Корень единства

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденный материал может быть оспорен и удален. Найти источники:  "Root of unity" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике корень из единицы , иногда называемый числом Муавра , — это любое комплексное число , которое при возведении в некоторую положительную целую степень n дает 1. Корни из единицы используются во многих разделах математики и особенно важны в теории чисел , теории групповых характеров и дискретном преобразовании Фурье .

Корни из единицы могут быть определены в любом поле . Если характеристика поля равна нулю, корни являются комплексными числами, которые также являются целыми алгебраическими числами . Для полей с положительной характеристикой корни принадлежат конечному полю , и, наоборот , каждый ненулевой элемент конечного поля является корнем из единицы. Любое алгебраически замкнутое поле содержит ровно n n -ных корней из единицы, за исключением случая, когда n кратно (положительной) характеристике поля.

Корень n-й степени из единицы , где n — положительное целое число, — это число z , удовлетворяющее уравнению ^{[1] [2]} Если не указано иное, то корни из единицы могут быть приняты как комплексные числа (включая число 1 и число −1, если n четное , которые являются комплексными с нулевой мнимой частью ), и в этом случае корни n- й степени из единицы равны ^[3]$${\displaystyle z^{n}=1.}$$$${\displaystyle \exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.}$$

Однако определяющее уравнение корней из единицы имеет смысл над любым полем (и даже над любым кольцом ) F , и это позволяет рассматривать корни из единицы в F . Какое бы ни было поле F , корни из единицы в F являются либо комплексными числами, если характеристика F равна 0, либо, в противном случае, принадлежат конечному полю . Наоборот, каждый ненулевой элемент в конечном поле является корнем из единицы в этом поле. Подробнее см . Корень из единицы по модулю n и Конечное поле .

Говорят, что корень n-й степени из единицы равенпримитивно, если оно не являетсяm-й степени из единицы для некоторого меньшегоm, то есть если^[4][5]

${\displaystyle z^{n}=1\quad {\text{и}}\quad z^{m}\neq 1{\text{ для }}m=1,2,3,\ldots ,n-1.}$

Если n — простое число , то все корни степени n ^{из единицы, за исключением 1, являются примитивными. [6]}

В приведенной выше формуле в терминах показательных и тригонометрических функций примитивные корни степени n из единицы — это те, для которых k и n являются взаимно простыми целыми числами .

Последующие разделы этой статьи будут соответствовать комплексным корням из единицы. Для случая корней из единицы в полях ненулевой характеристики см. Конечное поле § Корни из единицы . Для случая корней из единицы в кольцах модульных целых чисел см. Корень из единицы по модулю n .

Каждый корень n-й степени из единицы z является примитивным корнем a- й степени из единицы для некоторого a ≤ n , которое является наименьшим положительным целым числом, таким что z ^a = 1 .

Любая целая степень корня n-й степени из единицы также является корнем n- й степени из единицы, ^[7] так как

${\displaystyle (z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.}$

Это также верно для отрицательных показателей. В частности, обратная величина корня n-й степени из единицы является ее комплексно сопряженной , и также является корнем n- й степени из единицы: ^[8]

${\displaystyle {\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.}$

Если z — корень n-й степени из единицы и a ≡ b (mod n ) , то z ^a = z ^b . Действительно, по определению сравнения по модулю n , a = b + kn для некоторого целого числа k , и, следовательно,

${\displaystyle z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}(z^{n})^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.}$

Следовательно, если задана степень z ^a числа z , то z ^a = z ^r , где 0 ≤ r < n — остаток от евклидова деления числа a на n .

Пусть z будет примитивным корнем n-й степени из единицы. Тогда степени z , z ² , ...,  z ^{n −1} , z ⁿ = z ⁰ = 1 являются корнями n-й степени из единицы и все различны. (Если z ^a = z ^b , где 1 ≤ a < b ≤ n , то z ^{b − a} = 1 , что означало бы, что z не будет примитивным.) Это означает, что z , z ² , ...,  z ^{n −1} , z ⁿ = z ⁰ = 1 являются корнями n-й степени из единицы, поскольку полиномиальное уравнение n- й степени над полем (в данном случае полем комплексных чисел) имеет не более n решений.

Из предыдущего следует, что если z является примитивным корнем n-й степени из единицы, то тогда и только тогда, когда Если z не является примитивным, то подразумевается, но обратное может быть ложным, как показано в следующем примере. Если n = 4 , то непримитивным корнем n-й степени из единицы является z = –1 , и мы имеем , хотя${\displaystyle z^{a}=z^{b}}$ ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}.}$${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$${\displaystyle z^{a}=z^{b},}$${\displaystyle z^{2}=z^{4}=1}$${\displaystyle 2\not \equiv 4{\pmod {4}}.}$

Пусть z будет примитивным корнем n-й степени из единицы. Степень w = z ^k числа z является примитивным корнем a- й степени из единицы для

${\displaystyle a={\frac {n}{\gcd(k,n)}},}$

где — наибольший общий делитель n и k . Это следует из того факта, что ka — наименьшее кратное k , которое также является кратным n . Другими словами, ka — наименьшее общее кратное k и n . Таким образом ${\displaystyle \gcd(k,n)}$

${\displaystyle a={\frac {\operatorname {lcm} (k,n)}{k}}={\frac {kn}{k\gcd(k,n)}}={\frac {n}{\gcd(k,n)}}.}$

Таким образом, если k и n взаимно просты , z k ^также является примитивным корнем n-й степени из единицы, и, следовательно, существует φ ( n ) различных примитивных корней n- й степени из единицы (где φ — функция Эйлера ). Это означает, что если n — простое число, то все корни, кроме +1, являются примитивными.

Другими словами, если R( n ) — множество всех корней n-й степени из единицы, а P( n ) — множество первообразных корней, то R( n ) является несвязным объединением P ( n ) :

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

где обозначение означает, что d проходит через все положительные делители n , включая 1 и n .

Поскольку мощность R ( n ) равна n , а мощность P( n ) равна φ ( n ) , это демонстрирует классическую формулу

${\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\varphi (d)=n.}$

Произведение и мультипликативная обратная величина двух корней из единицы также являются корнями из единицы. Фактически, если x ^m = 1 и y ⁿ = 1 , то ( x ⁻¹ ) ^m = 1 и ( xy ) ^k = 1 , где k — наименьшее общее кратное m и n .

Таким образом, корни из единицы образуют абелеву группу относительно умножения. Эта группа является подгруппой кручения группы окружности .

Для целого числа n произведение и мультипликативное обратное двух корней n- й степени из единицы также являются корнями n- й степени из единицы. Следовательно, корни n- й степени из единицы образуют абелеву группу относительно умножения.

Если дан примитивный корень n-й степени из единицы ω , то остальные корни n- й степени являются степенями ω . Это означает, что группа корней n -й степени из единицы является циклической группой . Стоит отметить, что термин циклическая группа возник из того факта, что эта группа является подгруппой группы окружности .

Пусть будет расширением поля рациональных чисел , порожденным примитивным корнем n- й степени из единицы ω . Поскольку каждый корень n- й степени из единицы является степенью ω , поле содержит все корни n- й степени из единицы и является расширением Галуа${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Если k — целое число, ω ^k — примитивный корень n-й степени из единицы тогда и только тогда, когда k и n взаимно просты . В этом случае отображение

${\displaystyle \omega \mapsto \omega ^{k}}$

индуцирует автоморфизм , который отображает каждый n- й корень из единицы в его k -ю степень. Каждый автоморфизм получается таким образом, и эти автоморфизмы образуют группу Галуа над полем рациональных чисел.${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$

Правила возведения в степень подразумевают, что композиция двух таких автоморфизмов получается путем умножения показателей. Из этого следует, что отображение

${\displaystyle k\mapsto \left(\omega \mapsto \omega ^{k}\right)}$

определяет групповой изоморфизм между единицами кольца целых чисел по модулю n и группой Галуа${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ).}$

Это показывает, что данная группа Галуа является абелевой , и подразумевает, таким образом, что примитивные корни единицы могут быть выражены через радикалы .

Действительная часть первообразных корней из единицы соотносится друг с другом как корни минимального многочлена Корни минимального многочлена равны всего лишь удвоенной действительной части; эти корни образуют циклическую группу Галуа.${\displaystyle 2\cos(2\pi /n).}$

Формула Муавра , которая верна для всех действительных x и целых чисел n , имеет вид

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

Установка x = ⁠2π/н⁠ дает примитивный корень n-й степени из единицы – получаем

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,}$

но

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1}$

для k = 1, 2, …, n − 1. Другими словами,

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

является примитивным корнем n-й степени из единицы.

Эта формула показывает, что в комплексной плоскости корни n- й степени из единицы находятся в вершинах правильного n -стороннего многоугольника, вписанного в единичную окружность , с одной вершиной в точке 1 (см. графики для n = 3 и n = 5 справа). Этот геометрический факт объясняет термин «циклотомический» в таких фразах, как циклотомическое поле и циклотомический многочлен ; он происходит от греческих корней «цикло» (круг) и «томос» (разрезать, делить).

Формула Эйлера

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

которая верна для всех действительных x , можно использовать, чтобы привести формулу для корней n-й степени из единицы к виду

${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.}$

Из обсуждения в предыдущем разделе следует, что это примитивный корень n- й степени тогда и только тогда, когда дробь ⁠к/н⁠ в низших терминах; то есть, что k и n взаимно просты. Иррациональное число , которое может быть выражено как действительная часть корня из единицы; то есть, как, называется тригонометрическим числом .${\displaystyle \cos(2\pi k/n)}$

Корни n-й степени из единицы по определению являются корнями многочлена x ⁿ − 1 и, таким образом, являются алгебраическими числами . Поскольку этот многочлен не является неприводимым (за исключением n = 1 ), примитивные корни n- й степени из единицы являются корнями неприводимого многочлена (над целыми числами) меньшей степени, называемого n-м циклотомическим многочленом и часто обозначаемого Φ _n . Степень Φ _n задается функцией Эйлера , которая подсчитывает (помимо прочего) количество примитивных корней n- й степени из единицы. ^[9] Корни Φ _n являются в точности примитивными корнями n- й степени из единицы.

Теорию Галуа можно использовать для того, чтобы показать, что циклотомические многочлены могут быть удобно решены в терминах радикалов. (Тривиальная форма неудобна, поскольку содержит непримитивные корни, такие как 1, которые не являются корнями циклотомического многочлена, и поскольку она не дает действительную и мнимую части отдельно.) Это означает, что для каждого положительного целого числа n существует выражение, построенное из целых чисел путем извлечения корней, сложения, вычитания, умножения и деления (и ничего больше), такое, что примитивные корни n- й степени из единицы являются в точности набором значений, которые могут быть получены путем выбора значений для извлечения корней ( k возможных значений для k- го корня). (Более подробную информацию см. в разделе Циклотомические поля ниже.)${\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}}$

Гаусс доказал , что примитивный корень n- й степени из единицы можно выразить, используя только квадратные корни , сложение, вычитание, умножение и деление , если и только если возможно построить с помощью циркуля и линейки правильный n -угольник . Это имеет место тогда и только тогда, когда n является либо степенью двойки , либо произведением степени двойки и простых чисел Ферма , которые все различны.

Если z является примитивным корнем n-й степени из единицы, то же самое верно для 1/ z , и является удвоенной действительной частью z . Другими словами, Φ _n является обратным многочленом , многочлен, который имеет r в качестве корня, может быть выведен из Φ _n с помощью стандартной манипуляции с обратными многочленами, а примитивные корни n- й степени из единицы могут быть выведены из корней путем решения квадратного уравнения То есть действительная часть примитивного корня равна , а его мнимая часть равна${\displaystyle r=z+{\frac {1}{z}}}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle z^{2}-rz+1=0.}$${\displaystyle {\frac {r}{2}},}$${\displaystyle \pm i{\sqrt {1-\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}}.}$

Многочлен является неприводимым многочленом, все корни которого действительны. Его степень является степенью двойки, если и только если n является произведением степени двойки на произведение (возможно, пустое ) различных простых чисел Ферма, и правильный n -угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки. В противном случае он разрешим в радикалах, но один из них находится в casus irreducibilis , то есть каждое выражение корней в терминах радикалов включает недействительные радикалы .${\displaystyle R_{n}}$

• При n = 1 циклотомический многочлен равен Φ ₁ ( x ) = x − 1. Следовательно, единственный примитивный первый корень из единицы равен 1, что является непримитивным корнем n- й степени из единицы для любого n > 1.
• Так как Φ ₂ ( x ) = x + 1 , то единственный примитивный второй (квадратный) корень из единицы равен −1, что также является непримитивным корнем n -й степени из единицы для любого четного n > 2. С учетом предыдущего случая это завершает список действительных корней из единицы.
• Так как Φ ₃ ( x ) = x ² + x + 1 , примитивные третьи ( кубические ) корни из единицы, которые являются корнями этого квадратного многочлена , равны$${\displaystyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$
• Так как Φ ₄ ( x ) = x ² + 1 , то два примитивных корня четвертой степени из единицы равны i и − i .
• Так как Φ ₅ ( x ) = x ⁴ + x ³ + x ² + x + 1 , четыре примитивных корня пятой степени из единицы являются корнями этого многочлена четвертой степени , который можно явно решить в терминах радикалов, что дает корни , где может принимать два значения 1 и −1 (одно и то же значение в двух вхождениях).$${\displaystyle {\frac {\varepsilon {\sqrt {5}}-1}{4}}\pm i{\frac {\sqrt {10+2\varepsilon {\sqrt {5}}}}{4}},}$$${\displaystyle \varepsilon }$
• Так как Φ ₆ ( x ) = x ² − x + 1 , то существует два примитивных корня шестой степени из единицы, которые являются отрицательными (а также квадратными корнями) двух примитивных кубических корней:$${\displaystyle {\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ {\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$
• Так как 7 не является простым числом Ферма, корни седьмой степени из единицы являются первыми, требующими кубических корней . Существует 6 примитивных седьмых корней из единицы, которые попарно комплексно сопряжены . Сумма корня и его сопряженного элемента равна удвоенной его действительной части. Эти три суммы являются тремя действительными корнями кубического многочлена , а примитивные седьмые корни из единицы находятся там, где r пробегает корни указанного выше многочлена. Как и для каждого кубического многочлена, эти корни могут быть выражены через квадратные и кубические корни. Однако, поскольку все эти три корня действительны, это casus irreducibilis , и любое такое выражение включает в себя недействительные кубические корни.${\displaystyle r^{3}+r^{2}-2r-1,}$$${\displaystyle {\frac {r}{2}}\pm i{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{4}}}},}$$
• Так как Φ ₈ ( x ) = x ⁴ + 1 , четыре примитивных корня восьмой степени из единицы являются квадратными корнями примитивных корней четвертой степени, ±  i . Таким образом, они$${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$$
• Действительную часть корня 17-й степени из единицы см. в разделе Гептадекагон .

Если z — примитивный корень n-й степени из единицы, то последовательность степеней

… ,  z ⁻¹ ,  z ⁰ ,  z ¹ , …

является n -периодической (потому что z ^{j  +  n} = z ^j z ⁿ = z ^j для всех значений j ), а n последовательностей степеней

s _k : … ,  z ^{k ⋅(−1)} ,  z ^{k ⋅0} ,  z ^{k ⋅1} , …

для k = 1, … ,  n все являются n -периодическими (потому что z ^{k ⋅( j  +  n )} = z ^{k ⋅ j} ). Более того, множество { s ₁ , … ,  s _n } этих последовательностей является базисом линейного пространства всех n -периодических последовательностей. Это означает, что любая n -периодическая последовательность комплексных чисел

… ,  х ₋₁  ,  х ₀  ,  х ₁ , …

может быть выражена как линейная комбинация степеней примитивного корня n- й степени из единицы:

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}X_{k}\cdot z^{k\cdot j}=X_{1}z^{1\cdot j}+\cdots +X_{n}\cdot z^{n\cdot j}}$

для некоторых комплексных чисел X ₁ , … ,  X _n и каждого целого числа j .

Это форма анализа Фурье . Если j — (дискретная) временная переменная, то k — частота , а X _k — комплексная амплитуда .

Выбор примитивного корня n-й степени из единицы

${\displaystyle z=e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

позволяет выразить x _j как линейную комбинацию cos и sin :

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}A_{k}\cos {\frac {2\pi jk}{n}}+\sum _{k}B_{k}\sin {\frac {2\pi jk}{n}}.}$

Это дискретное преобразование Фурье .

Пусть SR( n ) будет суммой всех n -х корней из единицы, примитивных или нет. Тогда

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1.\end{cases}}}$

Это непосредственное следствие формул Виета . Фактически, корни n- й степени из единицы являются корнями многочлена X ⁿ – 1 , их сумма является коэффициентом степени n – 1 , который равен либо 1, либо 0 в зависимости от того, n = 1 или n > 1 .

В качестве альтернативы, при n = 1 доказывать нечего, а при n > 1 существует корень z ≠ 1 – поскольку множество S всех корней степени n из единицы является группой , z  S = S , поэтому сумма удовлетворяет z SR( n ) = SR( n ) , откуда SR( n ) = 0 .

Пусть SP( n ) — сумма всех примитивных корней n-й степени из единицы. Тогда

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\mu (n),}$

где μ ( n ) — функция Мёбиуса .

В разделе Элементарные свойства было показано, что если R( n ) — множество всех корней n-й степени из единицы, а P( n ) — множество первообразных корней, то R( n ) является несвязным объединением P( n ) :

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

Это подразумевает

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)=\sum _{d\,|\,n}\operatorname {SP} (d).}$

Применение формулы обращения Мёбиуса дает

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\sum _{d\,|\,n}\mu (d)\operatorname {SR} \left({\frac {n}{d}}\right).}$

В этой формуле, если d < n , то SR( ⁠н/г⁠ ) ​​= 0 , а для d = n : SR( ⁠н/г⁠ ) ​​= 1. Следовательно, SP( n ) = μ ( n ) .

Это частный случай c _n (1) суммы Рамануджана c _n ( s ) ^[10] , определяемой как сумма s -х степеней примитивных корней n-й степени из единицы:

${\displaystyle c_{n}(s)=\sum _{a=1 \atop \gcd(a,n)=1}^{n}e^{2\pi i{\frac {a}{n}}s}.}$

Из формулы суммирования следует соотношение ортогональности : для j  = 1, … ,  n и j′  = 1, … ,  n

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {z^{j\cdot k}}}\cdot z^{j'\cdot k}=n\cdot \delta _{j,j'}}$

где δ — символ Кронекера , а z — любой примитивный корень n-й степени из единицы.

Матрица U размером n  ×  n, чей элемент ( j ,  k ) равен

${\displaystyle U_{j,k}=n^{-{\frac {1}{2}}}\cdot z^{j\cdot k}}$

определяет дискретное преобразование Фурье . Вычисление обратного преобразования с использованием исключения Гаусса требует O ( n ³ ) операций. Однако из ортогональности следует, что U является унитарным . То есть,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {U_{j,k}}}\cdot U_{k,j'}=\delta _{j,j'},}$

и, таким образом, обратная величина U — это просто комплексно сопряженная величина. (Этот факт был впервые отмечен Гауссом при решении задачи тригонометрической интерполяции .) Прямое применение U или ее обратной величины к заданному вектору требует O ( n ² ) операций. Алгоритмы быстрого преобразования Фурье сокращают количество операций еще больше до O ( n  log  n ) .

Нули многочлена​

${\displaystyle p(z)=z^{n}-1}$

являются в точности корнями n- й степени из единицы, каждый с кратностью 1. n- й циклотомический многочлен определяется тем фактом, что его нули являются в точности примитивными корнями n- й степени из единицы, каждый с кратностью 1.

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}(z-z_{k})}$

где z ₁ ,  z ₂ ,  z ₃ , …, z _{φ( n )} — примитивные корни n-й степени из единицы, а φ( n ) — функция Эйлера . Многочлен Φ _n ( z ) имеет целые коэффициенты и является неприводимым многочленом над рациональными числами (то есть его нельзя записать как произведение двух многочленов положительной степени с рациональными коэффициентами). ^[9] Случай простого n , который проще общего утверждения, следует из применения критерия Эйзенштейна к многочлену

${\displaystyle {\frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},}$

и расширяется с помощью биномиальной теоремы .

Каждый корень n-й степени из единицы является примитивным корнем d- й степени из единицы для ровно одного положительного делителя d числа n . Это подразумевает, что ^[9]

${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{d\,|\,n}\Phi _{d}(z).}$

Эта формула представляет собой разложение многочлена z ⁿ − 1 на неприводимые множители:

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\\\end{aligned}}}$

Применение инверсии Мёбиуса к формуле дает

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{\frac {n}{d}}-1\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},}$

где μ — функция Мёбиуса . Таким образом, первые несколько циклотомических полиномов — это

Φ ₁ ( z ) = z − 1

Φ ₂ ( z ) знак равно ( z ² - 1)⋅( z - 1) ^-1 знак равно z + 1

Φ ₃ ( z ) знак равно ( z ³ - 1)⋅( z - 1) ^-1 знак равно z ² + z + 1

Φ ₄ ( z ) знак равно ( z ⁴ - 1)⋅ ( z ² - 1) ^-1 знак равно z ² + 1

Φ ₅ ( z ) знак равно ( z ⁵ - 1)⋅ ( z - 1) ^{-1 знак равно} z 4 ⁺ z 3 ⁺ z 2 ⁺ z + 1

Φ ₆ ( z ) знак равно ( z ⁶ - 1)⋅( z ³ - 1) ^-1 ⋅( z ² - 1) ^-1 ⋅( z - 1) знак равно z ² - z + 1

Φ ₇ ( z ) знак равно ( z ⁷ - 1)⋅ ( z - 1) ^{-1 знак} равно z ⁶ + z ⁵ + z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₈ ( z ) знак равно ( z ⁸ - 1)⋅( z ⁴ - 1) ^-1 знак равно z ⁴ + 1

Если p — простое число , то все корни p- й степени из единицы, за исключением 1, являются примитивными корнями p- й степени. Следовательно, ^[6] Подставляя любое положительное целое число ≥ 2 вместо z , эта сумма становится основанием z repunit . Таким образом, необходимым (но не достаточным) условием для того, чтобы repunit был простым, является то, чтобы его длина была простой.$${\displaystyle \Phi _{p}(z)={\frac {z^{p}-1}{z-1}}=\sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.}$$

Обратите внимание, что, вопреки первому впечатлению, не все коэффициенты всех циклотомических многочленов равны 0, 1 или −1. Первым исключением является Φ ₁₀₅ . Неудивительно, что на получение примера уходит так много времени, поскольку поведение коэффициентов зависит не столько от n , сколько от того, сколько нечетных простых множителей появляется в n . Точнее, можно показать, что если n имеет 1 или 2 нечетных простых множителя (например, n  = 150 ), то n -й циклотомический многочлен имеет только коэффициенты 0, 1 или −1. Таким образом, первое мыслимое n , для которого может быть коэффициент, кроме 0, 1 или −1, является произведением трех наименьших нечетных простых чисел, и это 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105 . Это само по себе не доказывает, что 105-й многочлен имеет другой коэффициент, но показывает, что это первый, который вообще имеет шанс работать (и затем вычисление коэффициентов показывает, что это так). Теорема Шура гласит, что существуют циклотомические многочлены с коэффициентами, произвольно большими по абсолютной величине . В частности, если где — нечетные простые числа, а t — нечетное число, то 1 − t встречается как коэффициент в n -м циклотомическом многочлене. ^[11]${\displaystyle n=p_{1}p_{2}\cdots p_{t},}$${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{t}}$${\displaystyle p_{1}+p_{2}>p_{t},}$

Известно много ограничений относительно значений, которые циклотомические многочлены могут принимать при целых числах. Например, если p — простое число, то d  ∣ Φ _p ( d ) тогда и только тогда, когда d ≡ 1 (mod p ) .

Циклотомические многочлены разрешимы в радикалах , поскольку корни из единицы сами являются радикалами. Более того, существуют более информативные радикальные выражения для корней n- й степени из единицы с дополнительным свойством ^[12] , что каждое значение выражения, полученное выбором значений радикалов (например, знаков квадратных корней), является примитивным корнем n- й степени из единицы. Это было показано еще Гауссом в 1797 году. ^[13] Существуют эффективные алгоритмы для вычисления таких выражений. ^[14]

Корни n-й степени из единицы образуют при умножении циклическую группу порядка n , и фактически эти группы включают в себя все конечные подгруппы мультипликативной группы поля комплексных чисел. Генератором для этой циклической группы является примитивный корень n-й степени из единицы.

Корни n-й степени из единицы образуют неприводимое представление любой циклической группы порядка n . Соотношение ортогональности также следует из групповых теоретических принципов, описанных в разделе Группа характеров .

Корни единицы появляются как элементы собственных векторов любой циркулянтной матрицы ; то есть матриц, которые инвариантны относительно циклических сдвигов, факт, который также следует из теории представления групп как вариант теоремы Блоха . ^{[15] [ нужна страница ]} В частности, если рассматривается циркулянтная эрмитова матрица (например, дискретизированный одномерный лапласиан с периодическими границами ^[16] ), свойство ортогональности немедленно следует из обычной ортогональности собственных векторов эрмитовых матриц.

Присоединяя примитивный корень n-й степени из единицы, получаем n- е циклотомическое поле. Это поле содержит все n- е корни из единицы и является полем разложения n- го циклотомического многочлена над. Расширение поля имеет степень φ( n ), а его группа Галуа естественно изоморфна мультипликативной группе единиц кольца${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n)).}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$

Так как группа Галуа абелева, это абелево расширение . Каждое подполе циклотомического поля является абелевым расширением рациональных чисел. Из этого следует, что каждый n-й корень из единицы может быть выражен в терминах k -корней, с различными k, не превосходящими φ( n ) . В этих случаях теория Галуа может быть явно записана в терминах гауссовых периодов : эта теория из Disquisitiones Arithmeticae Гаусса была опубликована за много лет до Галуа. ^[17]${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$

Наоборот, каждое абелево расширение рациональных чисел является таким подполем циклотомического поля – это содержание теоремы Кронекера , обычно называемой теоремой Кронекера–Вебера на том основании, что Вебер завершил доказательство.

При n = 1, 2 оба корня из единицы 1 и −1 являются целыми числами .

Для трех значений n корни из единицы являются квадратными целыми числами :

• Для n = 3, 6 они являются целыми числами Эйзенштейна ( D = −3 ).
• При n = 4 они являются гауссовыми целыми числами ( D = −1 ): см. Мнимая единица .

Для четырех других значений n первообразные корни из единицы не являются квадратными целыми числами, но сумма любого корня из единицы с его комплексно сопряженным (также корнем n- й степени из единицы) является квадратным целым числом.

При n = 5, 10 ни один из недействительных корней из единицы (удовлетворяющих уравнению четвертой степени ) не является квадратным целым числом, но сумма z + z = 2  Re z каждого корня с его комплексно сопряженным (также корнем 5-й степени из единицы) является элементом кольца Z [ ⁠1 +  √ 5/2⁠ ] ( D = 5). Для двух пар недействительных корней пятой степени из единицы эти суммы являютсяобратной золотой пропорциейиотрицательнойзолотой пропорцией.

При n = 8 для любого корня из единицы z + z равно либо 0, ±2, либо ± √ 2 ( D = 2 ).

При n = 12 для любого корня из единицы z + z равно либо 0, ±1, ±2, либо ± √ 3 ( D = 3 ).

• система Арганда
• Группа круга , единичные комплексные числа
• Циклотомическое поле
• Групповая схема корней из единицы
• Характер Дирихле
• Сумма Рамануджана
• Вектор Витта
• персонаж Тейхмюллера

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001
• Милн, Джеймс С. (1998). «Алгебраическая теория чисел». Заметки к курсу .
• Милн, Джеймс С. (1997). «Теория полей классов». Заметки к курсу .
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Нойкирх, Юрген (1986). Теория полей классов . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-15251-2.
• Вашингтон, Лоуренс К. (1997). Введение в циклотомические поля (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94762-0.
• Дербишир, Джон (2006). «Корни единства». Неизвестное количество . Вашингтон, округ Колумбия: Joseph Henry Press . ISBN 0-309-09657-X.