Супертрассировка

В теории супералгебр , если A — коммутативная супералгебра , V — свободный правый A - супермодуль и T — эндоморфизм из V в себя, то суперслед T , str( T ) , определяется следующей диаграммой следов :

Более конкретно, если мы запишем T в виде блочной матрицы после разложения на четные и нечетные подпространства следующим образом:

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}T_{00}&T_{01}\\T_{10}&T_{11}\end{pmatrix}}}$

затем супертрасса

str( T ) = обычный след T 00 ₋ обычный след T ₁₁ .

Покажем, что супертрасса не зависит от базиса. Предположим, что e ₁ , ..., e _p — четные базисные векторы, а e _{p +1} , ..., e _{p + q} — нечетные базисные векторы. Тогда компоненты T , являющиеся элементами A , определяются как

${\displaystyle T(\mathbf {e} _{j})=\mathbf {e} _{i}T_{j}^{i}.\,}$

Градация T ⁱ _j представляет собой сумму градуировок T , e _i , e _j mod 2.

Изменение базиса на e _1' , ..., e _p' , e _{( p +1)'} , ..., e _{( p + q )'} задается суперматрицей

${\displaystyle \mathbf {e} _{i'} = \mathbf {e} _{i}A_{i'}^{i}}$

и обратная суперматрица

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{i'}(A^{-1})_{i}^{i'},\,}$

где, конечно, AA ⁻¹ = A ⁻¹ A = 1 (тождество).

Теперь мы можем явно проверить, что супертрасса независима от базиса. В случае, когда T четно, мы имеем

${\displaystyle \operatorname {str} (A^{-1}TA)=(-1)^{|i'|}(A^{-1})_{j}^{i'}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}=(-1)^{|i'|}(-1)^{(|i'|+|j|)(|i'|+|j|)}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}(A^{-1})_{j}^{i'}=(-1)^{|j|}T_{j}^{j}=\operatorname {str} (T).}$

В случае, когда T нечетно, мы имеем

${\displaystyle \operatorname {str} (A^{-1}TA)=(-1)^{|i'|}(A^{-1})_{j}^{i'}T_{k}^{j}A_{i'}^{k}=(-1)^{|i'|}(-1)^{(1+|j|+|k|)(|i'|+|j|)}T_{k}^{j}(A^{-1})_{j}^{i'}A_{i'}^{k}=(-1)^{|j|}T_{j}^{j}=\operatorname {str} (T).}$

Обычная трасса не является базисно-независимой, поэтому подходящей трассой для использования в Z ₂ -градуированной настройке является супертрасса.

Супертрасса удовлетворяет свойству

${\displaystyle \operatorname {str} (T_{1}T_{2})=(-1)^{|T_{1}||T_{2}|}\operatorname {str} (T_{2}T_{1})}$

для всех T ₁ , T ₂ в End( V ). В частности, суперслед суперкоммутатора равен нулю.

На самом деле, можно определить суперслед в более общем виде для любой ассоциативной супералгебры E над коммутативной супералгеброй A как линейное отображение tr: E -> A , которое обращается в нуль на суперкоммутаторах. ^[1] Такой суперслед не определен однозначно; его всегда можно, по крайней мере , изменить путем умножения на элемент A.

В суперсимметричных квантовых теориях поля, в которых интеграл действия инвариантен относительно набора преобразований симметрии (известных как преобразования суперсимметрии), алгебры которых являются супералгебрами, суперслед имеет множество приложений. В таком контексте суперслед матрицы масс для теории может быть записан как сумма по спинам следов матриц масс для частиц с различным спином: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {str} [M^{2}]=\sum _{s}(-1)^{2s}(2s+1)\operatorname {tr} [m_{s}^{2}].}$

В теориях, свободных от аномалий, где в суперпотенциале появляются только перенормируемые члены, можно показать, что указанный выше суперслед исчезает, даже когда суперсимметрия спонтанно нарушается.

Вклад в эффективный потенциал, возникающий в одной петле (иногда называемый потенциалом Коулмена–Вайнберга ^[3] ), также может быть записан в терминах суперследа. Если — массовая матрица для данной теории, то потенциал одной петли может быть записан как${\displaystyle М}$

${\displaystyle V_{eff}^{1-loop}={\dfrac {1}{64\pi ^{2}}}\operatorname {str} {\bigg [}M^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {M^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}={\dfrac {1}{64\pi ^{2}}}\operatorname {tr} {\bigg [}m_{B}^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {m_{B}^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}-m_{F}^{4}\ln {\Big (}{\dfrac {m_{F}^{2}}{\Lambda ^{2}}}{\Big )}{\bigg ]}}$

где и — соответствующие древесные матрицы масс для отдельных бозонных и фермионных степеней свободы в теории, а — масштаб отсечки.${\displaystyle m_{B}}$${\displaystyle m_{F}}$${\displaystyle \Лямбда}$

• Березинский