Ричард Шён
американский математик
Ричард Шён
Шен в 2015 году
Рожденный( 1950-10-23 )23 октября 1950 г. (73 года)
Форт-Рекавери, Огайо , США [15]
Национальностьамериканский
Альма-матерДейтонский университет ( бакалавр наук ),
Стэнфордский университет ( доктор философии )
Известный
СупругДорис Фишер-Колбри
Награды
Научная карьера
ПоляМатематика
УчрежденияИнститут Куранта, Нью-Йоркский университет
, Стэнфордский университет

Калифорнийский университет в Ирвайне
Калифорнийский университет в Сан-Диего
Тезис
Теоремы существования и регулярности для некоторых геометрических вариационных задач
научный руководитель
Докторанты

Ричард Мелвин Шен (родился 23 октября 1950 года) — американский математик, известный своими работами в области дифференциальной геометрии и геометрического анализа . Он наиболее известен решением проблемы Ямабэ в 1984 году и своими работами по гармоническим отображениям .

Ранняя жизнь и образование

Шен родился в Селине, штат Огайо , 23 октября 1950 года. В 1968 году он окончил среднюю школу Форт-Рекавери. Он получил степень бакалавра в области математики в Дейтонском университете . Затем он получил степень доктора философии в 1977 году в Стэнфордском университете .

Карьера

После преподавательских должностей в Институте Куранта, Нью-Йоркском университете , Калифорнийском университете в Беркли и Калифорнийском университете в Сан-Диего , он был профессором Стэнфордского университета с 1987 по 2014 год, а с 1992 года — профессором гуманитарных и естественных наук . [16] В настоящее время он является заслуженным профессором и заведующим кафедрой преподавания в Калифорнийском университете в Ирвайне . [17] Его фамилия произносится как «Шейн».

Шен получил стипендию NSF Graduate Research Fellowship в 1972 году и стипендию Sloan Research Fellowship в 1979 году . [1] Шен является стипендиатом MacArthur Fellowship 1983 года . [2] Его трижды приглашали выступить на Международном конгрессе математиков (ICM) , в том числе дважды в качестве пленарного докладчика . [18] В 1983 году он был приглашенным докладчиком на ICM в Варшаве , в 1986 году он был пленарным докладчиком на ICM в Беркли , а в 2010 году он был пленарным докладчиком на ICM в Хайдарабаде . За свою работу над проблемой Ямабэ Шен был награжден Мемориальной премией Бохера в 1989 году. [4]

В 1988 году он был избран в Американскую академию искусств и наук, а в 1991 году — в Национальную академию наук , в 1995 году стал членом Американской ассоциации содействия развитию науки , а в 1996 году выиграл стипендию Гуггенхайма . [3] [5] [6] В 2012 году он стал членом Американского математического общества . [7] В 2014–15 годах он получил премию декана за достижения в преподавании в течение всей жизни от Стэнфордского университета. [8] В 2015 году он был избран вице-президентом Американского математического общества . [19] В 2015 году он был удостоен звания почетного доктора наук от Уорикского университета. [20] В 2017 году он получил премию Вольфа по математике , которую разделил с Чарльзом Фефферманом . [21] В том же году он был награжден премией имени Хайнца Хопфа , медалью и премией Лобачевского Казанского федерального университета , а также премией имени Рольфа Шока . [22] [23] [24]

У него было более 44 докторантов, в том числе Хьюберт Брей , Хосе Ф. Эскобар , Айлана Фрейзер , Чикако Мезе , Уильям Миникоцци и Андре Невес . [25]

Шён исследовал использование аналитических методов в глобальной дифференциальной геометрии и внес ряд фундаментальных вкладов в теорию регулярности минимальных поверхностей и гармонических отображений.

Гармонические карты

В 1976 году Шен и Шинг-Тунг Яу использовали более ранние теоремы Лиувилля Яу , чтобы распространить явления жесткости, обнаруженные ранее Джеймсом Иллсом и Джозефом Сэмпсоном, на некомпактные установки. [26] [27] Определив определенное взаимодействие тождества Бохнера для гармонических отображений вместе со второй вариацией формулы площади для минимальных гиперповерхностей, они также определили некоторые новые условия на области, приводящие к тому же выводу. Эти теоремы жесткости дополняются их теоремой существования для гармонических отображений на некомпактных областях, как простое следствие решения Ричарда Гамильтона краевой задачи Дирихле. [28] Как следствие, они обнаружили некоторые поразительные геометрические результаты, такие как то, что некоторые некомпактные многообразия не допускают никаких полных метрик неотрицательной кривизны Риччи.

В двух работах 1980-х годов Шен и Карен Уленбек внесли основополагающий вклад в теорию регулярности минимизирующих энергию гармонических отображений . Разработанные ими методы, широко использующие формулы монотонности, оказали большое влияние на область геометрического анализа и были адаптированы к ряду других проблем. К их фундаментальным выводам относятся теоремы компактности для множеств гармонических отображений и контроль над размером соответствующих сингулярных множеств. Леон Саймон применил такие результаты для получения ясной картины мелкомасштабной геометрии минимизирующих энергию гармонических отображений. [29]

Позже Михаил Громов понял, что расширение теории гармонических отображений, допускающее значения в метрических пространствах, а не в римановых многообразиях , будет иметь ряд важных приложений, с аналогами классической теоремы о жесткости Иллса-Сэмпсона, дающими новые теоремы о жесткости для решеток . Интенсивные аналитические детали такой теории были разработаны Шоеном. Дальнейшие основы этого нового контекста для гармонических отображений были заложены Шоеном и Николасом Коревааром.

Минимальные поверхности, положительная скалярная кривизна и теорема о положительной массе

В 1979 году Шен и его бывший научный руководитель Шинг-Тунг Яу внесли ряд весьма влиятельных вкладов в изучение положительной скалярной кривизны . С помощью элементарной, но новой комбинации уравнения Гаусса , формулы для второй вариации площади и теоремы Гаусса-Бонне Шен и Яу смогли исключить существование нескольких типов устойчивых минимальных поверхностей в трехмерных многообразиях положительной скалярной кривизны. Сопоставляя этот результат с их аналитически глубокой теоремой, устанавливающей существование таких поверхностей, они смогли достичь ограничений, на которых многообразия могут допускать метрику положительной скалярной кривизны. Шен и Дорис Фишер-Колбри позже предприняли более широкое исследование устойчивых минимальных поверхностей в трехмерных многообразиях, используя вместо этого анализ оператора устойчивости и его спектральных свойств.

Индуктивный аргумент, основанный на существовании стабильных минимальных гиперповерхностей, позволил им распространить свои результаты на более высокие размерности. Дальнейшие аналитические методы облегчили применение топологических операций на многообразиях, которые допускают метрики положительной скалярной кривизны, показав, что класс таких многообразий топологически богат. Михаил Громов и Х. Блейн Лоусон получили похожие результаты другими методами, также проведя более глубокий анализ топологических последствий. [30] [31]

Распространив свои методы на некомпактные многообразия, Шен и Яу смогли разрешить важный риманов случай теоремы о положительной массе в общей теории относительности , который можно рассматривать как утверждение о геометрическом поведении вблизи бесконечности некомпактных многообразий с положительной скалярной кривизной. Как и их первоначальные результаты, аргумент основан на противоречии. Более конструктивный аргумент, использующий теорию гармонических спиноров вместо минимальных гиперповерхностей, был позже найден Эдвардом Виттеном . [32] [33] [34]

Шён, Яу и Леон Саймон определили простую комбинацию формулы Саймонса с формулой для второй вариации площади, которая дает важные оценки кривизны для устойчивых минимальных гиперповерхностей малых размерностей. В 1983 году Шён получил похожие оценки в частном случае двумерных поверхностей, используя существование изотермических координат . Немного более слабые оценки были получены Шёном и Саймоном, хотя и без каких-либо ограничений по размерности. Фундаментальные следствия оценок Шёна-Саймона включают теоремы компактности для устойчивых минимальных гиперповерхностей, а также контроль над размером «особых множеств». В частности, оценки Шёна-Саймона являются важным инструментом в теории минимума-макса Альмгрена-Питтса , которая нашла ряд приложений.

Возможное наличие сингулярных множеств ограничивает размерности, в которых индуктивные аргументы Шёна и Яу могут быть легко реализованы. Между тем существенное использование Виттеном спиноров ограничивает его результаты топологически особыми случаями. Таким образом, общий случай теоремы о положительной массе в высших измерениях остался основной открытой проблемой в работе Шёна и Яу 1979 года. В 1988 году они решили проблему в произвольной размерности в особом случае, когда тензор Вейля равен нулю; это имело важное значение в конформной геометрии. В 2017 году они выпустили препринт, заявляющий об общем случае, в котором они имеют дело непосредственно с сингулярными множествами минимальных гиперповерхностей.

Проблема Ямабэ и конформная геометрия

В 1960 году Хидехико Ямабэ ввел «функционал Ямабэ» на конформном классе римановых метрик и продемонстрировал, что критическая точка будет иметь постоянную скалярную кривизну . [35] Он добился частичного прогресса в доказательстве того, что критические точки должны существовать, что было продолжено Нилом Трудингером и Тьерри Обеном . [36] [37] Работа Обена, в частности, разрешила случаи высокой размерности или когда существует точка, в которой тензор Вейля не равен нулю. В 1984 году Шен разрешил случаи, оставшиеся открытыми в работе Обена, решающая точка которой перемасштабировала метрику с помощью функции Грина оператора Лапласа-Бельтрами . Это позволило применить теорему Шена и Яу о положительной массе к полученной метрике, что дало важную асимптотическую информацию об исходной метрике. Работы Ямабэ, Трудингера, Обина и Шёна вместе составляют решение проблемы Ямабэ , которая утверждает, что в каждом конформном классе существует метрика постоянной скалярной кривизны.

В 1989 году Шёну также удалось адаптировать пузырьковый анализ Карен Уленбек , разработанный для других геометрически-аналитических задач, к заданию постоянной скалярной кривизны. [38] [39] Уникальность критических точек функционала Ямабэ и, в более общем плане, компактность множества всех критических точек — это тонкий вопрос, впервые исследованный Шёном в 1991 году. Более полные результаты были позднее получены Саймоном Брендлом , Маркусом Кури, Фернандо Кода Маркесом и Шёном.

Теорема о дифференцируемой сфере

В 1980-х годах Ричард Гамильтон ввел поток Риччи и доказал ряд результатов о сходимости, особенно для двух- и трехмерных пространств. [40] [41] Хотя он и другие нашли частичные результаты в высоких размерностях, прогресс был остановлен трудностью понимания сложного тензора кривизны Римана . [42] Саймон Брендл и Шен смогли доказать, что положительность «изотропной кривизны» Марио Микаллефа и Джона Мура сохраняется потоком Риччи в любой размерности, факт, независимо доказанный Хюи Нгуеном. [43] [44] Брендл и Шен смогли далее связать свое условие положительности с положительностью секционной кривизны и оператора кривизны , что позволило им использовать недавние алгебраические идеи Кристофа Бема и Буркхарда Вилкинга, тем самым получив новую теорему о сходимости для потока Риччи. [45] Частный случай их теоремы о сходимости имеет в качестве простого следствия теорему о дифференцируемой сфере , которая была хорошо известной гипотезой при изучении положительной секционной кривизны в течение последних пятидесяти лет.

Избранные публикации

  • Шен, Р.; Саймон, Л .; Яу, СТ (1975). «Оценки кривизны минимальных гиперповерхностей». Acta Mathematica . 134 (3–4): 275–288. doi : 10.1007/BF02392104 . MR  0423263. Zbl  0323.53039.
  • Шен, Ричард; Яу, Шинг Тунг (1976). «Гармонические отображения и топология устойчивых гиперповерхностей и многообразий с неотрицательной кривизной Риччи». Commentarii Mathematici Helvetici . 51 (3): 333–341. doi :10.1007/BF02568161. MR  0438388. S2CID  120845708. Zbl  0361.53040.
  • Schoen, R.; Yau, Shing Tung (1979). «Существование несжимаемых минимальных поверхностей и топология трехмерных многообразий с неотрицательной скалярной кривизной». Annals of Mathematics . Вторая серия. 110 (1): 127–142. doi :10.2307/1971247. JSTOR  1971247. MR  0541332. S2CID  118216230. Zbl  0431.53051.
  • Шен, Р.; Яу, СТ (1979). «О структуре многообразий с положительной скалярной кривизной». Manuscripta Mathematica . 28 (1–3): 159–183. doi :10.1007/BF01647970. MR  0535700. S2CID  121008386. Zbl  0423.53032.
  • Шен, Ричард; Яу, Шинг Тунг (1979). «О доказательстве гипотезы о положительной массе в общей теории относительности». Сообщения по математической физике . 65 (1): 45–76. Bibcode :1979CMaPh..65...45S. doi :10.1007/BF01940959. MR  0526976. S2CID  54217085. Zbl  0405.53045.
  • Фишер-Колбри, Дорис ; Шен, Ричард (1980). «Структура полных устойчивых минимальных поверхностей в 3-многообразиях неотрицательной скалярной кривизны». Сообщения по чистой и прикладной математике . 33 (2): 199–211. CiteSeerX  10.1.1.1081.96 . doi :10.1002/cpa.3160330206. MR  0562550. Zbl  0439.53060.
  • Шен, Ричард; Саймон, Леон (1981). «Регулярность стабильных минимальных гиперповерхностей». Сообщения по чистой и прикладной математике . 34 (6): 741–797. doi :10.1002/cpa.3160340603. MR  0634285. S2CID  124924186. Zbl  0497.49034.
  • Шен, Ричард; Яу, Шинг Тунг (1981). «Доказательство теоремы о положительной массе. II». Сообщения по математической физике . 79 (2): 231–260. Bibcode :1981CMaPh..79..231S. doi :10.1007/BF01942062. MR  0612249. S2CID  59473203. Zbl  0494.53028.
  • Шен, Ричард; Уленбек, Карен (1982). «Теория регулярности для гармонических отображений». Журнал дифференциальной геометрии . 17 (2): 307–335. doi : 10.4310/jdg/1214436923 . MR  0664498. Zbl  0521.58021. (Ошибка:  doi : 10.4310/jdg/1214437667)
  • Schoen, Richard (1983). "Оценки для устойчивых минимальных поверхностей в трехмерных многообразиях". В Bombieri, Enrico (ред.). Семинар по минимальным подмногообразиям . Annals of Mathematics Studies. Том 103. Princeton, NJ: Princeton University Press . стр. 111–126. doi :10.1515/9781400881437-006. ISBN 0-691-08324-X. MR  0795231. S2CID  118467538. Збл  0532.53042.
  • Шен, Ричард; Уленбек, Карен (1983). «Граничная регулярность и задача Дирихле для гармонических отображений». Журнал дифференциальной геометрии . 18 (2): 253–268. doi : 10.4310/jdg/1214437663 . MR  0710054. Zbl  0547.58020.
  • Шен, Ричард (1984). «Конформная деформация римановой метрики к постоянной скалярной кривизне». Журнал дифференциальной геометрии . 20 (2): 479–495. doi : 10.4310/jdg/1214439291 . MR  0788292. Zbl  0576.53028.
  • Schoen, Richard M. (1984). "Аналитические аспекты проблемы гармонического отображения". В Chern, SS (ред.). Семинар по нелинейным уравнениям в частных производных . Семинар проводился в Научно-исследовательском институте математических наук, Беркли, Калифорния, 9 мая 1983 г. Публикации Научно-исследовательского института математических наук. Том 2. Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. 321–358. doi :10.1007/978-1-4612-1110-5_17. ISBN 0-387-96079-1. MR  0765241. S2CID  118833790. Збл  0551.58011.
  • Шен, Р.; Яу, С.-Т. (1988). «Конформно плоские многообразия, клейновы группы и скалярная кривизна». Inventiones Mathematicae . 92 (1): 47–71. Bibcode :1988InMat..92...47S. doi :10.1007/BF01393992. MR  0931204. S2CID  59029712. Zbl  0658.53038.
  • Schoen, Richard M. (1989). "Вариационная теория для функционала полной скалярной кривизны для римановых метрик и смежные темы". В Giaquinta, M. (ред.). Темы вариационного исчисления . Вторая сессия CIME, состоявшаяся в Монтекатини-Терме, 20–28 июля 1987 г. Lecture Notes in Mathematics . Том 1365. Берлин: Springer . С. 120–154. CiteSeerX  10.1.1.599.8478 . doi :10.1007/BFb0089180. ISBN 3-540-50727-2. MR  0994021. Zbl  0702.49038.
  • Schoen, Richard M. (1991). «О числе постоянных скалярных метрик кривизны в конформном классе». В Lawson, Blaine ; Tenenblat, Keti (ред.). Дифференциальная геометрия . Симпозиум в честь Манфредо ду Кармо. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. Том 52. Harlow: Longman Scientific and Technical . стр. 311–320. ISBN 0-582-05590-3. MR  1173050. Zbl  0733.53021.
  • Громов, Михаил ; Шен, Ричард (1992). «Гармонические отображения в сингулярные пространства и p-адическая сверхжесткость решеток в группах ранга один». Публикации Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 76 : 165–246. дои : 10.1007/bf02699433. MR  1215595. S2CID  118023776. Збл  0896.58024.
  • Кореваар, Николас Дж.; Шен, Ричард М. (1993). «Пространства Соболева и гармонические отображения для целей метрического пространства». Сообщения по анализу и геометрии . 1 (3–4): 561–659. doi : 10.4310/CAG.1993.v1.n4.a4 . MR  1266480. Zbl  0862.58004.
  • Брендл, Саймон ; Шен, Ричард (2009). «Многообразия с 1/4-защемленной кривизной являются пространственными формами». Журнал Американского математического общества . 22 (1): 287–307. arXiv : 0705.0766 . Bibcode : 2009JAMS...22..287B. doi : 10.1090/s0894-0347-08-00613-9 . MR  2449060. Zbl  1251.53021.

Учебники

  • Schoen, R.; Yau, S.-T. (1994). Lectures on Differential Geometry . Conference Proceedings and Lecture Notes in Geometry and Topology. Vol. 1. Lecture Notes, подготовленные Wei Yue Ding, Kung Ching Chang, Jia Qing Zhong и Yi Chao Xu. Перевод с китайского Ding и SY Cheng. Предисловие переведено с китайского Kaising Tso. Cambridge, MA: International Press. ISBN 1-57146-012-8. MR  1333601. Zbl  0830.53001.
  • Шен, Р.; Яу, СТ (1997). Лекции по гармоническим отображениям . Труды конференций и заметки лекций по геометрии и топологии. Том 2. Кембридж, Массачусетс: International Press. ISBN 1-57146-002-0. MR  1474501. Zbl  0886.53004.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab "База данных стипендиатов | Фонд Альфреда П. Слоуна". sloan.org .
  2. ^ ab "Ричард М. Шен". www.macfound.org .
  3. ^ ab "Ричард Мелвин Шен". Американская академия искусств и наук .
  4. ^ ab "Просмотр призов и наград". Американское математическое общество .
  5. ^ ab "Ричард М. Шен". www.nasonline.org .
  6. ^ ab "Ричард М. Шен". Мемориальный фонд Джона Саймона Гуггенхайма .
  7. ^ ab Список членов Американского математического общества, получен 14 июля 2013 г.
  8. ^ ab "Премии декана H&S за преподавание | Стэнфордские гуманитарные и естественные науки". humsci.stanford.edu .
  9. ^ «Уорик чествует лауреатов Нобелевской премии, ведущего кинорежиссера, журналиста, глав CBI и TUC, индонезийского писателя, гуру путешествий и главу Британской библиотеки». warwick.ac.uk .
  10. ^ «Список всех почетных выпускников и обладателей медалей канцлера». warwick.ac.uk .
  11. ^ "Ричард Шон". 12 декабря 2018 г.
  12. ^ "Премия Хайнца Хопфа и лекции". math.ethz.ch .
  13. ^ «Ричард Шён объявлен лауреатом медали и премии Лобачевского 2017 года».
  14. ^ "Рольф Шокпризен". Кунгл. Ветенскапсакадемия .
  15. ^ "Ричард Мелвин Шен". Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия . Получено 6 января 2017 г.
  16. ^ "Профиль Ричарда Шёна | Профили Стэнфорда". profiles.stanford.edu .
  17. ^ "Ричард Шоен | Математика Калифорнийского университета в Ирвайне". www.math.uci.edu .
  18. ^ "Пленарное заседание ICM и приглашенные докладчики | Международный математический союз (IMU)". www.mathunion.org .
  19. ^ "Комитеты AMS". Американское математическое общество .
  20. ^ «Почетные речи выпускников – лето 2015 г.». warwick.ac.uk .
  21. ^ "Фонд Вольфа – "Лауреат премии Вольфа имени Ричарда Шёна по математике – 2017"".
  22. ^ "Лауреат 2017". math.ethz.ch .
  23. ^ "Объявлено имя лауреата медали Н.И. Лобачевского и премии - Медали Н.И. Лобачевского". Медаль им. Н.И. Лобачевского . 23 октября 1950 года . Проверено 20 ноября 2022 г.
  24. ^ «Благодарность за премию Рольфа Шока Ричарду Шоену».
  25. ^ "Ричард Шоен – Проект генеалогии математики". www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu . Получено 12.03.2019 .
  26. ^ Яу, Шинг Тунг. Некоторые функциональные теоретико-правовые свойства полного риманова многообразия и их приложения к геометрии. Indiana Univ. Math. J. 25 (1976), № 7, 659–670.
  27. ^ Иллс, Джеймс, младший; Сэмпсон, Дж. Х. Гармонические отображения римановых многообразий. Amer. J. Math. 86 (1964), 109–160.
  28. ^ Гамильтон, Ричард С. Гармонические отображения многообразий с границей. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 471. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1975. i+168 pp.
  29. ^ Саймон, Леон. Асимптотика для класса нелинейных эволюционных уравнений с приложениями к геометрическим задачам. Ann. of Math. (2) 118 (1983), № 3, 525–571.
  30. ^ Громов, Михаил; Лоусон, Х. Блейн, младший. Классификация односвязных многообразий положительной скалярной кривизны. Ann. of Math. (2) 111 (1980), № 3, 423–434.
  31. ^ Громов, Михаил; Лоусон, Х. Блейн, младший. Положительная скалярная кривизна и оператор Дирака на полных римановых многообразиях. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. № 58 (1983), 83–196.
  32. ↑ Виттен, Эдвард Новое доказательство теоремы о положительной энергии. Comm. Math. Phys. 80 (1981), № 3, 381–402.
  33. ↑ Ли, Джон М.; Паркер, Томас Х. Проблема Ямабэ. Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 17 (1987), № 1, 37–91.
  34. ^ Бартник, Роберт. Масса асимптотически плоского многообразия. Comm. Pure Appl. Math. 39 (1986), № 5, 661–693.
  35. ^ Ямабэ, Хидехико. О деформации римановых структур на компактных многообразиях. Osaka Math. J. 12 (1960), 21–37.
  36. ^ Трудингер, Нил С. Замечания относительно конформной деформации римановых структур на компактных многообразиях. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (3) 22 (1968), 265–274.
  37. ^ Обен, Тьерри. Нелинейные дифференциальные уравнения и проблемы Ямабе, касающиеся скалярного курса. Дж. Математика. Приложение Pures. (9) 55 (1976), вып. 3, 269–296.
  38. ^ Сакс, Дж.; Уленбек, К. Существование минимальных погружений 2-сфер. Ann. of Math. (2) 113 (1981), № 1, 1–24.
  39. ^ Уленбек, Карен К. Связи с ограничениями Lp на кривизну. Comm. Math. Phys. 83 (1982), № 1, 31–42.
  40. ^ Гамильтон, Ричард С. Трехмерные многообразия с положительной кривизной Риччи. J. Differential Geometry 17 (1982), № 2, 255–306.
  41. ^ Гамильтон, Ричард С. Поток Риччи на поверхностях. Математика и общая теория относительности (Санта-Крус, Калифорния, 1986), 237–262, Contemp. Math., 71, Amer. Math. Soc., Providence, Род-Айленд, 1988.
  42. ^ Гамильтон, Ричард С. Четырехмерные многообразия с оператором положительной кривизны. J. Differential Geom. 24 (1986), № 2, 153–179.
  43. ^ Микаллеф, Марио Дж.; Мур, Джон Дуглас. Минимальные двумерные сферы и топология многообразий с положительной кривизной на полностью изотропных двумерных плоскостях. Ann. of Math. (2) 127 (1988), № 1, 199–227.
  44. ^ Нгуен, Хюи Т. Изотропная кривизна и поток Риччи. Int. Math. Res. Not. IMRN 2010, № 3, 536–558.
  45. ^ Бём, Кристоф; Вилкинг, Буркхард. Многообразия с операторами положительной кривизны являются пространственными формами. Ann. of Math. (2) 167 (2008), № 3, 1079–1097.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Ричард_Шен&oldid=1249059783"