Теорема о примитивном элементе

В теории поля теорема о примитивном элементе утверждает, что каждое конечное сепарабельное расширение поля является простым , т.е. порождено одним элементом. Эта теорема подразумевает, в частности, что все алгебраические числовые поля над рациональными числами и все расширения, в которых оба поля конечны, являются простыми.

Пусть будет расширением поля . Элемент является примитивным элементом для , если т.е. если каждый элемент из может быть записан как рациональная функция в с коэффициентами в . Если существует такой примитивный элемент, то называется простым расширением . ${\displaystyle E/F}$${\displaystyle \альфа \in E}$${\displaystyle E/F}$${\displaystyle E=F(\альфа),}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \альфа}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E/F}$

Если расширение поля имеет примитивный элемент и имеет конечную степень , то каждый элемент можно записать в виде${\displaystyle E/F}$${\displaystyle \альфа}$ ${\displaystyle n=[E:F]}$${\displaystyle \гамма \in E}$

${\displaystyle \gamma =a_{0}+a_{1}{\alpha }+\cdots +a_{n-1}{\alpha }^{n-1},}$

для уникальных коэффициентов . То есть, набор${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}\in F}$

${\displaystyle \{1,\альфа,\ldots,{\альфа}^{n-1}\}}$

является базисом для E как векторного пространства над F. Степень n равна степени неприводимого многочлена α над F , единственного монического числа минимальной степени с α в качестве корня (линейная зависимость ).${\displaystyle f(X)\in F[X]}$${\displaystyle \{1,\альфа,\ldots,\альфа^{n-1},\альфа^{n}\}}$

Если L — поле расщепления , содержащее его n различных корней , то существует n вложений полей, определенных с помощью и для , и они распространяются на автоморфизмы L в группе Галуа , . Действительно, для поля расширения с , элемент является примитивным элементом тогда и только тогда, когда имеет n различных сопряженных элементов в некотором поле расщепления .${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle \альфа _{1},\ldots,\альфа _{n}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}:F(\alpha )\hookrightarrow L}$${\displaystyle \sigma _{i}(\alpha )=\alpha _{i}}$${\displaystyle \sigma (a)=a}$${\displaystyle a\in F}$${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\in \mathrm {Gal} (L/F)}$${\displaystyle [E:F]=n}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \sigma _{1}(\alpha ),\ldots ,\sigma _{n}(\alpha )}$${\displaystyle L\supseteq E}$

Если к рациональным числам присоединить два иррациональных числа и получить поле расширения степени 4, можно показать, что это расширение простое, то есть для одного . Взяв , степени 1, α , α ² , α ³ можно разложить как линейные комбинации 1, , , с целыми коэффициентами. Можно решить эту систему линейных уравнений для и над , чтобы получить и . Это показывает, что α действительно является примитивным элементом: ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\alpha )}$${\displaystyle \alpha \in E}$${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {6}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$${\displaystyle {\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{3}-9\alpha )}$${\displaystyle {\sqrt {3}}=-{\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{3}-11\alpha )}$

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}).}$

Можно также использовать следующий более общий аргумент. ^[1] Поле, очевидно, имеет четыре полевых автоморфизма, определенных с помощью и для каждого выбора знаков. Минимальный многочлен должен иметь , поэтому должен иметь по крайней мере четыре различных корня . Таким образом, имеет степень по крайней мере четыре, и , но это степень всего поля, , поэтому .${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4}:E\to E}$${\displaystyle \sigma _{i}({\sqrt {2}})=\pm {\sqrt {2}}}$${\displaystyle \sigma _{i}({\sqrt {3}})=\pm {\sqrt {3}}}$${\displaystyle f(X)\in \mathbb {Q} [X]}$${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$${\displaystyle f(\sigma _{i}(\alpha ))=\sigma _{i}(f(\alpha ))=0}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle \sigma _{i}(\alpha )=\pm {\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}}}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle [\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]\geq 4}$${\displaystyle [E:\mathbb {Q} ]=4}$${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\alpha )}$

Теорема о примитивном элементе гласит:

Каждое сепарабельное расширение поля конечной степени является простым.

Эта теорема применима к полям алгебраических чисел , т.е. конечным расширениям рациональных чисел Q , поскольку Q имеет характеристику 0 и, следовательно, каждое конечное расширение над Q является отделимым.

Используя основную теорему теории Галуа , первая теорема немедленно следует из теоремы Штейница .

Для несепарабельного расширения характеристики p тем не менее существует примитивный элемент при условии, что степень [ E  :  F ] равна p: действительно, не может быть нетривиальных промежуточных подполей, поскольку их степени были бы множителями простого числа p .${\displaystyle E/F}$

Когда [ E  :  F ] = p ² , примитивного элемента может не быть (в этом случае существует бесконечно много промежуточных полей по теореме Штейница ). Простейшим примером является , поле рациональных функций от двух неизвестных T и U над конечным полем с p элементами, и . Фактически, для любого из , эндоморфизм Фробениуса показывает, что элемент лежит в F , поэтому α является корнем , и α не может быть примитивным элементом (степени p ² над F ), но вместо этого F ( α ) является нетривиальным промежуточным полем.${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(T,U)}$${\displaystyle F=\mathbb {F} _{p}(T^{p},U^{p})}$${\displaystyle \alpha =g(T,U)}$${\displaystyle E\setminus F}$${\displaystyle \alpha ^{p}}$${\displaystyle f(X)=X^{p}-\alpha ^{p}\in F[X]}$

Предположим сначала, что бесконечно. По индукции достаточно доказать, что любое конечное расширение является простым. Для , предположим, что не является примитивным элементом, . Тогда , так как в противном случае . Рассмотрим минимальные многочлены над , соответственно , и возьмем поле расщепления, содержащее все корни и . Так как , существует другой корень , и автоморфизм поля , который фиксирует и принимает . Тогда мы имеем , и:${\displaystyle F}$${\displaystyle E=F(\beta ,\gamma )}$${\displaystyle c\in F}$${\displaystyle \alpha =\beta +c\gamma }$${\displaystyle F(\alpha )\subsetneq F(\beta ,\gamma )}$${\displaystyle \gamma \notin F(\alpha )}$${\displaystyle \beta =\alpha -c\gamma \in F(\alpha )=F(\beta ,\gamma )}$${\displaystyle \beta ,\gamma }$${\displaystyle F(\alpha )}$${\displaystyle f(X),g(X)\in F(\alpha )[X]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \beta ,\beta ',\ldots }$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle \gamma ,\gamma ',\ldots }$${\displaystyle g(X)}$${\displaystyle \gamma \notin F(\alpha )}$${\displaystyle \gamma '\neq \gamma }$${\displaystyle \sigma :L\to L}$${\displaystyle F(\alpha )}$${\displaystyle \sigma (\gamma )=\gamma '}$${\displaystyle \sigma (\alpha )=\alpha }$

${\displaystyle \beta +c\gamma =\sigma (\beta +c\gamma )=\sigma (\beta )+c\,\sigma (\gamma )}$, и поэтому .${\displaystyle c={\frac {\sigma (\beta )-\beta }{\gamma -\sigma (\gamma )}}}$

Поскольку существует лишь конечное число возможностей для и , только конечное число не может дать примитивный элемент . Все остальные значения дают .${\displaystyle \sigma (\beta )=\beta '}$${\displaystyle \sigma (\gamma )=\gamma '}$${\displaystyle c\in F}$${\displaystyle \alpha =\beta +c\gamma }$${\displaystyle F(\alpha )=F(\beta ,\gamma )}$

В случае, когда является конечным, мы просто принимаем его за примитивный корень конечного поля расширения .${\displaystyle F}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle E}$

В своих первых мемуарах 1831 года, опубликованных в 1846 году, ^[2] Эварист Галуа набросал доказательство классической теоремы о примитивных элементах в случае поля расщепления многочлена над рациональными числами. Пробелы в его наброске можно было легко заполнить ^[3] (как заметил рецензент Пуассон ), используя теорему ^{[4] [5]} Лагранжа от 1771 года, которую Галуа, несомненно, знал. Вполне вероятно, что Лагранж уже знал теорему о примитивных элементах для полей расщепления. ^{[5] Затем Галуа} активно использовал эту теорему в своей разработке группы Галуа . С тех пор она использовалась при разработке теории Галуа и основной теоремы теории Галуа .

Теорема о примитивных элементах была доказана в ее современной форме Эрнстом Штейницем в влиятельной статье по теории поля в 1910 году, которая также содержит теорему Штейница ; ^[6] Штейниц назвал «классический» результат теоремой о примитивных элементах , а его современную версию — теоремой о промежуточных полях .

Эмиль Артин переформулировал теорию Галуа в 1930-х годах, не полагаясь на примитивные элементы. ^{[7] [8]}

• Курсовые заметки Дж. Милна по полям и теории Галуа
• Теорема о примитивном элементе на mathreference.com
• Теорема о примитивном элементе на planetmath.org
• Теорема о примитивном элементе на сайте Кена Брауна (файл pdf)