СЛ2(Р)

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Групповые действия Факторная группа (Полу) прямой продукт Прямая сумма Бесплатный продукт Венок продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение простой конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелев двугранный нильпотентный разрешимый Glossary of group theory List of group theory topics
Finite groups Cyclic group Zn Symmetric group Sn Alternating group An Dihedral group Dn Quaternion group Q Cauchy's theorem Lagrange's theorem Sylow theorems Hall's theorem p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

В математике специальная линейная группа SL(2, R) или SL ₂ (R) — это группа действительных матриц размера 2 × 2 с определителем единица:

${\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\colon a,b,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{ and }}ad-bc=1\right\}.}$

Это связная некомпактная простая действительная группа Ли размерности 3, имеющая приложения в геометрии , топологии , теории представлений и физике .

SL(2,  R ) действует на комплексную верхнюю полуплоскость дробными линейными преобразованиями . Действие группы пропускается через фактор PSL(2, R) (2 × 2 проективная специальная линейная группа над R ). Более конкретно,

ПСЛ(2,  Р ) = ПСЛ(2,  Р ) / {± I },

где I обозначает единичную матрицу 2 × 2. Она содержит модулярную группу PSL(2,  Z ).

Также тесно связана 2-кратная накрывающая группа Mp(2,  R ), метаплектическая группа (если рассматривать SL(2,  R ) как симплектическую группу ).

Другая родственная группа — SL ^± (2,  R ), группа действительных матриц 2 × 2 с определителем ±1; однако она чаще используется в контексте модулярной группы .

SL(2,  R ) — группа всех линейных преобразований R ² , сохраняющих ориентированную площадь . Она изоморфна симплектической группе Sp(2,  R ) и специальной унитарной группе SU(1, 1) . Она также изоморфна группе кокватернионов единичной длины . Группа SL ^± (2,  R ) сохраняет неориентированную площадь: она может менять ориентацию на противоположную.

Фактор PSL(2,  R ) имеет несколько интересных описаний, вплоть до изоморфизма групп Ли:

• Это группа сохраняющих ориентацию проективных преобразований действительной проективной прямой R ∪ {∞}.
• Это группа конформных автоморфизмов единичного круга .
• Это группа сохраняющих ориентацию изометрий гиперболической плоскости .
• Это ограниченная группа Лоренца трехмерного пространства Минковского . Эквивалентно, она изоморфна неопределенной ортогональной группе SO ⁺ (1,2). Отсюда следует, что SL(2,  R ) изоморфна спиновой группе Spin(2,1) ⁺ .

Элементы модулярной группы PSL(2,  Z ) имеют дополнительные интерпретации, как и элементы группы SL(2,  Z ) (как линейные преобразования тора), и эти интерпретации также можно рассматривать в свете общей теории SL(2,  R ).

Элементы PSL(2,  R ) являются гомографиями на вещественной проективной прямой R ∪ {∞} :

${\displaystyle [x,1]\mapsto [x,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [ax+b,\ cx+d]\ =\,\left[{\frac {ax+b}{cx+d}},\ 1\right].}$

Эти проективные преобразования образуют подгруппу PSL(2,  C ), которая действует на сфере Римана посредством преобразований Мёбиуса .

Когда действительная прямая рассматривается как граница гиперболической плоскости , PSL(2,  R ) выражает гиперболические движения .

Элементы PSL(2,  R ) действуют на комплексную плоскость посредством преобразований Мёбиуса:

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\;\;\;\;{\mbox{ (where }}a,b,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{)}}.}$

Это в точности набор преобразований Мёбиуса, сохраняющих верхнюю полуплоскость . Отсюда следует, что PSL(2,  R ) — группа конформных автоморфизмов верхней полуплоскости. По теореме Римана об отображении она также изоморфна группе конформных автоморфизмов единичного круга.

Эти преобразования Мёбиуса действуют как изометрии верхней полуплоскостной модели гиперболического пространства, а соответствующие преобразования Мёбиуса диска являются гиперболическими изометриями модели диска Пуанкаре .

Вышеприведенную формулу можно также использовать для определения преобразований Мёбиуса дуальных и двойных (или расщепленно-комплексных) чисел . Соответствующие геометрии находятся в нетривиальных отношениях ^[1] с геометрией Лобачевского .

Группа SL(2,  R ) действует на своей алгебре Ли sl(2,  R ) сопряжением (помните, что элементы алгебры Ли также являются матрицами 2 × 2), что дает точное 3-мерное линейное представление PSL(2,  R ). Это можно альтернативно описать как действие PSL(2,  R ) на пространстве квадратичных форм на R ² . Результатом является следующее представление:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d^{2}\end{bmatrix}}.}$

Форма Киллинга на sl(2,  R ) имеет сигнатуру (2,1) и индуцирует изоморфизм между PSL(2,  R ) и группой Лоренца SO ⁺ (2,1). Это действие PSL(2,  R ) на пространстве Минковского ограничивается изометрическим действием PSL(2,  R ) на гиперболоидной модели гиперболической плоскости.

Собственные значения элемента A ∈ SL(2,  R ) удовлетворяют характеристическому многочлену

${\displaystyle \lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0}$

и поэтому

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4}}}{2}}.}$

Это приводит к следующей классификации элементов с соответствующим действием на евклидовой плоскости:

• Если , то A называется эллиптическим и сопряженным с вращением .${\displaystyle |\mathrm {tr} (A)|<2}$
• Если , то A называется параболическим и является сдвиговым отображением .${\displaystyle |\mathrm {tr} (A)|=2}$
• Если , то A называется гиперболическим и является отображением сжатия .${\displaystyle |\mathrm {tr} (A)|>2}$

Названия соответствуют классификации конических сечений по эксцентриситету : если определить эксцентриситет как половину абсолютной величины следа (ε = ⁠1/2⁠ |tr|; деление на 2 корректирует эффект размерности, в то время как абсолютное значение соответствует игнорированию общего множителя ±1, например, при работе в PSL(2, R )), тогда это дает: , эллиптический; , параболический; , гиперболический.${\displaystyle \epsilon <1}$${\displaystyle \epsilon =1}$${\displaystyle \epsilon >1}$

Единичный элемент 1 и отрицательный единичный элемент −1 (в PSL(2,  R ) они одинаковы) имеют след ±2 и, следовательно, по этой классификации являются параболическими элементами, хотя их часто рассматривают отдельно.

Такая же классификация используется для SL(2,  C ) и PSL(2,  C ) ( преобразований Мёбиуса ) и PSL(2,  R ) (действительных преобразований Мёбиуса) с добавлением «локсодромических» преобразований, соответствующих комплексным следам; аналогичные классификации используются и в других местах.

Подгруппа, которая содержит эллиптические (соответственно, параболические, гиперболические) элементы, а также единицу и отрицательную единицу, называется эллиптической подгруппой (соответственно, параболической подгруппой , гиперболической подгруппой ).

Трихотомия SL(2,  R ) на эллиптические, параболические и гиперболические элементы представляет собой классификацию на подмножества, а не подгруппы: эти множества не замкнуты относительно умножения (произведение двух параболических элементов не обязательно должно быть параболическим и т. д.). Однако каждый элемент сопряжен с членом одной из 3 стандартных однопараметрических подгрупп (возможно, умноженных на ±1), как подробно описано ниже.

Топологически, поскольку трасса является непрерывным отображением, эллиптические элементы (исключая ±1) образуют открытое множество , как и гиперболические элементы (исключая ±1). Напротив, параболические элементы вместе с ±1 образуют замкнутое множество , которое не является открытым.

Собственные значения для эллиптического элемента являются как комплексными, так и сопряженными значениями на единичной окружности . Такой элемент сопряжен с вращением евклидовой плоскости — их можно интерпретировать как вращения в возможно неортогональном базисе — и соответствующий элемент PSL(2,  R ) действует как (сопряженный) вращение гиперболической плоскости и пространства Минковского .

Эллиптические элементы модулярной группы должны иметь собственные значения {ω, ω ⁻¹ }, где ω — примитивный корень 3-й, 4-й или 6-й степени из единицы . Это все элементы модулярной группы с конечным порядком , и они действуют на торе как периодические диффеоморфизмы.

Элементы следа 0 можно назвать «круговыми элементами» (по аналогии с эксцентриситетом), но это делается редко; они соответствуют элементам с собственными значениями ± i и сопряжены повороту на 90° и квадрату - I : они являются нетождественными инволюциями в PSL(2).

Эллиптические элементы сопряжены в подгруппе вращений евклидовой плоскости, специальной ортогональной группе SO(2); угол поворота равен arccos половины следа, при этом знак поворота определяется ориентацией. (Вращение и его обратный элемент сопряжены в GL(2), но не в SL(2).)

Параболический элемент имеет только одно собственное значение, которое равно 1 или -1. Такой элемент действует как сдвиговое отображение на евклидовой плоскости, а соответствующий элемент PSL(2,  R ) действует как предельное вращение гиперболической плоскости и как нулевое вращение пространства Минковского .

Параболические элементы модулярной группы действуют как скручивания Дена тора.

Параболические элементы сопряжены в 2-компонентную группу стандартных сдвигов × ± I : . Фактически, все они сопряжены (в SL(2)) с одной из четырех матриц , (в GL(2) или SL ^± (2) ± может быть опущено, но в SL(2) это невозможно).${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&\lambda \\&1\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm I\}}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&\pm 1\\&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}-1&\pm 1\\&-1\end{smallmatrix}}\right)}$

Собственные значения для гиперболического элемента являются как действительными, так и обратными. Такой элемент действует как сжатое отображение евклидовой плоскости, а соответствующий элемент PSL(2,  R ) действует как перенос гиперболической плоскости и как лоренцевский буст на пространстве Минковского .

Гиперболические элементы модулярной группы действуют как аносовские диффеоморфизмы тора.

Гиперболические элементы сопряжены в 2-компонентной группе стандартных сжатий × ± I : ; гиперболический угол гиперболического поворота задается аркошетом половины следа, но знак может быть положительным или отрицательным: в отличие от эллиптического случая, сжатие и его обратный элемент сопряжены в SL₂ (поворотом по осям; для стандартных осей поворот на 90°).${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}\lambda \\&\lambda ^{-1}\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm I\}}$

По жордановой нормальной форме матрицы классифицируются с точностью до сопряженности (в GL( n ,  C )) по собственным значениям и нильпотентности (конкретно, нильпотентность означает, что единицы встречаются в жордановых блоках). Таким образом, элементы SL(2) классифицируются с точностью до сопряженности в GL(2) (или, конечно, SL ^± (2)) по следу (поскольку определитель фиксирован, а след и определитель определяют собственные значения), за исключением случаев, когда собственные значения равны, поэтому ±I и параболические элементы следа +2 и следа -2 не являются сопряженными (первые не имеют недиагональных элементов в жордановой форме, тогда как вторые имеют).

С точностью до сопряженности в SL(2) (вместо GL(2)) имеется дополнительная величина, соответствующая ориентации: вращение по часовой стрелке и против часовой стрелки (эллиптическое) не сопряжены, как и положительный и отрицательный сдвиг, как подробно описано выше; таким образом, для абсолютного значения следа меньше 2 существует два класса сопряженности для каждого следа (вращение по часовой стрелке и против часовой стрелки), для абсолютного значения следа, равного 2, существует три класса сопряженности для каждого следа (положительный сдвиг, тождественность, отрицательный сдвиг), а для абсолютного значения следа больше 2 существует один класс сопряженности для данного следа.

Разложение Ивасавы группы — это метод построения группы как произведения трех подгрупп Ли K , A , N. Для этих трех подгрупп${\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}$

${\displaystyle \mathbf {K} =\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ \theta \in \mathbf {R} \right\}\cong SO(2),}$

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\{{\begin{pmatrix}r&0\\0&r^{-1}\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ r>0\right\},}$

${\displaystyle \mathbf {N} =\left\{{\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}\in SL(2,\mathbb {R} )\ |\ x\in \mathbf {R} \right\}.}$

Эти три элемента являются генераторами эллиптического, гиперболического и параболического подмножеств соответственно.

Как топологическое пространство , PSL(2,  R ) можно описать как единичное касательное расслоение гиперболической плоскости. Это расслоение окружностей , имеющее естественную контактную структуру, индуцированную симплектической структурой на гиперболической плоскости. SL(2,  R ) является двукратным покрытием PSL(2,  R ) и может рассматриваться как расслоение спиноров на гиперболической плоскости.

Фундаментальная группа SL(2,  R ) — бесконечная циклическая группа Z . Универсальная накрывающая группа , обозначаемая , является примером конечномерной группы Ли, которая не является матричной группой . То есть не допускает точного конечномерного представления .${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$

Как топологическое пространство, является линейным расслоением над гиперболической плоскостью. При наполнении левоинвариантной метрикой 3-многообразие становится одной из восьми геометрий Терстона . Например, является универсальным покрытием единичного касательного расслоения к любой гиперболической поверхности . Любое многообразие, смоделированное на, является ориентируемым и является расслоением окружностей над некоторым 2-мерным гиперболическим орбифолдом ( пространством расслоений Зейферта ).${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$ ${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$${\displaystyle {\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}}$

Под этим покрытием прообразом модулярной группы PSL(2,  Z ) является группа кос с 3 образующими, B ₃ , которая является универсальным центральным расширением модулярной группы. Это решетки внутри соответствующих алгебраических групп, и это алгебраически соответствует универсальной покрывающей группе в топологии.

Двукратную накрывающую группу можно определить как Mp(2,  R ), метаплектическую группу , подразумевая под SL(2,  R ) симплектическую группу Sp(2,  R ).

Вышеупомянутые группы вместе образуют последовательность:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )}}\to \cdots \to \mathrm {Mp} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ).}$

Однако существуют и другие покрывающие группы PSL(2,  R ), соответствующие всем n , так как n Z < Z ≅ π ₁ (PSL(2,  R )), которые образуют решетку покрывающих групп по делимости; они покрывают SL(2,  R ) тогда и только тогда, когда n четно.

Центром SL(2,  R ) является двухэлементная группа {±1}, а фактор-группа PSL(2,  R ) является простой .

Дискретные подгруппы PSL(2,  R ) называются фуксовыми группами . Это гиперболические аналоги групп евклидовых обоев и групп Фриза . Наиболее известной из них является модулярная группа PSL(2,  Z ), которая действует на замощение гиперболической плоскости идеальными треугольниками.

Группа окружности SO(2) является максимальной компактной подгруппой SL(2,  R ), а окружность SO(2) / {±1} является максимальной компактной подгруппой PSL(2,  R ).

Множитель Шура дискретной группы PSL(2,  R ) намного больше Z , а универсальное центральное расширение намного больше универсальной покрывающей группы. Однако эти большие центральные расширения не учитывают топологию и являются несколько патологическими.

SL(2,  R ) — вещественная, некомпактная простая группа Ли , и является расщепленно-вещественной формой комплексной группы Ли SL(2,  C ). Алгебра Ли SL(2,  R ), обозначаемая sl(2,  R ), является алгеброй всех вещественных, бесследовых матриц 2 × 2. Это алгебра Бьянки типа VIII.

Конечномерная теория представлений SL(2,  R ) эквивалентна теории представлений SU(2) , которая является компактной вещественной формой SL(2,  C ). В частности, SL(2,  R ) не имеет нетривиальных конечномерных унитарных представлений. Это свойство каждой связной простой некомпактной группы Ли. Для схемы доказательства см. неунитарность представлений .

Теория бесконечномерных представлений SL(2,  R ) весьма интересна. Группа имеет несколько семейств унитарных представлений, которые были подробно разработаны Гельфандом и Наймарком (1946), В. Баргманном (1947) и Хариш-Чандрой (1952).

• Баргманн, Валентайн (1947). «Неприводимые унитарные представления группы Лоренца». Annals of Mathematics . 48 (3): 568– 640. doi :10.2307/1969129. JSTOR  1969129. MR  0021942.
• Гельфанд, Израиль Моисеевич; Неймарк, Марк Аронович (1946). «Унитарные представления группы Лоренца». АН СССР. Ж. физ . 10 : 93–94 . MR  0017282.
• Хариш-Чандра (1952). "Формула Планшереля для действительной унимодулярной группы 2×2". Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 38 (4): 337– 342. Bibcode :1952PNAS...38..337H. doi : 10.1073/pnas.38.4.337 . MR  0047055. PMC  1063558 . PMID  16589101.
• Ланг, Серж (1985). . Graduate Texts in Mathematics. Том 105. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-5142-2. ISBN${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbf {R} )}$ 0-387-96198-4. МР  0803508.
• Терстон, Уильям (1997). Сильвио Леви (ред.). Трехмерная геометрия и топология. Том 1. Princeton Mathematical Series. Том 35. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-08304-5. МР  1435975.