метрика Квиллена

В математике , и особенно в дифференциальной геометрии , метрика Квиллена — это метрика на детерминантном линейном расслоении семейства операторов. Она была введена Дэниелом Квилленом ^[1] для некоторых эллиптических операторов над римановой поверхностью и обобщена на многообразия более высокой размерности Жаном-Мишелем Бисмутом и Дэном Фридом . ^[2]

Метрика Квиллена была использована Квилленом для того, чтобы дать дифференциально-геометрическую интерпретацию обильного линейного расслоения над пространством модулей векторных расслоений на компактной римановой поверхности , известного как детерминантное линейное расслоение Квиллена . Его можно рассматривать как определение представителя Черна–Вейля первого класса Черна этого обильного линейного расслоения. Конструкция метрики Квиллена и ее обобщения были использованы Бисмутом и Фридом для вычисления голономии определенных детерминантных линейных расслоений операторов Дирака , и эта голономия связана с определенными сокращениями аномалий в теории Черна–Саймонса, предсказанными Эдвардом Виттеном . ^{[3] [4]}

Метрика Квиллена также использовалась Саймоном Дональдсоном в 1987 году в новом индуктивном доказательстве соответствия Хитчина–Кобаяши для проективных алгебраических многообразий , опубликованном через год после разрешения соответствия Шинг-Тунгом Яу и Карен Уленбек для произвольных компактных кэлеровых многообразий . ^[5]

Предположим, что есть семейство фредгольмовых операторов между гильбертовыми пространствами , непрерывно меняющихся относительно для некоторого топологического пространства . Поскольку каждый из этих операторов фредгольмов, ядро ​​и коядро конечномерны. Таким образом, существуют назначения${\displaystyle D_{t}}$ ${\displaystyle D_{t}:V\to W}$${\displaystyle t\in X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle t\mapsto \ker D_{t},\quad t\mapsto {\text{coker}}D_{t}}$

которые определяют семейства векторных пространств над . Несмотря на предположение, что операторы непрерывно изменяются в , эти назначения векторных пространств не образуют векторные расслоения над топологическим пространством , поскольку размерность ядра и коядра может скачкообразно изменяться для семейства дифференциальных операторов. Однако индекс дифференциального оператора, размерность ядра, вычитаемая из размерности коядра, является инвариантом с точностью до непрерывных деформаций. То есть, назначение${\displaystyle X}$${\displaystyle D_{t}}$${\displaystyle т}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle t\mapsto {\text{ind}}(D_{t}):=\dim \ker D_{t}-\dim {\text{coker}}D_{t}}$

является постоянной функцией на . Поскольку невозможно взять разность векторных расслоений, невозможно объединить семейства ядер и коядер в векторное расслоение. Однако в K-теории формальные разности векторных расслоений могут быть взяты, и ассоциированному с семейством элементу${\displaystyle X}$${\displaystyle D_{t}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D_{t}}$

${\displaystyle {\text{ind}}(D_{t})=[t\mapsto \ker D_{t}-{\text{coker}}D_{t}]\in K(X).}$

Этот виртуальный индексный пакет содержит информацию об аналитических свойствах семейства , а его виртуальный ранг, разность размерностей, может быть вычислен с использованием теоремы Атьи–Зингера об индексе , при условии, что операторы являются эллиптическими дифференциальными операторами .${\displaystyle D_{t}}$${\displaystyle D_{t}}$

Хотя виртуальное индексное расслоение не является подлинным векторным расслоением над пространством параметров , можно перейти к подлинному линейному расслоению, построенному из . Для любого , детерминантная линия определяется как одномерное векторное пространство${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{ind}}(D_{t})}$${\displaystyle т}$${\displaystyle D_{t}:V\to W}$

${\displaystyle \det D_{t}:=\left(\Lambda ^{\dim {\text{кокс}}D_{t}}{\text{кокс}}D_{t}\right)^{*}\otimes \Lambda ^{\dim \ker D_{t}}\ker D_{t}.}$

Один определяет определитель линейного расслоения семейства как послойный определитель виртуального индексного расслоения,${\displaystyle D_{t}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\det {\text{ind}}(D_{t})}$

которое над каждым имеет слой, заданный детерминантной прямой . ^[6] Это подлинное линейное расслоение над топологическим пространством имеет тот же первый класс Черна , что и виртуальное индексное расслоение, и это может быть вычислено с помощью теоремы об индексе.${\displaystyle t\in X}$${\displaystyle \det D_{t}}$${\displaystyle X}$

Метрика Квиллена была введена Квилленом и является эрмитовой метрикой на детерминантном линейном расслоении некоторого семейства дифференциальных операторов, параметризованных пространством унитарных связностей на комплексном векторном расслоении над компактной римановой поверхностью . В этом разделе описывается конструкция.

Если задан фредгольмовский оператор между комплексными гильбертовыми пространствами, то естественным образом получаются эрмитовы внутренние произведения на конечномерных векторных пространствах и ограничением. Они объединяются, чтобы дать эрмитово внутреннее произведение, скажем, на детерминантной прямой , одномерном комплексном векторном пространстве. Однако, когда есть семейство таких операторов, параметризованных гладким многообразием , назначение эрмитовых внутренних произведений на каждом слое детерминантного линейного расслоения не определяет гладкую эрмитову метрику. Действительно, в этой настройке необходимо позаботиться о том, чтобы линейное расслоение на самом деле было гладким линейным расслоением , и Квиллен показал, что можно построить гладкую тривиализацию . ^[1]${\displaystyle D:V\to W}$${\displaystyle \ker D}$${\displaystyle {\text{кокер}}D}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle \det D}$${\displaystyle D_{t}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle t\mapsto h_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Естественные эрмитовы метрики могут развивать сингулярное поведение всякий раз, когда собственные значения операторов Лапласа пересекаются или становятся равными, объединяя меньшие собственные пространства в большие собственные пространства. Чтобы отменить это сингулярное поведение, нужно регуляризировать эрмитову метрику , умножив ее на бесконечный определитель${\displaystyle h_{t}}$ ${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle D_{t}^{*}D_{t}}$${\displaystyle ч}$

${\displaystyle \Pi \lambda =\exp(-\zeta '(0))}$

где — оператор дзета-функции Лапласа , определяемый как мероморфное продолжение${\displaystyle \дзета (с)}$${\displaystyle D_{t}^{*}D_{t}}$${\displaystyle s=0}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{\lambda }\lambda ^{-s}}$

который определен для . Эта дзета-функция и бесконечный определитель тесно связаны с аналитическим кручением лапласиана . В общей ситуации, изученной Бисмутом и Фридом, необходимо соблюдать осторожность при определении этого бесконечного определителя, который определяется в терминах суперследа .${\displaystyle {\text{Re}}(s)>1}$${\displaystyle D_{t}^{*}D_{t}}$

Квиллен рассмотрел аффинное пространство унитарных связностей на гладком комплексном векторном расслоении над компактной римановой поверхностью и семейство дифференциальных операторов , операторов Дольбо связностей Черна , действующих между пространствами Соболева сечений , которые являются гильбертовыми пространствами. Каждый оператор является эллиптическим, и поэтому по эллиптической регулярности его ядро ​​состоит из гладких сечений . Действительно, состоит из голоморфных сечений относительно голоморфной структуры, индуцированной оператором Дольбо . Конструкция Квиллена дает метрику на детерминантном линейном расслоении этого семейства, , и Квиллен показал, что форма кривизны связности Черна, связанная с метрикой Квиллена, задается симплектической формой Атьи–Ботта на пространстве унитарных связностей, ранее открытой Майклом Атьей и Раулем Боттом в их исследовании уравнений Янга–Миллса над римановыми поверхностями. ^[7]${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle E\to \Sigma }$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}:L_{1}^{2}(E)\to L^{2}(\Omega ^{0,1}(E))}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \ker {\bar {\partial }}_{A}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{A}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\to {\mathcal {A}}}$

С метрикой Квиллена и ее обобщенной конструкцией Бисмута и Фрида связана унитарная связность , а с этой унитарной связностью связана ее форма кривизны . Связанный когомологический класс этой формы кривизны предсказывается версией семейств теоремы Атьи–Зингера об индексе , и согласие этого предсказания с формой кривизны было доказано Бисмутом и Фридом. ^[3] В случае римановых поверхностей, изученных Квилленом, эта кривизна, как показано, задается выражением

${\displaystyle \Omega _{A}(a,b)=\int _{\Sigma }{\text{trace}}(a\wedge b)}$

где — унитарная связность, а — касательные векторы к в . Эта симплектическая форма — симплектическая форма Атьи–Ботта, впервые открытая Атьей и Боттом. Используя эту симплектическую форму, Атья и Ботт продемонстрировали, что теорему Нарасимхана–Сешадри можно интерпретировать как бесконечномерную версию теоремы Кемпфа–Несс из геометрической теории инвариантов , и в этой постановке метрика Квиллена играет роль метрики Кэлера , которая позволяет провести симплектическую редукцию .${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle a,b\in \Omega ^{1}({\text{End}}(E))}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

В новом доказательстве Дональдсона соответствия Хитчина–Кобаяши для проективных алгебраических многообразий он объяснил, как построить детерминантное линейное расслоение над пространством унитарных связностей на векторном расслоении над произвольным алгебраическим многообразием, кривизна которого представляет собой симплектическую форму Атьи–Ботта более высокой размерности: ^[5]

${\displaystyle \Omega _{A}(a,b)=\int _{M}{\text{trace}}(a\wedge b)\wedge \omega ^{n-1}}$

где — проективное алгебраическое многообразие. Эта конструкция была использована Дональдсоном в индуктивном доказательстве соответствия.${\displaystyle (М,\омега)}$

Метрика Квиллена в первую очередь рассматривается при изучении голоморфных векторных расслоений над римановыми поверхностями или многообразиями более высокой размерности , а также в обобщении Бисмута и Фридса на изучение семейств эллиптических операторов. При изучении пространств модулей алгебраических многообразий и комплексных многообразий можно построить детерминантные линейные расслоения на пространстве почти комплексных структур на фиксированном гладком многообразии , которые индуцируют кэлерову структуру с формой . ^{[8] [9]} Так же, как метрика Квиллена для векторных расслоений была связана с устойчивостью векторных расслоений в работах Атьи и Ботта и Дональдсона, можно связать метрику Квиллена для детерминантного расслоения для многообразий с теорией устойчивости многообразий. Действительно, функционал K-энергии, определенный Тошики Мабучи , критические точки которого задаются метриками Кэлера с постоянной скалярной кривизной , можно интерпретировать как функционал логарифмической нормы для метрики Квиллена на пространстве метрик Кэлера.${\displaystyle (М,\омега)}$${\displaystyle \омега}$