Уравнения Гаусса–Кодацци

В римановой геометрии и псевдоримановой геометрии уравнения Гаусса –Кодацци (также называемые уравнениями Гаусса–Кодацци–Вайнгартена–Майнарди или формулами Гаусса–Петерсона–Кодацци ^[1] ) являются фундаментальными формулами, которые связывают вместе индуцированную метрику и вторую фундаментальную форму подмногообразия (или погружения в) риманова или псевдориманова многообразия .

Первоначально уравнения были обнаружены в контексте поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве . В этом контексте первое уравнение, часто называемое уравнением Гаусса (в честь его первооткрывателя Карла Фридриха Гаусса ), гласит, что гауссова кривизна поверхности в любой заданной точке диктуется производными отображения Гаусса в этой точке, как закодировано второй фундаментальной формой . ^[2] Второе уравнение, называемое уравнением Кодацци или уравнением Кодацци-Майнарди , утверждает, что ковариантная производная второй фундаментальной формы полностью симметрична. Оно названо в честь Гаспаре Майнарди (1856) и Дельфино Кодацци (1868–1869), которые независимо вывели результат, ^[3] хотя оно было открыто ранее Карлом Михайловичем Петерсоном . ^{[4] [5]}

Пусть будет n -мерным вложенным подмногообразием риманова многообразия P размерности . Существует естественное включение касательного расслоения M в расслоение P с помощью прямого проецирования , а коядро является нормальным расслоением M :${\displaystyle i\двоеточие M\подмножество P}$${\displaystyle n+p}$

${\displaystyle 0\rightarrow T_{x}M\rightarrow T_{x}P|_{M}\rightarrow T_{x}^{\perp }M\rightarrow 0.}$

Метрика разбивает эту короткую точную последовательность , и поэтому

${\displaystyle TP|_{M}=TM\oplus T^{\perp }M.}$

Относительно этого расщепления связность Леви-Чивиты P распадается на тангенциальную и нормальную компоненты. Для каждого и векторного поля Y на M ,${\displaystyle \набла '}$${\displaystyle X\in TM}$

${\displaystyle \nabla '_{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right)+\bot \left(\nabla '_{X}Y\right).}$

Позволять

${\displaystyle \nabla _{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right),\quad \alpha (X,Y)=\bot \left(\nabla '_{X}Y\right).}$

Формула Гаусса ^[6] теперь утверждает, что является связностью Леви-Чивиты для M , и является симметричной векторнозначной формой со значениями в нормальном расслоении. Ее часто называют второй фундаментальной формой .${\displaystyle \набла _{X}}$${\displaystyle \альфа}$

Непосредственным следствием является уравнение Гаусса для тензора кривизны . Для ,${\displaystyle X,Y,Z,W\in TM}$

${\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\langle \alpha (X,Z),\alpha (Y,W)\ rangle -\langle \alpha (Y,Z),\alpha (X,W)\rangle }$

где — тензор кривизны Римана для P , а R — для M.${\displaystyle R'}$

Уравнение Вайнгартена является аналогом формулы Гаусса для связности в нормальном расслоении. Пусть и — нормальное векторное поле. Затем разложим объемлющую ковариантную производную вдоль X на тангенциальную и нормальную составляющие:${\displaystyle X\in TM}$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \xi}$

${\displaystyle \nabla '_{X}\xi =\top \left(\nabla '_{X}\xi \right)+\bot \left(\nabla '_{X}\xi \right)=- A_{\xi }(X)+D_{X}(\xi ).}$

Затем

1. Уравнение Вайнгартена :${\displaystyle \langle A_ {\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle }$
2. D _X — метрическое соединение в нормальном расслоении.

Таким образом, существует пара связей: ∇, определенная на касательном расслоении M ; и D , определенная на нормальном расслоении M . Они объединяются, образуя связь на любом тензорном произведении копий T M и T ^⊥ M . В частности, они определили ковариантную производную :${\displaystyle \альфа}$

${\displaystyle \left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)=D_{X}\left(\alpha (Y,Z)\right)-\alpha \left(\nabla _{X}Y,Z\right)-\alpha \left(Y,\nabla _{X}Z\right).}$

Уравнение Кодацци–Майнарди имеет вид

${\displaystyle \bot \left(R'(X,Y)Z\right)=\left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)-\left({\tilde {\nabla }}_{Y}\alpha \right)(X,Z).}$

Поскольку каждое погружение является, в частности, локальным вложением, приведенные выше формулы справедливы и для погружений.

В классической дифференциальной геометрии поверхностей уравнения Кодацци–Майнарди выражаются через вторую фундаментальную форму ( L , M , N ):

${\displaystyle L_{v}-M_{u}=L\Гамма ^{1}{}_{12}+M\left({\Гамма ^{2}}_{12}-{\Гамма ^{1}}_{11}\right)-N{\Гамма ^{2}}_{11}}$

${\displaystyle M_{v}-N_{u}=L\Gamma ^{1}{}_{22}+M\left({\Gamma ^{2}}_{22}-{\Gamma ^{1 }}_{12}\right)-N{\Gamma ^{2}}_{12}}$

Формула Гаусса, в зависимости от того, как мы выбираем определение гауссовой кривизны, может быть тавтологией . Ее можно сформулировать как

${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{eg-f^{2}}},}$

где ( e , f , g ) — компоненты первой фундаментальной формы.

Рассмотрим параметрическую поверхность в евклидовом 3-мерном пространстве,

${\ displaystyle \ mathbf {r} (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v))}$

где три компонента функции гладко зависят от упорядоченных пар ( u , v ) в некоторой открытой области U в uv -плоскости. Предположим, что эта поверхность регулярна , что означает, что векторы r _u и r _v линейно независимы . Дополним это до базиса { r _u , r _v , n }, выбрав единичный вектор n , нормальный к поверхности. Можно выразить вторые частные производные r (векторы ) с помощью символов Кристоффеля и элементов второй фундаментальной формы. Мы выбираем первые два компонента базиса, поскольку они являются внутренними для поверхности и намерены доказать внутреннее свойство гауссовой кривизны . Последний член в базисе является внешним.${\displaystyle \mathbb {R^{3}} }$

${\displaystyle \mathbf {r} _{uu}={\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf { r} _{v}+L\mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {r} _{uv}={\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf { r} _{v}+M\mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {r} _{vv}={\Gamma ^{1}}_{22}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{22}\mathbf { r} _{v}+N\mathbf {n} }$

Теорема Клеро утверждает, что частные производные коммутируют:

${\displaystyle \left(\mathbf {r} _{uu}\right)_{v}=\left(\mathbf {r} _{uv}\right)_{u}}$

Если мы продифференцируем r _uu по v и r _uv по u , то получим:

${\displaystyle \left({\Gamma ^{1}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{uv}+\left({\Gamma ^{2}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{vv}+L_{v}\mathbf {n} +L\mathbf {n} _{v}}$${\displaystyle =\left({\Gamma ^{1}}_{12}\right)_{u}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{uu}+\left(\Gamma _{12}^{2}\right)_{u}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{uv}+M_{u}\mathbf {n} +M\mathbf {n} _{u}}$

Теперь подставим приведенные выше выражения для вторых производных и приравняем коэффициенты при n :

${\displaystyle M{\Gamma ^{1}}_{11}+N{\Gamma ^{2}}_{11}+L_{v}=L{\Gamma ^{1}}_{12}+M{\Gamma ^{2}}_{12}+M_{u}}$

Преобразование этого уравнения дает первое уравнение Кодацци–Майнарди.

Второе уравнение можно вывести аналогично.

Пусть M — гладкое m -мерное многообразие, погруженное в ( m  +  k )-мерное гладкое многообразие P. Пусть — локальный ортонормированный фрейм векторных полей, нормальных к M. Тогда мы можем записать,${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}}$

${\displaystyle \alpha (X,Y)=\sum _{j=1}^{k}\alpha _{j}(X,Y)e_{j}.}$

Если теперь — локальный ортонормированный репер (касательных векторных полей) на том же открытом подмножестве M , то мы можем определить средние кривизны погружения как${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{m}}$

${\displaystyle H_{j}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(E_{i},E_{i}).}$

В частности, если M — гиперповерхность P , т. е . , то можно говорить только об одной средней кривизне. Погружение называется минимальным, если все тождественно равны нулю.${\displaystyle k=1}$${\displaystyle H_{j}}$

Обратите внимание, что средняя кривизна является следом или средним значением второй фундаментальной формы для любого заданного компонента. Иногда средняя кривизна определяется путем умножения суммы в правой части на .${\displaystyle 1/m}$

Теперь мы можем записать уравнения Гаусса–Кодацци как

${\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\alpha _{j}(X,Z)\alpha _{j}(Y,W)-\alpha _{j}(Y,Z)\alpha _{j}(X,W)\right).}$

Контрактование компонентов дает нам${\displaystyle Y,Z}$

${\displaystyle \operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\sum _{j=1}^{k}\langle R'(X,e_{j})e_{j},W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(X,E_{i})\alpha _{j}(E_{i},W)-H_{j}\alpha _{j}(X,W)\right).}$

Когда M является гиперповерхностью, это упрощается до

${\displaystyle \operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\langle R'(X,n)n,W\rangle +\sum _{i=1}^{m}h(X,E_{i})h(E_{i},W)-Hh(X,W)}$

где и . В этом случае еще одно сокращение дает,${\displaystyle n=e_{1},}$ ${\displaystyle h=\alpha _{1}}$${\displaystyle H=H_{1}}$

${\displaystyle R'=R+2\operatorname {Ric} '(n,n)+\|h\|^{2}-H^{2}}$

где и — скалярные кривизны P и M соответственно, а${\displaystyle R'}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \|h\|^{2}=\sum _{i,j=1}^{m}h(E_{i},E_{j})^{2}.}$

Если , то уравнение скалярной кривизны может быть более сложным.${\displaystyle k>1}$

Мы уже можем использовать эти уравнения, чтобы сделать некоторые выводы. Например, любое минимальное погружение ^[7] в круглую сферу должно иметь вид${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1}$

${\displaystyle \Delta x_{j}+\lambda x_{j}=0}$

где пробегает от 1 до и${\displaystyle j}$${\displaystyle m+k+1}$

${\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{m}\nabla _{E_{i}}\nabla _{E_{i}}}$

— лапласиан на M , а — положительная константа.${\displaystyle \lambda >0}$

• Рамка Дарбу

Исторические справки

• Бонне, Оссиан (1867), «Мемуар о теории поверхностей, применимых к поверхности донни», Journal de l'École Polytechnique , 25 : 31–151.
• Кодацци, Дельфино (1868–1869), «Координатная кривизна Sulle d'una superficie dello spazio», Ann. Мат. Приложение Пура. , 2 : 101–19, doi : 10.1007/BF02419605, S2CID  177803350
• Гаусс, Карл Фридрих (1828), "Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas" [Общие рассуждения об криволинейных поверхностях], Comm. Soc. Gott. (на латыни), 6(«Общие рассуждения об криволинейных поверхностях»)
• Иванов, А.Б. (2001) [1994], «Уравнения Петерсона–Кодацци», Энциклопедия математики , EMS Press
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древности до современности , Oxford University Press , ISBN 0-19-506137-3
• Майнарди, Гаспаре (1856), «Su la teoria Generale delle Superficie», Giornale Dell' Istituto Lombardo , 9 : 385–404.
• Петерсон, Карл Михайлович (1853), Über die Biegung der Flächen , докторская диссертация, Дерптский университет.

Учебники

• ду Кармо, Манфредо П. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Переработанное и обновленное второе издание. Dover Publications, Inc., Минеола, Нью-Йорк, 2016. xvi+510 стр. ISBN 978-0-486-80699-0 , 0-486-80699-5 
• ду Карму, Манфреду Пердигау. Риманова геометрия. Перевод со второго португальского издания Фрэнсиса Флаэрти. Математика: теория и приложения. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1992. xiv+300 стр. ISBN 0-8176-3490-8 
• Кобаяси, Сёсити; Номидзу, Кацуми. Основы дифференциальной геометрии. Том II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, № 15 Том II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк-Лондон-Сидней 1969 xv+470 стр.
• О'Нил, Барретт. Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности. Чистая и прикладная математика, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк, 1983. xiii+468 стр. ISBN 0-12-526740-1 
• Топоногов, Виктор Андреевич (2006). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей: Краткое руководство . Бостон: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4384-3.

Статьи

• Такахаси, Цунеро (1966), «Минимальные погружения римановых многообразий», Журнал математического общества Японии , 18 (4), doi : 10.2969/jmsj/01840380 , S2CID  122849496
• Саймонс, Джеймс. Минимальные многообразия в римановых многообразиях. Ann. of Math. (2) 88 (1968), 62–105.
• [1]
• [2]
• [3]

• Уравнения Петерсона–Майнарди–Кодацци – из Wolfram MathWorld
• Уравнения Петерсона–Кодацци