Теорема о положительной энергии

Общая теория относительности
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_ {\mu \nu } = {\kappa }T_ {\mu \nu }}$
Введение История Хронология Тесты Математическая формулировка
Фундаментальные концепции Принцип эквивалентности Специальная теория относительности Мировая линия Псевдориманово многообразие
Феномены проблема Кеплера Гравитационное линзирование Гравитационное красное смещение Гравитационное замедление времени Гравитационные волны Перетаскивание кадров Геодезический эффект Горизонт событий Сингулярность Черная дыра Пространство-время Диаграммы пространства-времени пространство-время Минковского Мост Эйнштейна-Розена
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон–Папапетру–Диксон Гамильтон–Якоби–Эйнштейн Формализмы АДМ БССН Пост-ньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы–Клейна Квантовая гравитация
Решения Шварцшильд ( внутри ) Рейсснер–Нордстрём Волны Эйнштейна–Розена Червоточина Гёдель Керр Керр–Ньюман Керр–Ньюман–де Ситтер Каснер Леметр–Толмен Taub–NUT Milne Robertson–Walker Oppenheimer–Snyder pp-wave van Stockum dust Weyl−Lewis−Papapetrou Hartle–Thorne
Scientists Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedmann Milne Zwicky Lemaître Oppenheimer Gödel Wheeler Robertson Bardeen Walker Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Newman Yau Thorne others
Physics portal  Category
v t e

Теорема о положительной энергии (также известная как теорема о положительной массе ) относится к набору основополагающих результатов в общей теории относительности и дифференциальной геометрии . Ее стандартная форма, в общем, утверждает, что гравитационная энергия изолированной системы неотрицательна и может быть равна нулю только тогда, когда в системе нет гравитирующих объектов. Хотя эти утверждения часто считаются в первую очередь физическими по своей природе, их можно формализовать в виде математических теорем, которые можно доказать с помощью методов дифференциальной геометрии , уравнений с частными производными и геометрической теории меры .

Ричард Шен и Шинг-Тунг Яу в 1979 и 1981 годах были первыми, кто дал доказательства теоремы о положительной массе. Эдвард Виттен в 1982 году дал наброски альтернативного доказательства, которые позже были тщательно заполнены математиками. Виттен и Яу были награждены медалью Филдса по математике отчасти за их работу по этой теме.

Неточная формулировка теоремы Шёна-Яу/Виттена о положительной энергии гласит следующее:

При наличии асимптотически плоского начального набора данных можно определить энергию-импульс каждой бесконечной области как элемент пространства Минковского . При условии, что начальный набор данных геодезически полон и удовлетворяет условию доминирующей энергии , каждый такой элемент должен находиться в причинном будущем начала координат. Если какая-либо бесконечная область имеет нулевую энергию-импульс, то начальный набор данных тривиален в том смысле, что его можно геометрически вложить в пространство Минковского.

Значение этих терминов обсуждается ниже. Существуют альтернативные и неэквивалентные формулировки для различных понятий энергии-импульса и для различных классов начальных наборов данных. Не все из этих формулировок были строго доказаны, и в настоящее время остается открытым вопрос о том, верна ли приведенная выше формулировка для начальных наборов данных произвольной размерности.

Первоначальное доказательство теоремы для массы ADM было предоставлено Ричардом Шоеном и Шинг-Тунгом Яу в 1979 году с использованием вариационных методов и минимальных поверхностей . Эдвард Виттен дал другое доказательство в 1981 году, основанное на использовании спиноров , вдохновленное теоремами о положительной энергии в контексте супергравитации . Расширение теоремы для массы Бонди было дано Людвигсеном и Джеймсом Викерсом, Гэри Горовицем и Малкольмом Перри , а также Шоеном и Яу.

Гэри Гиббонс , Стивен Хокинг , Горовиц и Перри доказали расширения теоремы на асимптотически анти-де-ситтеровские пространства-времена и на теорию Эйнштейна–Максвелла . Масса асимптотически анти-де-ситтеровского пространства-времени неотрицательна и равна нулю только для анти-де-ситтеровского пространства-времени. В теории Эйнштейна–Максвелла для пространства-времени с электрическим зарядом и магнитным зарядом масса пространства-времени удовлетворяет (в гауссовых единицах )${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle M\geq {\sqrt {Q^{2}+P^{2}}},}$

с равенством для экстремальных решений Маджумдара – Папапетру для черных дыр .

Начальный набор данных состоит из риманова многообразия ( M , g ) и симметричного 2-тензорного поля k на M. Говорят, что начальный набор данных ( M , g , k ) :

• симметричен по времени, если k равен нулю
• максимально , если tr ^g k = 0 ^[1]
• удовлетворяет условию доминирующей энергии, если

${\displaystyle R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} _{g}k)^{2}\geq 2{\big |}\operatorname {div} ^{g}k-d(\operatorname {tr} _{g}k){\big |}_{g},}$

где R ^g обозначает скалярную кривизну g . ^[2 ]

Обратите внимание, что симметричный по времени начальный набор данных ( M , g , 0) удовлетворяет условию доминирующей энергии тогда и только тогда, когда скалярная кривизна g неотрицательна. Говорят, что лоренцево многообразие ( M , g ) является развитием начального набора данных ( M , g , k ), если существует (обязательно пространственноподобное) гиперповерхностное вложение M в M вместе с непрерывным единичным нормальным векторным полем, таким, что индуцированная метрика есть g , а вторая фундаментальная форма относительно заданной единичной нормали есть k .

Это определение мотивировано лоренцевой геометрией . При наличии лоренцева многообразия ( M , g ) размерности n + 1 и пространственноподобного погружения f из связного n -мерного многообразия M в M , имеющего тривиальное нормальное расслоение, можно рассмотреть индуцированную риманову метрику g = f ^* g, а также вторую фундаментальную форму k функции f относительно любого из двух вариантов непрерывного единичного нормального векторного поля вдоль f . Тройка ( M , g , k ) является начальным набором данных. Согласно уравнениям Гаусса-Кодацци , имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {G}}(\nu ,\nu )&={\frac {1}{2}}{\Big (}R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} ^{g}k)^{2}{\Big )}\\{\overline {G}}(\nu ,\cdot )&=d(\operatorname {tr} ^{g}k)-\operatorname {div} ^{g}k.\end{aligned}}}$

где G обозначает тензор Эйнштейна Ric ^g - ⁠1/2⁠ R ^g g от g и ν обозначает непрерывное единичное нормальное векторное поле вдоль f, используемое для определения k . Таким образом, доминирующее энергетическое условие, как указано выше, в этом лоренцевом контексте идентично утверждению, что G ( ν , ⋅) , рассматриваемое как векторное поле вдоль f , является времениподобным или нулевым и ориентировано в том же направлении, что и ν . ^[3]

В литературе существует несколько различных понятий «асимптотически плоского», которые не являются взаимно эквивалентными. Обычно он определяется в терминах весовых пространств Гельдера или весовых пространств Соболева.

Однако есть некоторые особенности, которые являются общими практически для всех подходов. Рассматривается начальный набор данных ( M , g , k ), который может иметь или не иметь границу; пусть n обозначает его размерность. Требуется, чтобы существовало компактное подмножество K множества M, такое , что каждый связный компонент дополнения M − K диффеоморфен дополнению замкнутого шара в евклидовом пространстве ℝ ⁿ . Такие связные компоненты называются концами M .

Пусть ( M , g , 0) — симметричный по времени начальный набор данных, удовлетворяющий условию доминирующей энергии. Предположим, что ( M , g ) — ориентированное трехмерное гладкое риманово многообразие с границей, и что каждый компонент границы имеет положительную среднюю кривизну. Предположим, что у него есть один конец, и он асимптотически шварцшильдов в следующем смысле:

Предположим, что K — открытое предкомпактное подмножество M , такое что существует диффеоморфизм Φ : ℝ ³ − B ₁ (0) → M − K , и предположим, что существует число m такое, что симметричный 2-тензор

${\displaystyle h_{ij}=(\Phi ^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}-{\frac {m}{2|x|}}\delta _{ij}}$

на ℝ ³ − B ₁ (0) таково, что для любых i , j , p , q функции и все ограничены.${\displaystyle |x|^{2}h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}h_{ij}(x),}$${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$

Теорема Шёна и Яу утверждает, что m должно быть неотрицательным. Если, кроме того, функции и ограничены для любого , то m должно быть положительным, если только граница M не пуста и ( M , g ) не изометрично ℝ ³ с его стандартной римановой метрикой.${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}\partial _{s}h_{ij}(x),}$${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}\partial _{s}\partial _{t}h_{ij}(x)}$${\displaystyle i,j,p,q,r,s,t,}$

Обратите внимание, что условия на h утверждают, что h вместе с некоторыми его производными малы, когда x велико. Поскольку h измеряет дефект между g в координатах Φ и стандартным представлением t = const slice метрики Шварцшильда , эти условия являются квантификацией термина «асимптотически Шварцшильдов». Это можно интерпретировать в чисто математическом смысле как сильную форму «асимптотически плоского», где коэффициент при части | x | ⁻¹ разложения метрики объявляется постоянным множителем евклидовой метрики, в отличие от общего симметричного 2-тензора.

Отметим также, что теорема Шёна и Яу, как указано выше, на самом деле (несмотря на видимость) является сильной формой случая «множественных концов». Если ( M , g ) — полное риманово многообразие с множественными концами, то приведенный выше результат применим к любому отдельному концу, при условии, что в каждом другом конце есть сфера положительной средней кривизны. Это гарантируется, например, если каждый конец асимптотически плоский в указанном выше смысле; можно выбрать большую координатную сферу в качестве границы и удалить соответствующий остаток каждого конца, пока не получится риманово многообразие с границей с одним концом.

Пусть ( M , g , k ) — начальный набор данных, удовлетворяющий условию доминирующей энергии. Предположим, что ( M , g ) — ориентированное трехмерное гладкое полное риманово многообразие (без границы); предположим, что оно имеет конечное число концов, каждый из которых асимптотически плоский в следующем смысле.

Предположим, что — открытое предкомпактное подмножество, имеющее конечное число связных компонент , и для каждой существует диффеоморфизм, такой, что симметричный 2-тензор удовлетворяет следующим условиям:${\displaystyle K\subset M}$${\displaystyle M\smallsetminus K}$${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle \Phi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus B_{1}(0)\to M_{i}}$${\displaystyle h_{ij}=(\Phi ^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}}$

• ${\displaystyle |x|h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{2}\partial _{p}h_{ij}(x),}$и ограничены для всех${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$${\displaystyle i,j,p,q.}$

Также предположим, что

• ${\displaystyle |x|^{4}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$и ограничены для любого${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle |x|^{2}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x),}$и для любого${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x)}$${\displaystyle p,q,i,j}$
• ${\displaystyle |x|^{3}((\Phi _{i}^{\ast }k)_{11}(x)+(\Phi ^{\ast }k)_{22}(x)+(\Phi _{i}^{\ast }k)_{33}(x))}$ограничено.

Вывод состоит в том, что энергия ADM каждого определяется как${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$

${\displaystyle {\text{E}}(M_{i})={\frac {1}{16\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{p=1}^{3}\sum _{q=1}^{3}{\big (}\partial _{q}(\Phi _{i}^{\ast }g)_{pq}-\partial _{p}(\Phi _{i}^{\ast }g)_{qq}{\big )}{\frac {x^{p}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x),}$

неотрицательно. Кроме того, предположим, что

• ${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}h_{ij}(x)}$и ограничены для любого${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{r}\partial _{s}\partial _{t}h_{ij}(x)}$${\displaystyle i,j,p,q,r,s,}$

предположение, что для некоторых подразумевает, что n = 1 , что M диффеоморфно ℝ ³ и что пространство Минковского ℝ ^3,1 является развитием исходного набора данных ( M , g , k ) .${\displaystyle {\text{E}}(M_{i})=0}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$

Пусть — ориентированное трехмерное гладкое полное риманово многообразие (без края). Пусть — гладкий симметричный 2-тензор на такой, что${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} _{g}k)^{2}\geq 2{\big |}\operatorname {div} ^{g}k-d(\operatorname {tr} _{g}k){\big |}_{g}.}$

Предположим, что — открытое предкомпактное подмножество, имеющее конечное число связных компонент , и для каждой существует диффеоморфизм, такой, что симметричный 2-тензор удовлетворяет следующим условиям:${\displaystyle K\subset M}$${\displaystyle M\smallsetminus K}$${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n}$${\displaystyle \Phi _{\alpha }:\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus B_{1}(0)\to M_{i}}$${\displaystyle h_{ij}=(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}}$

• ${\displaystyle |x|h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{2}\partial _{p}h_{ij}(x),}$и ограничены для всех${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$${\displaystyle i,j,p,q.}$
• ${\displaystyle |x|^{2}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{ij}(x)}$и ограничены для всех${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{ij}(x),}$${\displaystyle i,j,p.}$

Для каждого определите энергию и линейный импульс АДМ по формуле${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n,}$

${\displaystyle {\text{E}}(M_{\alpha })={\frac {1}{16\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{p=1}^{3}\sum _{q=1}^{3}{\big (}\partial _{q}(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{pq}-\partial _{p}(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{qq}{\big )}{\frac {x^{p}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x),}$

${\displaystyle {\text{P}}(M_{\alpha })_{p}={\frac {1}{8\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{q=1}^{3}{\big (}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{pq}-{\big (}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{11}+(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{22}+(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{33}{\big )}\delta _{pq}{\big )}{\frac {x^{q}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x).}$

Для каждого рассмотрим это как вектор в пространстве Минковского. Вывод Виттена состоит в том, что для каждого это обязательно указывающий на будущее непространственноподобный вектор. Если этот вектор равен нулю для любого , то диффеоморфен и максимальная глобально гиперболическая развертка исходного набора данных имеет нулевую кривизну.${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n,}$${\displaystyle ({\text{P}}(M_{\alpha })_{1},{\text{P}}(M_{\alpha })_{2},{\text{P}}(M_{\alpha })_{3},{\text{E}}(M_{\alpha }))}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$${\displaystyle (M,g,k)}$

Согласно приведенным выше утверждениям, вывод Виттена сильнее, чем у Шёна и Яу. Однако третья статья Шёна и Яу ^[4] показывает, что их результат 1981 года подразумевает результат Виттена, сохраняя только дополнительное предположение, что и ограничены для любого Также следует отметить, что результат Шёна и Яу 1981 года опирается на их результат 1979 года, который доказан от противного; поэтому их расширение их результата 1981 года также является от противного. Напротив, доказательство Виттена является логически прямым, демонстрируя энергию АДМ непосредственно как неотрицательную величину. Более того, доказательство Виттена в этом случае можно без особых усилий распространить на многообразия более высокой размерности при топологическом условии, что многообразие допускает спиновую структуру. ^[5] Результат и доказательство Шёна и Яу 1979 года можно распространить на случай любой размерности меньше восьми. ^[6] Совсем недавно результат Виттена, использующий методы Шёна и Яу (1981), был расширен на тот же контекст. ^[7] Подводя итог: следуя методам Шёна и Яу, теорема о положительной энергии была доказана в размерности меньше восьми, тогда как, следуя Виттену, она была доказана в любой размерности, но с ограничением на установку спиновых многообразий.${\displaystyle |x|^{4}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}k=0}$

В апреле 2017 года Шен и Яу выпустили препринт, который доказывает общий многомерный случай в частном случае без каких-либо ограничений по размерности или топологии. Однако он еще не появился (по состоянию на май 2020 года) в академическом журнале.${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}k=0,}$

• В 1984 году Шён использовал теорему о положительной массе в своей работе, которая завершила решение проблемы Ямабэ .
• Теорема о положительной массе использовалась в доказательстве Хьюберта Брея римановского неравенства Пенроуза .

• Шен, Ричард; Яу, Шинг-Тунг (1979). «О доказательстве гипотезы о положительной массе в общей теории относительности». Communications in Mathematical Physics . 65 (1): 45–76. Bibcode :1979CMaPh..65...45S. doi :10.1007/bf01940959. ISSN  0010-3616. S2CID  54217085.
• Шен, Ричард; Яу, Шинг-Тунг (1981). «Доказательство теоремы о положительной массе. II». Communications in Mathematical Physics . 79 (2): 231–260. Bibcode :1981CMaPh..79..231S. doi :10.1007/bf01942062. ISSN  0010-3616. S2CID  59473203.
• Виттен, Эдвард (1981). «Новое доказательство теоремы о положительной энергии». Communications in Mathematical Physics . 80 (3): 381–402. Bibcode : 1981CMaPh..80..381W. doi : 10.1007/bf01208277. ISSN  0010-3616. S2CID  1035111.
• Ludvigsen, M; Vickers, JAG (1981-10-01). "Положительность массы Бонди". Journal of Physics A: Mathematical and General . 14 (10): L389–L391. Bibcode : 1981JPhA...14L.389L. doi : 10.1088/0305-4470/14/10/002. ISSN  0305-4470.
• Хоровиц, Гэри Т.; Перри, Малкольм Дж. (1982-02-08). «Гравитационная энергия не может стать отрицательной». Physical Review Letters . 48 (6): 371–374. Bibcode : 1982PhRvL..48..371H. doi : 10.1103/physrevlett.48.371. ISSN  0031-9007.
• Шен, Ричард; Яу, Шинг Тунг (1982-02-08). «Доказательство того, что масса Бонди положительна». Physical Review Letters . 48 (6): 369–371. Bibcode : 1982PhRvL..48..369S. doi : 10.1103/physrevlett.48.369. ISSN  0031-9007.
• Гиббонс, GW; Хокинг, SW; Горовиц, GT; Перри, MJ (1983). "Теоремы о положительной массе для черных дыр". Communications in Mathematical Physics . 88 (3): 295–308. Bibcode :1983CMaPh..88..295G. doi :10.1007/BF01213209. MR  0701918. S2CID  121580771.

Учебники

• Шоке-Брюа, Ивонн. Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, Оксфорд, 2009. xxvi+785 стр. ISBN 978-0-19-923072-3 
• Уолд, Роберт М. Общая теория относительности. Издательство Чикагского университета, Чикаго, Иллинойс, 1984. xiii+491 стр. ISBN 0-226-87032-4