Оценка (алгебра)

В алгебре (в частности, в алгебраической геометрии или алгебраической теории чисел ) оценка — это функция поля , которая дает меру размера или кратности элементов поля. Она обобщает на коммутативную алгебру понятие размера, присущее рассмотрению степени полюса или кратности нуля в комплексном анализе , степени делимости числа на простое число в теории чисел и геометрической концепции контакта между двумя алгебраическими или аналитическими многообразиями в алгебраической геометрии. Поле с оценкой на нем называется полем со значениями .

Начнем со следующих объектов:

• поле K и его ^{мультипликативная} группа K × ,
• абелева полностью упорядоченная группа (Γ , +, ≥) .

Упорядочение и групповой закон на Γ распространяются на множество Γ ∪ {∞ } ^[a] по правилам

• ∞ ≥ α для всех α ∈ Γ ,
• ∞ + α = α + ∞ = ∞ + ∞ = ∞ для всех α ∈ Γ .

Тогда оценка K — это любая карта

v  : K → Γ ∪ {∞}

который удовлетворяет следующим свойствам для всех a , b в K :

• v ( a ) = ∞ тогда и только тогда, когда a = 0 ,
• v ( аб ) = v ( а ) + v ( б ) ,
• v ( a + b ) ≥ min( v ( a ), v ( b )) , с равенством, если v ( a ) ≠ v ( b ).

Оценка v тривиальна , если v ( a ) = 0 для всех a из K ^× , в противном случае она нетривиальна .

Второе свойство утверждает, что любая оценка является групповым гомоморфизмом на K ^× . Третье свойство является версией неравенства треугольника на метрических пространствах, адаптированной к произвольному Γ (см. Мультипликативную нотацию ниже). Для оценок, используемых в геометрических приложениях, первое свойство подразумевает, что любой непустой росток аналитического многообразия вблизи точки содержит эту точку.

Оценку можно интерпретировать как порядок члена ведущего порядка . ^[b] Третье свойство тогда соответствует порядку суммы, являющемуся порядком большего члена, ^[c] если только два члена не имеют одинаковый порядок, в этом случае они могут сократиться, и сумма может иметь больший порядок.

Для многих приложений Γ является аддитивной подгруппой действительных чисел ^[d] , в этом случае ∞ можно интерпретировать как +∞ в расширенных действительных числах ; обратите внимание, что для любого действительного числа a , и, таким образом, +∞ является единицей при бинарной операции минимума. Действительные числа (расширенные на +∞) с операциями минимума и сложения образуют полукольцо , называемое тропическим полукольцом min , ^[e] , а оценка v является почти гомоморфизмом полуколец из K в тропическое полукольцо, за исключением того, что свойство гомоморфизма может нарушиться, когда два элемента с одинаковой оценкой складываются вместе.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \min(a,+\infty) =\min(+\infty,a)=a}$

Эта концепция была разработана Эмилем Артином в его книге «Геометрическая алгебра» , где группа записана в мультипликативной записи как (Γ, ·, ≥) : ^[1]

Вместо ∞ мы присоединяем формальный символ O к Γ, причем порядок и групповой закон расширены правилами

• O ≤ α для всех α ∈ Γ ,
• О · α = α · O = O для всех α ∈ Γ .

Тогда оценка K — это любая карта

| ⋅ | _v  : K → Γ ∪ { O }

удовлетворяющий следующим свойствам для всех a , b ∈ K :

• |a| _v = O тогда и только тогда, когда a = 0 ,
• |ab| _v = |a| _v · |b| _v ,
• |a+b| _v ≤ max( |a| _v , |b| _v ) , с равенством, если |a| _v ≠ |b| _v .

(Обратите внимание, что направления неравенств противоположны направлениям в аддитивной записи.)

Если Γ является подгруппой положительных действительных чисел при умножении, последнее условие является ультраметрическим неравенством, более сильной формой неравенства треугольника |a+b| _v ≤ |a| _v + |b| _v , и | ⋅ | _v является абсолютным значением . В этом случае мы можем перейти к аддитивной записи с группой значений , взяв v ₊ ( a ) = −log |a| _v .${\displaystyle \Гамма _{+}\subseteq (\mathbb {R} ,+)}$

Каждая оценка на K определяет соответствующий линейный предпорядок : a ≼ b ⇔ |a| _v ≤ |b| _v . И наоборот, если задано " ≼ ", удовлетворяющее требуемым свойствам, мы можем определить оценку |a| _v = { b : b ≼ a ∧ a ≼ b }, с умножением и упорядочением на основе K и ≼ .

В этой статье мы используем термины, определенные выше, в аддитивной записи. Однако некоторые авторы используют альтернативные термины:

• наша «оценка» (удовлетворяющая ультраметрическому неравенству) называется «экспоненциальной оценкой» или «неархимедовым абсолютным значением» или «ультраметрическим абсолютным значением»;
• наша «абсолютная величина» (удовлетворяющая неравенству треугольника) называется «оценкой» или «архимедовой абсолютной величиной».

Существует несколько объектов, определенных из данной оценки v  : K → Γ ∪ {∞} ;

• группа значений или группа оценок Γ _v = v ( K ^× ), подгруппа Γ (хотя v обычно сюръективна, так что Γ _v = Γ );
• кольцо оценки R _v — это множество a ∈ K с v ( a ) ≥ 0,
• простой идеал m _v — это множество a ∈ K с v ( a ) > 0 (фактически это максимальный идеал R _v ),
• поле вычетов k _v = R _v / m _v ,​
• место K , связанное с v , класс v при эквивалентности, определенной ниже .

Две оценки v ₁ и v ₂ из K с группами оценок Γ ₁ и Γ ₂ соответственно называются эквивалентными , если существует сохраняющий порядок групповой изоморфизм φ  : Γ ₁ → Γ ₂ такой, что v ₂ ( a ) = φ( v ₁ ( a )) для всех a из K ^× . Это отношение эквивалентности .

Две оценки K эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же кольцо оценки.

Класс эквивалентности оценок поля называется местом . Теорема Островского дает полную классификацию мест поля рациональных чисел это как раз классы эквивалентности оценок для p - адических пополнений${\displaystyle \mathbb {Q} :}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Пусть v — оценка поля K , а L — расширение поля K. Расширение поля v (до L ) — это оценка поля w поля L , такая, что ограничение поля w до K равно v . Множество всех таких расширений изучается в теории ветвления оценок .

Пусть L / K — конечное расширение , а w — расширение v до L. Индекс Γ _v в Γ _w , e( w / v ) = [Γ _w  : Γ _v ], называется приведенным индексом ветвления w над v . Он удовлетворяет e( w / v ) ≤ [ L  :  K ] ( степень расширения L / K ). Относительная степень w над v определяется как f ( w / v ) = [ R _w / m _w  :  R _v / m _v ] ( степень расширения полей вычетов). Она также меньше или равна степени L / K . Когда L / K отделимо , индекс ветвления w над v определяется как e( w / v ) p i ^, где p ⁱ — неотделимая степень расширения R _w / m _w над R _v / m _v .

Когда упорядоченная абелева группа Γ является аддитивной группой целых чисел , связанная оценка эквивалентна абсолютному значению и, следовательно, индуцирует метрику на поле K. Если K полно относительно этой метрики, то оно называется полнозначным полем . Если K неполно , можно использовать оценку для построения его завершения , как в примерах ниже, и различные оценки могут определять различные поля завершения.

В общем случае оценка индуцирует равномерную структуру на K , и K называется полным полем значений, если оно полно как равномерное пространство. Существует связанное свойство, известное как сферическая полнота : оно эквивалентно полноте, если , но сильнее в общем случае.${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z},}$

Самый простой пример — это p -адическая оценка ν _{p ,} связанная с простым целым числом p , на рациональных числах с кольцом оценки , где — локализация в простом идеале . Группа оценки — это аддитивные целые числа Для целого числа оценка ν _p ( a ) измеряет делимость a на степени p :${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,}$${\displaystyle R=\mathbb {Z} _{(p)},}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle (п)}$${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} .}$${\displaystyle a\in R=\mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle \nu _{p}(a)=\max\{e\in \mathbb {Z} \mid p^{e}{\text{ делит }}a\};}$

а для дроби ν _p ( a / b ) = ν _p ( a ) - ν _p ( b ).

Записывая это мультипликативно, получаем p -адическое абсолютное значение , которое традиционно имеет в качестве основания , поэтому .${\displaystyle 1/p=p^{-1}}$${\displaystyle |a|_{p}:=p^{-\nu _{p}(a)}}$

Пополнение относительно ν _p представляет собой поле p-адических чисел .${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Пусть K = F (x), рациональные функции на аффинной прямой X = F ¹ , и возьмем точку a ∈ X. Для полинома с , определим v _a ( f ) = k, порядок исчезновения при x = a ; и v _a ( f / g ) = v _a ( f ) − v _a ( g ). Тогда кольцо нормирования R состоит из рациональных функций без полюса при x = a , а пополнение является формальным кольцом рядов Лорана F (( x − a )). Это можно обобщить на поле рядов Пюизё K {{ t }} (дробные степени), поле Леви-Чивиты (его пополнение Коши) и поле рядов Хана , причем нормирование во всех случаях возвращает наименьший показатель степени t, появляющийся в ряде.${\displaystyle f(x)=a_{k}(x{-}a)^{k}+a_{k+1}(x{-}a)^{k+1}+\cdots +a_{n}(x{-}a)^{n}}$${\displaystyle a_{k}\neq 0}$

Обобщая предыдущие примеры, пусть R — область главных идеалов , K — ее поле дробей , а π — неприводимый элемент R. Поскольку каждая область главных идеалов является уникальной областью факторизации , каждый ненулевой элемент a из R может быть записан (по сути) однозначно как

${\displaystyle a=\pi ^{e_{a}}p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{n}^{e_{n}}}$

где e's — неотрицательные целые числа, а p _i — неприводимые элементы R , которые не являются ассоциированными с π . В частности, целое число e _a однозначно определяется a .

Тогда π -адическая оценка K задается как

• ${\displaystyle v_{\pi }(0)=\infty }$
• ${\displaystyle v_{\pi }(a/b)=e_{a}-e_{b},{\text{ для }}a,b\in R,a,b\neq 0.}$

Если π' — другой неприводимый элемент R, такой что (π') = (π) (то есть они порождают один и тот же идеал в R ), то π-адическая оценка и π'-адическая оценка равны. Таким образом, π-адическая оценка может быть названа P -адической оценкой, где P  = (π).

Предыдущий пример можно обобщить на области Дедекинда . Пусть R — область Дедекинда, K — ее поле дробей, и пусть P — ненулевой простой идеал R. Тогда локализация R в точке P , обозначаемая R _P , является областью главных идеалов, поле дробей которой равно K. Конструкция предыдущего раздела, примененная к простому идеалу PR _P области R _P , дает P -адическую оценку K.

Предположим, что Γ ∪ {0} — множество неотрицательных действительных чисел при умножении. Тогда мы говорим, что оценка недискретна, если ее диапазон (группа оценки) бесконечен (и, следовательно, имеет точку накопления в 0).

Предположим, что X — векторное пространство над K , а A и B — подмножества X. Тогда мы говорим, что A поглощает B, если существует α ∈ K, такое что λ ∈ K и |λ| ≥ |α| влечет, что B ⊆ λ A. A называется радиальным или поглощающим , если A поглощает каждое конечное подмножество X. Радиальные подмножества X инвариантны относительно конечного пересечения. Кроме того, A называется окружённым , если λ из K и |λ| ≥ |α| влечет, что λ A ⊆ A. Множество окружённых подмножеств L инвариантно относительно произвольных пересечений. Окружённая оболочка A — это пересечение всех окружённых подмножеств X , содержащих A.

Предположим, что X и Y — векторные пространства над недискретным полем оценки K , пусть A ⊆ X , B ⊆ Y , и пусть f : X → Y — линейное отображение. Если B окружён или радиален, то так же будет и . Если A окружён, то так же будет и f(A), но если A радиален, то f(A) будет радиальным при дополнительном условии, что f сюръективно.${\displaystyle f^{-1}(Б)}$

• Дискретная оценка
• Евклидова оценка
• Норма поля
• Абсолютное значение (алгебра)

• Данилов, В.И. (2001) [1994], «Оценка», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Дискретная оценка в PlanetMath .
• Оценка в PlanetMath .
• Вайсштейн, Эрик В. «Оценка». MathWorld .