формализм Келдыша

Эта статья требует внимания эксперта по физике . Конкретная проблема: формализм Келдыша существует уже довольно давно. Следует сослаться на некоторые оригинальные работы или обзорные статьи/книги. Кроме того, формализм Келдыша гораздо более универсален, чем указано в статье в его нынешнем виде. WikiProject Physics может помочь нанять эксперта. ( Июнь 2011 )

This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (June 2011) (Learn how and when to remove this message)

Condensed matter physics
Phases Phase transition QCP
States of matter Solid Liquid Gas Plasma Bose–Einstein condensate Bose gas Fermionic condensate Fermi gas Fermi liquid Supersolid Superfluidity Luttinger liquid Time crystal
Phase phenomena Order parameter Phase transition QCP
Electronic phases Electronic band structure Plasma Insulator Mott insulator Semiconductor Semimetal Conductor Superconductor Thermoelectric Piezoelectric Ferroelectric Topological insulator Spin gapless semiconductor
Electronic phenomena Quantum Hall effect Spin Hall effect Kondo effect
Magnetic phases Diamagnet Superdiamagnet Paramagnet Superparamagnet Ferromagnet Antiferromagnet Metamagnet Spin glass
Quasiparticles Phonon Exciton Plasmon Polariton Polaron Magnon Roton
Soft matter Amorphous solid Colloid Granular material Liquid crystal Polymer
Scientists Van der Waals Onnes von Laue Bragg Debye Bloch Onsager Mott Peierls Landau Luttinger Anderson Van Vleck Hubbard Shockley Bardeen Cooper Schrieffer Josephson Louis Néel Esaki Giaever Kohn Kadanoff Fisher Wilson von Klitzing Binnig Rohrer Bednorz Müller Laughlin Störmer Yang Tsui Abrikosov Ginzburg Leggett Parisi Wetterich Perdew
Physics portal  Category
v t e

В неравновесной физике формализм Келдыша или формализм Келдыша–Швингера представляет собой общую структуру для описания квантово-механической эволюции системы в неравновесном состоянии или систем, подверженных воздействию изменяющихся во времени внешних полей ( электрическое поле , магнитное поле и т. д.). Исторически он был предвосхищен работой Джулиана Швингера и предложен почти одновременно Леонидом Келдышем ^[1] и, отдельно, Лео Кадановым и Гордоном Беймом ^[2] . Он был далее развит более поздними авторами, такими как О. В. Константинов и В. И. Перель. ^[3]

Расширения для управляемо-диссипативных открытых квантовых систем даны не только для бозонных систем, ^[4] но и для фермионных систем. ^[5]

Формализм Келдыша обеспечивает систематический способ изучения неравновесных систем, обычно основанный на двухточечных функциях, соответствующих возбуждениям в системе. Основным математическим объектом в формализме Келдыша является неравновесная функция Грина (NEGF), которая является двухточечной функцией полей частиц. В этом смысле он напоминает формализм Мацубары , который основан на равновесных функциях Грина в мнимом времени и рассматривает только равновесные системы.

Рассмотрим общую квантово-механическую систему. Эта система имеет гамильтониан . Пусть начальное состояние системы будет чистым состоянием . Если мы теперь добавим к этому гамильтониану зависящее от времени возмущение, скажем , полный гамильтониан будет равен и, следовательно, система будет развиваться во времени под действием полного гамильтониана. В этом разделе мы увидим, как на самом деле работает эволюция времени в квантовой механике.${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle |n\rangle }$${\displaystyle H'(t)}$${\displaystyle H(t)=H_{0}+H'(t)}$

Рассмотрим эрмитов оператор . В гейзенберговской картине квантовой механики этот оператор зависит от времени, а состояние — нет. Ожидаемое значение оператора определяется как${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{U}^{\dagger }(t,0)\,{\mathcal {O}}(0)\,U(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}}$

где, из-за эволюции операторов во времени в картине Гейзенберга, . Унитарный оператор эволюции во времени является упорядоченной по времени экспонентой интеграла, (Обратите внимание, что если гамильтониан в один момент времени коммутирует с гамильтонианом в разные моменты времени, то это можно упростить до .)${\displaystyle {\mathcal {O}}(t)=U^{\dagger }(t,0){\mathcal {O}}(0)U(t,0)}$ ${\displaystyle U(t_{2},t_{1})}$${\displaystyle U(t_{2},t_{1})=T(e^{-i\int _{t_{1}}^{t_{2}}H(t')dt'}).}$${\displaystyle U(t_{2},t_{1})=e^{-i\int _{t_{1}}^{t_{2}}H(t')dt'}}$

Для пертурбативной квантовой механики и квантовой теории поля часто удобнее использовать картину взаимодействия . Оператор картины взаимодействия имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {O_{I}}}(t)&={U_{0}}^{\dagger }(t,0)\,{\mathcal {O}}(0)\,U_{0}(t,0),\end{aligned}}}$

где . Тогда, определяя, имеем${\displaystyle U_{0}(t_{1},t_{2})=e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})}}$${\displaystyle S(t_{1},t_{2})=U_{0}^{\dagger }(t_{1},t_{2})U(t_{1},t_{2}),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{S}^{\dagger }(t,0){\mathcal {O_{I}}}(t)S(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}}$

Поскольку унитарные операторы эволюции во времени удовлетворяют , приведенное выше выражение можно переписать как${\displaystyle U(t_{3},t_{2})U(t_{2},t_{1})=U(t_{3},t_{1})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{S}^{\dagger }(\infty ,0)S(\infty ,t){\mathcal {O_{I}}}(t)\,S(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}}$,

или с заменой на любое значение времени больше .${\displaystyle \infty }$${\displaystyle t}$

Мы можем записать приведенное выше выражение более кратко, чисто формально заменив каждый оператор на упорядоченный по контуру оператор , такой, который параметризует контурный путь на оси времени, начинающийся в , продолжающийся в , а затем возвращающийся в . Этот путь известен как контур Келдыша. имеет то же операторное действие, что и (где — значение времени, соответствующее ), но также имеет дополнительную информацию (то есть, строго говоря, если , даже если для соответствующих времен ).${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle X(c)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t=\infty }$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle X(c)}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle X(c_{1})\neq X(c_{2})}$${\displaystyle c_{1}\neq c_{2}}$${\displaystyle X(t_{1})=X(t_{2})}$

Затем мы можем ввести обозначение порядка пути на этом контуре, определив , где — перестановка такая, что , а знаки плюс и минус — для бозонных и фермионных операторов соответственно. Обратите внимание, что это обобщение порядка времени .${\displaystyle {\mathcal {T_{c}}}(X^{(1)}(c_{1})X^{(2)}(c_{2})\ldots X^{(n)}(c_{n}))=(\pm 1)^{\sigma }X^{(\sigma (1))}(c_{\sigma (1)})X^{(\sigma (2))}(c_{\sigma (2)})\ldots X^{(\sigma (n))}(c_{\sigma (n)})}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle c_{\sigma (1)}<c_{\sigma (2)}<\ldots c_{\sigma (n)}}$

С помощью этих обозначений приведенная выше временная эволюция записывается как

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{\mathcal {T_{c}}}({\mathcal {O(c)}}e^{-i\int dc'H'(c')})|n\rangle \end{aligned}}}$

Где соответствует времени на прямой ветви контура Келдыша, а интеграл по распространяется на весь контур Келдыша. В оставшейся части этой статьи, как это принято, мы обычно будем просто использовать обозначение для , где — время, соответствующее , а находится ли на прямой или обратной ветви, выводится из контекста.${\displaystyle c}$${\displaystyle t}$${\displaystyle c'}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle X(c)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$

Неравновесная функция Грина определяется как .${\displaystyle {\begin{aligned}iG(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|T\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle \end{aligned}}}$

Или, в картине взаимодействия, . Мы можем разложить экспоненту в ряд Тейлора, чтобы получить ряд возмущений${\displaystyle {\begin{aligned}iG(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {T_{c}}}(e^{-i\int _{c}H'(t')dt'}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2}))|n\rangle \end{aligned}}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }\langle n|{\mathcal {T_{c}}}((-i\int _{t}(H'(t',+)+H'(t',-))dt')^{j}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2}))|n\rangle /j!}$.

Это та же процедура, что и в равновесной диаграммной теории возмущений, но с важным отличием, что включены как прямые, так и обратные контурные ветви.

Если, как это часто бывает, является полиномом или рядом как функция элементарных полей , мы можем организовать этот ряд возмущений в мономиальные члены и применить все возможные пары Вика к полям в каждом мономе, получив сумму диаграмм Фейнмана . Однако ребра диаграммы Фейнмана соответствуют различным пропагаторам в зависимости от того, исходят ли парные операторы из прямой или обратной ветви. А именно,${\displaystyle H'}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},+)\psi (x_{2},t_{2},+)|n\rangle \equiv G_{0}^{++}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {T}}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle }$

${\displaystyle \langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},+)\psi (x_{2},t_{2},-)|n\rangle \equiv G_{0}^{+-}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle }$

${\displaystyle \langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},-)\psi (x_{2},t_{2},+)|n\rangle \equiv G_{0}^{-+}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\pm \langle n|\psi (x_{2},t_{2})\psi (x_{1},t_{1})|n\rangle }$

${\displaystyle \langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},-)\psi (x_{2},t_{2},-)|n\rangle \equiv G_{0}^{--}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {\overline {T}}}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle }$

где антивременной порядок упорядочивает операторы противоположным образом, чем временной порядок, и знак в для бозонных или фермионных полей. Обратите внимание, что это пропагатор, используемый в обычной теории основного состояния.${\displaystyle {\mathcal {\overline {T}}}}$${\displaystyle \pm }$${\displaystyle G_{0}^{-+}}$${\displaystyle G_{0}^{--}}$

Таким образом, диаграммы Фейнмана для корреляционных функций могут быть нарисованы, а их значения вычислены так же, как и в теории основного состояния, за исключением следующих изменений правил Фейнмана: каждая внутренняя вершина диаграммы помечена либо , либо , в то время как внешние вершины помечены . Затем каждое (неренормализованное) ребро, направленное от вершины (с позицией , временем и знаком ) к вершине (с позицией , временем и знаком ), соответствует пропагатору . Затем значения диаграммы для каждого выбора знаков (существуют такие выборы, где — количество внутренних вершин) суммируются для нахождения общего значения диаграммы.${\displaystyle +}$${\displaystyle -}$${\displaystyle -}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x_{a}}$${\displaystyle t_{a}}$${\displaystyle s_{a}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x_{b}}$${\displaystyle t_{b}}$${\displaystyle s_{b}}$${\displaystyle G_{0}^{s_{a}s_{b}}(x_{a},t_{a},x_{b},t_{b})}$${\displaystyle \pm }$${\displaystyle 2^{v}}$${\displaystyle v}$

• Спиновый эффект Холла
• Эффект Кондо

1. Лифшиц Евгений Михайлович; Питаевский, Лев Петрович (1979). «Физическая кинетика». Наука, Глав. ред. физико-математической лит-ры . 10 .
2. Jauho, AP (5 октября 2006 г.). "Введение в метод неравновесной функции Грина по Келдышу" (PDF) . nanoHUB . Получено 18 июня 2018 г. .
3. Лейк, Роджер (13 января 2018 г.). «Применение формализма Келдыша к моделированию и анализу квантовых устройств» (PDF) . nanoHUB . Получено 18 июня 2018 г. .
4. Каменев, Алекс (11 декабря 2004 г.). "Многочастичная теория неравновесных систем". arXiv : cond-mat/0412296 .
5. Кита, Такафуми (2010). «Введение в неравновесную статистическую механику с квантовым полем». Progress of Theoretical Physics . 123 (4): 581– 658. arXiv : 1005.0393 . Bibcode : 2010PThPh.123..581K. doi : 10.1143/PTP.123.581. S2CID  119165404.
6. Ryndyk, DA; Gutiérrez, R.; Song, B.; Cuniberti, G. (2009). "Green Function Techniques in the Treatment of Quantum Transport at the Molecular Scale". Energy Transfer Dynamics in Biomaterial Systems . Springer Series in Chemical Physics. Vol. 93. Springer Verlag. pp.  213–335 . arXiv : 0805.0628 . Bibcode :2009SSCP...93..213R. doi :10.1007/978-3-642-02306-4_9. ISBN 9783642023057. S2CID  118343568.
7. Gen, Tattooa; Kohno, Hiroshi; Shibata, Junya (2008). «Микроскопический подход к динамике доменной стенки, управляемой током». Physics Reports . 468 (6): 213– 301. arXiv : 0807.2894 . Bibcode :2008PhR...468..213T. doi :10.1016/j.physrep.2008.07.003. S2CID  119257806.
8. Джанлука Стефануччи и Роберт ван Леувен (2013). «Неравновесная теория многих тел квантовых систем: современное введение» (Cambridge University Press, 2013). DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9781139023979
9. Роберт ван Леувен, Нильс Эрик Дален, Джанлука Стефануччи, Карл-Олоф Альмблад и Ульф фон Барт, «Введение в формализм Келдыша», Конспекты лекций по физике 706 , 33 (2006). arXiv:cond-mat/0506130