Группа разветвления

В теории чисел , а точнее в локальной теории полей классов , группы ветвления представляют собой фильтрацию группы Галуа локального расширения поля , которая дает подробную информацию о явлениях ветвления расширения.

В математике теория ветвления оценок изучает множество расширений оценки v поля K до расширения L поля K. Это обобщение теории ветвления областей Дедекинда. ^[1] [ 2 ^]

Структура множества расширений известна лучше, когда L / K является Галуа .

Пусть ( K ,  v ) — нормированное поле , а L — конечное расширение Галуа поля K . Пусть S _v — множество классов эквивалентности расширений v до L , а G — группа Галуа поля L над K . Тогда G действует на S _v следующим образом: σ[ w ] = [ w  ∘ σ] (т. е. w является представителем класса эквивалентности [ w ] ∈  S _v , а [ w ] отправляется в класс эквивалентности композиции w с автоморфизмом σ : L → L ; это не зависит от выбора w в [ w ]). Фактически, это действие транзитивно .

При фиксированном расширении w группы v до L группа разложения группы w ​​является стабилизирующей подгруппой G _w группы [ w ], т.е. это подгруппа группы G, состоящая из всех элементов, которые фиксируют класс эквивалентности [ w ] ∈  S _v .

Пусть m _w обозначает максимальный идеал w внутри кольца нормирования R _w кольца w . Группа инерции w — это подгруппа I _w кольца G _{w ,} состоящая из элементов σ таких, что σ x  ≡  x  (mod  m _w ) для всех x из R _w . Другими словами, I _w состоит из элементов группы разложения, которые действуют тривиально на поле вычетов w . Это нормальная подгруппа G _w .

Приведенный индекс ветвления e ( w / v ) не зависит от w и обозначается e ( v ). Аналогично, относительная степень f ( w / v ) также не зависит от w и обозначается f ( v ).

Группы ветвления являются уточнением группы Галуа конечного расширения Галуа локальных полей . Мы будем записывать для оценки, кольца целых чисел и его максимального идеала для . Как следствие леммы Гензеля , можно записать для некоторого , где есть кольцо целых чисел . ^[3] (Это сильнее теоремы о примитивном элементе .) Затем для каждого целого числа мы определяем как множество всех , которые удовлетворяют следующим эквивалентным условиям.${\displaystyle G}$${\displaystyle Л/К}$ ${\displaystyle w,{\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}={\mathcal {O}}_{K}[\alpha ]}$${\displaystyle \alpha \in L}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle i\geq -1}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle s\in G}$

• (i) действует тривиально на${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}^{i+1}.}$
• (ii) для всех${\displaystyle w(s(x)-x)\geq i+1}$${\displaystyle x\in {\mathcal {O}}_{L}}$
• (iii)${\displaystyle w(s(\alpha )-\alpha )\geq i+1.}$

Группа называется -й группой ветвления . Они образуют убывающую фильтрацию ,${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle G_{-1}=G\supset G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \{*\}.}$

На самом деле, являются нормальными по (i) и тривиальными для достаточно больших по (iii). Для самых низких индексов принято называть подгруппу инерции из -за ее связи с расщеплением простых идеалов , в то время как дикая подгруппа инерции из . Фактор называется ручным фактором.${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$

Группа Галуа и ее подгруппы изучаются с использованием вышеуказанной фильтрации или, более конкретно, соответствующих факторов. В частности,${\displaystyle G}$${\displaystyle G_{i}}$

• ${\displaystyle G/G_{0}=\operatorname {Gal} (l/k),}$где — (конечные) поля вычетов . ^[4]${\displaystyle l,k}$${\displaystyle L,K}$
• ${\displaystyle G_{0}=1\Leftrightarrow L/K}$неразветвленный .​
• ${\displaystyle G_{1}=1\Leftrightarrow L/K}$умеренно разветвлен ( т.е. индекс разветвления является простым по отношению к характеристике остатка).

Изучение групп ветвления сводится к полностью разветвленному случаю, поскольку для .${\displaystyle G_{i}=(G_{0})_{i}}$${\displaystyle i\geq 0}$

Также определяется функция . (ii) в приведенном выше примере не зависит от выбора и, более того, изучение фильтрации по существу эквивалентно изучению . ^[5] удовлетворяет следующему: для ,${\displaystyle i_{G}(s)=w(s(\alpha )-\alpha ),s\in G}$${\displaystyle i_{G}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle i_{G}}$ ${\displaystyle i_{G}}$${\displaystyle s,t\in G}$

• ${\displaystyle i_{G}(s)\geq i+1\Leftrightarrow s\in G_{i}.}$
• ${\displaystyle i_{G}(tst^{-1})=i_{G}(s).}$
• ${\displaystyle i_{G}(st)\geq \min\{i_{G}(s),i_{G}(t)\}.}$

Зафиксируем униформизатор . Затем индуцируем инъекцию , где . (Отображение на самом деле не зависит от выбора униформизатора. ^[6] ) Из этого следует ^[7]${\displaystyle \pi }$${\displaystyle L}$${\displaystyle s\mapsto s(\pi )/\pi }$${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}\to U_{L,i}/U_{L,i+1},i\geq 0}$${\displaystyle U_{L,0}={\mathcal {O}}_{L}^{\times },U_{L,i}=1+{\mathfrak {p}}^{i}}$

• ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$является циклическим порядка, простого с${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$является произведением циклических групп порядка .${\displaystyle p}$

В частности , является p -группой и разрешима .${\displaystyle G_{1}}$${\displaystyle G_{0}}$

Группы ветвления можно использовать для вычисления разницы между расширением и подрасширением: ^[8]${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{L/K}}$${\displaystyle L/K}$

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{L/K})=\sum _{s\neq 1}i_{G}(s)=\sum _{i=0}^{\infty }(|G_{i}|-1).}$

Если — нормальная подгруппа группы , то для , . ^[9]${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma \in G}$${\displaystyle i_{G/H}(\sigma )={1 \over e_{L/K}}\sum _{s\mapsto \sigma }i_{G}(s)}$

Объединяя это с вышесказанным, получаем: для подрасширения, соответствующего ,${\displaystyle F/K}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle v_{F}({\mathfrak {D}}_{F/K})={1 \over e_{L/F}}\sum _{s\not \in H}i_{G}(s).}$

Если , то . ^[10] В терминологии Лазара это можно понимать так, что алгебра Ли абелева.${\displaystyle s\in G_{i},t\in G_{j},i,j\geq 1}$${\displaystyle sts^{-1}t^{-1}\in G_{i+j+1}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} (G_{1})=\sum _{i\geq 1}G_{i}/G_{i+1}}$

Группы ветвления для циклотомического расширения , где - примитивный корень степени -1 из единицы , можно описать явно: ^[11]${\displaystyle K_{n}:=\mathbf {Q} _{p}(\zeta )/\mathbf {Q} _{p}}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle p^{n}}$

${\displaystyle G_{s}=\operatorname {Gal} (K_{n}/K_{e}),}$

где e выбрано таким образом, что .${\displaystyle p^{e-1}\leq s<p^{e}}$

Пусть K — расширение Q _2, порожденное . Сопряженными являются , , .${\displaystyle x_{1}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$${\displaystyle x_{3}=-x_{1}}$${\displaystyle x_{4}=-x_{2}}$

Небольшое вычисление показывает, что частное любых двух из них равно единице . Следовательно, все они порождают один и тот же идеал; назовем его π . порождает π ² ; (2)= π ⁴ .${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Теперь , что находится в π ⁵ .${\displaystyle x_{1}-x_{3}=2x_{1}}$

и который находится в π ³ .${\displaystyle x_{1}-x_{2}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}},}$

Различные методы показывают, что группа Галуа K является циклической четвертого порядка. Также:${\displaystyle C_{4}}$

${\displaystyle G_{0}=G_{1}=G_{2}=C_{4}.}$

и${\displaystyle G_{3}=G_{4}=(13)(24).}$

${\displaystyle w({\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}})=3+3+3+1+1=11,}$так что разные${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{K/Q_{2}}=\pi ^{11}}$

${\displaystyle x_{1}}$удовлетворяет условию X ⁴ − 4 X ² + 2, дискриминант которого равен 2048 = 2 ¹¹ .

Если - действительное число , обозначим где i - наименьшее целое число . Другими словами, Определим по ^[12]${\displaystyle u}$${\displaystyle \geq -1}$${\displaystyle G_{u}}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle \geq u}$${\displaystyle s\in G_{u}\Leftrightarrow i_{G}(s)\geq u+1.}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (u)=\int _{0}^{u}{dt \over (G_{0}:G_{t})}}$

где, по соглашению, равно , если и равно для . ^[13] Тогда для . Непосредственно оказывается, что является непрерывным и строго возрастающим, и, таким образом, имеет непрерывную обратную функцию, определенную на . Определим . тогда называется v -й группой ветвления в верхней нумерации. Другими словами, . Примечание . Верхняя нумерация определена так, чтобы быть совместимой с переходом к факторам: ^[14] если является нормальным в , то${\displaystyle (G_{0}:G_{t})}$${\displaystyle (G_{-1}:G_{0})^{-1}}$${\displaystyle t=-1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1<t\leq 0}$${\displaystyle \phi (u)=u}$${\displaystyle -1\leq u\leq 0}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle [-1,\infty )}$${\displaystyle G^{v}=G_{\psi (v)}}$${\displaystyle G^{v}}$${\displaystyle G^{\phi (u)}=G_{u}}$${\displaystyle G^{-1}=G,G^{0}=G_{0}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle (G/H)^{v}=G^{v}H/H}$для всех${\displaystyle v}$

(тогда как меньшая нумерация совместима с переходом к подгруппам.)

Теорема Эрбрана утверждает, что группы ветвления в нижней нумерации удовлетворяют (для где — подрасширение, соответствующее ), а группы ветвления в верхней нумерации удовлетворяют . ^{[15] [16]} Это позволяет определить группы ветвления в верхней нумерации для бесконечных расширений Галуа (таких как абсолютная группа Галуа локального поля) из обратной системы групп ветвления для конечных подрасширений.${\displaystyle G_{u}H/H=(G/H)_{v}}$${\displaystyle v=\phi _{L/F}(u)}$${\displaystyle L/F}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G^{u}H/H=(G/H)^{u}}$

Верхняя нумерация для абелева расширения важна из-за теоремы Хассе–Арфа . Она утверждает, что если является абелевым, то скачки в фильтрации являются целыми числами; т. е. всякий раз, когда не является целым числом. ^[17]${\displaystyle G}$${\displaystyle G^{v}}$${\displaystyle G_{i}=G_{i+1}}$${\displaystyle \phi (i)}$

Верхняя нумерация совместима с фильтрацией группы норменных вычетов по группам единиц при изоморфизме Артина . Изображение при изоморфизме${\displaystyle G^{n}(L/K)}$

${\displaystyle G(L/K)^{\mathrm {ab} }\leftrightarrow K^{*}/N_{L/K}(L^{*})}$

просто ^[18]

${\displaystyle U_{K}^{n}/(U_{K}^{n}\cap N_{L/K}(L^{*}))\ .}$

• Конечные расширения локальных полей

• Б. Конрад, Математика 248А. Высшие группы ветвления
• Фрёлих, А.; Тейлор , М.Дж. (1991). Алгебраическая теория чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том 27. Cambridge University Press . ISBN 0-521-36664-X. Збл  0744.11001.
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Serre, Jean-Pierre (1967). "VI. Локальная теория полей классов". В Cassels, JWS ; Fröhlich, A. (ред.). Алгебраическая теория чисел. Труды учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институт передовых исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза . Лондон: Academic Press. стр. 128–161. Zbl  0153.07403.
• Серр, Жан-Пьер (1979). Локальные поля . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 67. Перевод Гринберга, Марвина Джея . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-90424-7. MR  0554237. Zbl  0423.12016.
• Snaith, Victor P. (1994). Структура модуля Галуа . Монографии Института Филдса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0264-X. Збл  0830.11042.