Группа фуксии

В математике фуксова группа — это дискретная подгруппа PSL (2, R ) . Группу PSL(2, R ) можно рассматривать эквивалентно как группу сохраняющих ориентацию изометрий гиперболической плоскости , или конформных преобразований единичного круга , или конформных преобразований верхней полуплоскости , поэтому фуксова группа может рассматриваться как группа, действующая на любом из этих пространств. Существуют некоторые вариации определения: иногда фуксова группа предполагается конечно порожденной , иногда ей разрешается быть подгруппой PGL(2, R ) (так что она содержит элементы, меняющие ориентацию), а иногда ей разрешается быть клейновой группой (дискретной подгруппой PSL(2, C ) ), которая сопряжена с подгруппой PSL(2, R ).

Фуксовы группы используются для создания фуксовых моделей римановых поверхностей . В этом случае группу можно назвать фуксовой группой поверхности . В некотором смысле фуксовы группы делают для неевклидовой геометрии то же, что кристаллографические группы делают для евклидовой геометрии . Некоторые графики Эшера основаны на них (для дисковой модели гиперболической геометрии).

Общие фуксовы группы впервые были изучены Анри Пуанкаре  (1882), которого вдохновила статья (Fuchs 1880), и поэтому он назвал их в честь Лазаруса Фукса .

Пусть будет верхней полуплоскостью . Тогда является моделью гиперболической плоскости , наделенной метрикой${\displaystyle H=\{z\in \mathbb {C} |\operatorname {Im} {z}>0\}}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle ds={\frac {1}{y}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}.}$

Группа PSL(2, R ) действует посредством дробно-линейных преобразований ( также известных как преобразования Мёбиуса ):${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

Это действие является точным, и на самом деле PSL(2, R ) изоморфна группе всех сохраняющих ориентацию изометрий .${\displaystyle H}$

Фуксову группу можно определить как подгруппу PSL(2, R ), которая действует разрывно на . То есть,${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle H}$

• Для каждого в орбита не имеет точки накопления в .${\displaystyle z}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Gamma z=\{\gamma z:\gamma \in \Gamma \}}$${\displaystyle H}$

Эквивалентное определение для фуксовой группы — быть дискретной группой , что означает, что:${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \Гамма}$

• Всякая последовательность элементов , сходящаяся к единице в обычной топологии поточечной сходимости, в конечном итоге является константой, т.е. существует целое число такое, что для всех , , где — единичная матрица.${\displaystyle \гамма _{n}}$${\displaystyle \Гамма}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle n>\mathbb {N} }$${\displaystyle \гамма _{n}=I}$${\displaystyle Я}$

Хотя в этом случае разрывность и дискретность эквивалентны, это, как правило, не верно для случая произвольной группы конформных гомеоморфизмов, действующих на полной сфере Римана (в отличие от ). Действительно, фуксова группа PSL(2, Z ) дискретна, но имеет точки накопления на прямой действительных чисел : элементы PSL(2, Z ) будут переноситься в каждое рациональное число, а рациональные числа Q плотны в R .${\displaystyle H}$${\displaystyle \operatorname {Im} z=0}$${\displaystyle z=0}$

Дробно-линейное преобразование, определяемое матрицей из PSL(2, C ), сохранит сферу Римана P ¹ ( C ) = C ∪ ∞, но переведет верхнюю полуплоскость H в некоторый открытый диск Δ. Сопряжение таким преобразованием переведет дискретную подгруппу PSL(2, R ) в дискретную подгруппу PSL(2, C ), сохраняющую Δ.

Это мотивирует следующее определение фуксовой группы . Пусть Γ ⊂ PSL(2, C ) действует инвариантно на собственном открытом диске Δ ⊂ C ∪ ∞, то есть Γ(Δ) = Δ. Тогда Γ является фуксовой тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих трех эквивалентных свойств:

1. Γ — дискретная группа (относительно стандартной топологии на PSL(2, C )).
2. Γ действует собственно разрывно в каждой точке z ∈ Δ.
3. Множество ∆ является подмножеством области разрыва Ω(Γ) группы Γ.

То есть, любой из этих трех может служить определением фуксовой группы, остальные следуют как теоремы. Понятие инвариантного собственного подмножества Δ важно; так называемая группа Пикара PSL(2, Z [ i ]) дискретна, но не сохраняет никакой диск в сфере Римана. Действительно, даже модулярная группа PSL(2, Z ), которая является фуксовой группой, не действует разрывно на действительной числовой прямой; она имеет точки накопления в рациональных числах . Аналогично, важна идея о том, что Δ является собственным подмножеством области разрыва; когда это не так, подгруппа называется клейновой группой .

Чаще всего в качестве инвариантной области Δ принимают либо открытый единичный круг , либо верхнюю полуплоскость .

Из-за дискретного действия орбита Γ z точки z в верхней полуплоскости под действием Γ не имеет точек накопления в верхней полуплоскости. Однако предельные точки могут быть на вещественной оси. Пусть Λ(Γ) — предельное множество Γ, то есть множество предельных точек Γ z для z ∈ H . Тогда Λ(Γ) ⊆ R ∪ ∞. Предельное множество может быть пустым, или может содержать одну или две точки, или может содержать бесконечное число. В последнем случае существует два типа:

Фуксова группа первого типа — это группа, для которой предельным множеством является замкнутая вещественная прямая R ∪ ∞. Это происходит, если факторпространство H /Γ имеет конечный объем, но существуют фуксовы группы первого рода бесконечного кообъема.

В противном случае говорят, что фуксова группа имеет второй тип . Эквивалентно, это группа, для которой предельное множество является совершенным множеством , которое нигде не плотно на R ∪ ∞. Поскольку оно нигде не плотно, это означает, что любая предельная точка сколь угодно близка к открытому множеству, которое не находится в предельном множестве. Другими словами, предельное множество является множеством Кантора .

Тип фуксовой группы не обязательно должен совпадать с ее типом, рассматриваемым как клейновская группа: на самом деле, все фуксовы группы являются клейновыми группами типа 2, поскольку их предельные множества (как клейновы группы) являются собственными подмножествами сферы Римана, содержащимися в некотором круге.

Примером фуксовой группы является модулярная группа PSL(2, Z ). Это подгруппа PSL(2, R ), состоящая из дробно-линейных преобразований

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}}$

где a , b , c , d — целые числа. Фактор-пространство H /PSL(2, Z ) — это модульное пространство эллиптических кривых .

Другие фуксовы группы включают группы Γ( n ) для каждого целого числа n > 0. Здесь Γ( n ) состоит из дробно-линейных преобразований вышеуказанного вида, где элементы матрицы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

сравнимы с таковыми единичной матрицы по модулю n .

Кокомпактным примером является (обычная, вращательная) группа треугольников (2,3,7) , содержащая фуксовы группы квартики Клейна и поверхности Макбита , а также другие группы Гурвица . В более общем случае любая гиперболическая группа фон Дейка (подгруппа индекса 2 группы треугольников , соответствующая сохраняющим ориентацию изометриям) является фуксовой группой.

Все это фуксовы группы первого рода .

• Все гиперболические и параболические циклические подгруппы PSL(2, R ) являются фуксовыми.
• Любая эллиптическая циклическая подгруппа является фуксовой тогда и только тогда, когда она конечна.
• Каждая абелева фуксова группа является циклической.
• Ни одна фуксова группа не изоморфна Z × Z.
• Пусть Γ — неабелева фуксова группа. Тогда нормализатор Γ в PSL(2, R ) является фуксовым.

Если h — гиперболический элемент, то длина трансляции L его действия в верхней полуплоскости связана со следом h как матрицы 2 × 2 соотношением

${\displaystyle |\mathrm {tr} \;h|=2\cosh {\frac {L}{2}}.}$

Аналогичное соотношение справедливо для систолы соответствующей римановой поверхности, если фуксова группа не имеет кручения и кокомпактна.

• Квазифуксова группа
• Неевклидова кристаллографическая группа
• Группа Шоттки

• Фукс, Лазарь (1880), «Ueber eine Klasse von Funktionen mehrerer Variablen, welche durch Umkehrung der Integrale von Lösungen der Linearen Differentialgleichungen mit Rational Coeffizienten Coeffizienten entstehen», Дж. Рейн Ангью. Математика. , 89 : 151–169
• Гершель М. Фаркаш, Ирвин Кра , Тета-константы, римановы поверхности и модулярная группа , Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, ISBN 978-0-8218-1392-8 (см. раздел 1.6) 
• Генрик Иванец , Спектральные методы автоморфных форм, второе издание , (2002) (Том 53 в Graduate Studies in Mathematics ), Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд ISBN 978-0-8218-3160-1 (См. Главу 2.) 
• Светлана Каток , Фуксовы группы (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 978-0-226-42583-2 
• Дэвид Мамфорд , Серия «Кэролайн» и Дэвид Райт, Жемчужины Индры: Видение Феликса Кляйна , (2002) Cambridge University Press ISBN 978-0-521-35253-6 . (Превосходное изложение теории и результатов, богато иллюстрированное диаграммами.) 
• Питер Дж. Николс, Эргодическая теория дискретных групп , (1989) Лондонское математическое общество, серия лекций 143, Cambridge University Press, Кембридж ISBN 978-0-521-37674-7 
• Пуанкаре, Анри (1882), «Теория фуксионных групп», Acta Mathematica , 1 , Springer Нидерланды: 1–62, doi : 10.1007/BF02592124 , ISSN  0001-5962, JFM  14.0338.01
• Винберг, Эрнест Б. (2001) [1994], "Фуксова группа", Энциклопедия математики , EMS Press