Кроме того, улучшенные предсказания решеточной или квантовой теории поля затем можно сравнить с лабораторными экспериментами по критическим явлениям , поскольку модель O(n) описывает физические ферромагнетики Гейзенберга и связанные с ними системы. Таким образом, приведенные выше результаты указывают на неспособность наивной теории возмущений правильно описать физическое поведение O(n) -симметричной модели выше двух измерений и на необходимость более сложных непертурбативных методов, таких как решеточная формулировка.

Это означает, что они могут возникнуть только как эффективные теории поля . Новая физика необходима в масштабе расстояний, где двухточечная связанная корреляционная функция имеет тот же порядок, что и кривизна целевого многообразия. Это называется UV-завершением теории. Существует специальный класс нелинейных σ-моделей с внутренней группой  симметрии G  *. Если G является группой Ли , а H является подгруппой Ли , то фактор-пространство G / H является многообразием (при соблюдении определенных технических ограничений, таких как H является замкнутым подмножеством), а также является однородным пространством G или, другими словами, нелинейной реализацией G  . Во многих случаях G / H может быть снабжено римановой метрикой, которая является G -инвариантной. Это всегда так, например, если G компактно . Нелинейная σ-модель с G / H в качестве целевого многообразия с G -инвариантной римановой метрикой и нулевым потенциалом называется нелинейной σ -моделью фактор-пространства (или пространства смежных классов ) .

При вычислении интегралов по путям функциональная мера должна быть «взвешена» квадратным корнем из определителя g  ,

дет г Д Σ . {\displaystyle {\sqrt {\det g}}{\mathcal {D}}\Sigma .}

Перенормировка

Эта модель оказалась релевантной в теории струн, где двумерное многообразие называется мировым листом . Оценка его обобщенной перенормируемости была дана Дэниелом Фриданом . [6] Он показал, что теория допускает уравнение группы перенормировки в ведущем порядке теории возмущений в виде

λ ∂ г а б ∂ λ = β а б ( Т − 1 г ) = Р а б + О ( Т 2 )   , {\displaystyle \lambda {\frac {\partial g_{ab}}{\partial \lambda }}=\beta _{ab}(T^{-1}g)=R_{ab}+O(T^{2})~,}

R ab — тензор Риччи целевого многообразия.

Это представляет собой поток Риччи , подчиняющийся уравнениям поля Эйнштейна для целевого многообразия как неподвижной точки. Существование такой неподвижной точки имеет значение, поскольку оно гарантирует, в этом порядке теории возмущений, что конформная инвариантность не теряется из-за квантовых поправок, так что квантовая теория поля этой модели является разумной (перенормируемой).

Дальнейшее добавление нелинейных взаимодействий, представляющих аномалии аромата-хирального, приводит к модели Весса–Зумино–Виттена [7] , которая дополняет геометрию потока, включая кручение , сохраняя перенормируемость и также приводя к инфракрасной неподвижной точке за счет телепараллелизма («геометростазиса»). [8]

O(3) нелинейная сигма-модель

Известным примером, представляющим особый интерес из-за своих топологических свойств, является нелинейная σ -модель O(3) в 1 + 1 измерениях с плотностью Лагранжа

Л = 1 2   ∂ μ н ^ ⋅ ∂ μ н ^ {\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\ \partial ^{\mu }{\hat {n}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {n}}}

где n̂ =( n 1 , n 2 , n 3 ) с ограничением n̂ ⋅ n̂ =1 и μ =1,2.

Эта модель допускает топологические решения конечного действия, поскольку в бесконечном пространстве-времени плотность лагранжиана должна исчезать, что означает n̂ = константа на бесконечности. Поэтому в классе решений конечного действия можно идентифицировать точки на бесконечности как одну точку, т. е. пространство-время можно идентифицировать со сферой Римана .

Поскольку n̂ -поле также существует на сфере, то очевидно отображение S 2 → S 2 , решения которого классифицируются второй гомотопической группой 2-сферы: Эти решения называются O(3) инстантонами .

Эту модель можно также рассматривать в 1+2 измерениях, где топология теперь исходит только из пространственных срезов. Они моделируются как R^2 с точкой на бесконечности и, следовательно, имеют ту же топологию, что и инстантоны O(3) в 1+1 измерениях. Они называются сигма-модельными комками.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Гелл-Манн, М.; Леви, М. (1960), «Аксиальный векторный ток при бета-распаде», Il Nuovo Cimento , 16 (4), Итальянское физическое общество: 705–726, Bibcode : 1960NCim...16..705G, doi : 10.1007/BF02859738, ISSN  1827-6121, S2CID  122945049
  2. ^ Gürsey, F. (1960). «О симметриях сильных и слабых взаимодействий». Il Nuovo Cimento . 16 (2): 230–240. Bibcode : 1960NCim...16..230G. doi : 10.1007/BF02860276. S2CID  122270607.
  3. ^ Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления . Oxford University Press.
  4. ^ Карди, Джон Л. (1997). Масштабирование и группа перенормировки в статистической физике . Издательство Кембриджского университета.
  5. ^ Brezin, Eduard; Zinn-Justin, Jean (1976). «Перенормировка нелинейной сигма-модели в 2 + эпсилон-измерениях». Physical Review Letters . 36 (13): 691–693. Bibcode : 1976PhRvL..36..691B. doi : 10.1103/PhysRevLett.36.691.
  6. ^ Фридан, Д. (1980). «Нелинейные модели в 2+ε измерениях». Physical Review Letters . 45 (13): 1057–1060. Bibcode : 1980PhRvL..45.1057F. doi : 10.1103/PhysRevLett.45.1057.
  7. ^ Witten, E. (1984). «Неабелева бозонизация в двух измерениях». Communications in Mathematical Physics . 92 (4): 455–472. Bibcode :1984CMaPh..92..455W. doi :10.1007/BF01215276. S2CID  122018499.
  8. ^ Braaten, E.; Curtright, TL; Zachos, CK (1985). «Крутение и геометростаз в нелинейных сигма-моделях». Nuclear Physics B. 260 ( 3–4): 630. Bibcode : 1985NuPhB.260..630B. doi : 10.1016/0550-3213(85)90053-7.
  • Кетов, Сергей (2009). "Нелинейная сигма-модель". Scholarpedia . 4 (1): 8508. Bibcode :2009SchpJ...4.8508K. doi : 10.4249/scholarpedia.8508 .
  • Кулшрешта, У.; Кулшрешта, Д.С. (2002). «Гамильтониан фронтальной формы, интеграл по траектории и BRST-формулировки нелинейной сигма-модели». Международный журнал теоретической физики . 41 (10): 1941–1956. doi :10.1023/A:1021009008129. S2CID  115710780.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Нелинейная_сигма_модель&oldid=1228762481"