Гомоморфизм Черна–Вейля

В математике гомоморфизм Черна–Вейля — это базовая конструкция в теории Черна–Вейля , которая вычисляет топологические инварианты векторных расслоений и главных расслоений на гладком многообразии M в терминах связностей и кривизны, представляющих классы в кольцах когомологий де Рама M. То есть, теория образует мост между областями алгебраической топологии и дифференциальной геометрии . Она была разработана в конце 1940-х годов Шиин-Шен Черном и Андре Вейлем вслед за доказательствами обобщенной теоремы Гаусса–Бонне . Эта теория была важным шагом в теории характеристических классов .

Пусть G — действительная или комплексная группа Ли с алгеброй Ли , и пусть обозначает алгебру -значных многочленов на (точно такой же аргумент работает, если бы мы использовали вместо ) . Пусть — подалгебра неподвижных точек в при присоединенном действии G ; то есть подалгебра, состоящая из всех многочленов f таких, что , для всех g в G и x в ,${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$${\displaystyle f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Для данного главного G-расслоения P на M существует ассоциированный гомоморфизм -алгебр,${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )}$,

называемый гомоморфизмом Черна–Вейля , где справа когомологии — это когомологии де Рама . Этот гомоморфизм получается взятием инвариантных многочленов по кривизне любой связности на данном расслоении. Если G является либо компактным, либо полупростым, то кольцо когомологий классифицирующего пространства для G -расслоений, , изоморфно алгебре инвариантных многочленов:${\displaystyle БГ}$${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$

${\displaystyle H^{*}(BG;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}.}$

(Кольцо когомологий BG все еще можно задать в смысле де Рама:

${\displaystyle H^{k}(BG;\mathbb {C})=\varinjlim \operatorname {ker} (d\colon \Omega ^{k}(B_{j}G)\to \Omega ^{k+ 1}(B_{j}G))/\operatorname {im} d.}$

когда и являются многообразиями.)${\displaystyle BG=\varinjlim B_{j}G}$${\displaystyle B_{j}G}$

Выберите любую форму связности ω в P , и пусть Ω будет ассоциированной формой кривизны ; т. е. , внешней ковариантной производной ω. Если является однородной полиномиальной функцией степени  k ; т. е. для любого комплексного числа a и x в , то, рассматривая f как симметричный полилинейный функционал на (см. кольцо полиномиальных функций ), пусть${\displaystyle \Омега =D\омега }$${\displaystyle f\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$${\displaystyle f(ax)=a^{k}f(x)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle f(\Омега)}$

быть (скалярнозначной) 2 k -формой на P , заданной формулой

${\displaystyle f(\Omega)(v_{1},\dots,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S} }_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (v_{\sigma (2k-1)},v_{\sigma (2k)}))}$

где v _i — касательные векторы к P , — знак перестановки в симметрической группе по 2 k числам (см. Формы со значениями в алгебре Ли#Операции, а также Пфаффиан ).${\displaystyle \epsilon _ {\sigma }}$${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}}$

Если, кроме того, f инвариантно; т. е. , то можно показать, что является замкнутой формой , она спускается до единственной формы на M и что класс когомологий де Рама формы не зависит от . Во-первых, то, что является замкнутой формой, следует из следующих двух лемм: ^[1]${\displaystyle f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)}$${\displaystyle f(\Омега)}$${\displaystyle \омега}$${\displaystyle f(\Омега)}$

Лемма 1: Форма на P спускается до (единственной) формы на M ; т. е. существует форма на M , которая возвращается к .${\displaystyle f(\Омега)}$${\displaystyle {\overline {f}}(\Омега)}$${\displaystyle f(\Омега)}$

Лемма 2: Если форма на P спускается до формы на M , то .${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle d\varphi =D\varphi}$

Действительно, второе тождество Бьянки гласит , и, поскольку D является градуированным выводом, Наконец, Лемма 1 утверждает, что удовлетворяет гипотезе Леммы 2.${\displaystyle D\Омега =0}$${\displaystyle Df(\Omega)=0.}$${\displaystyle f(\Омега)}$

Чтобы увидеть Лемму 2, пусть будет проекцией и h будет проекцией на горизонтальное подпространство. Тогда Лемма 2 является следствием того факта, что (ядро есть именно вертикальное подпространство.) Что касается Леммы 1, сначала отметим${\displaystyle \пи \двоеточие P\до M}$${\displaystyle T_{u}P}$${\ displaystyle d \ pi (hv) = d \ pi (v)}$${\displaystyle d\пи}$

${\displaystyle f(\Omega)(dR_{g}(v_{1}),\dots,dR_{g}(v_{2k}))=f(\Omega)(v_{1},\dots,v_ {2k}),\,R_{g}(u)=ug;}$

что так как и f инвариантно. Таким образом, можно определить по формуле:${\displaystyle R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} _{g^{-1}}\Omega }$${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$

${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )({\overline {v_{1}}},\dots ,{\overline {v_{2k}}})=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k}),}$

где есть какие-либо подъемы : .${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle {\overline {v_{i}}}}$${\displaystyle d\pi (v_{i})={\overline {v}}_{i}}$

Далее мы показываем, что класс когомологий де Рама на M не зависит от выбора связности. ^[2] Пусть — произвольные формы связности на P , а — проекция. Положим${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}$${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1}}$${\displaystyle p\colon P\times \mathbb {R} \to P}$

${\displaystyle \omega '=t\,p^{*}\omega _{1}+(1-t)\,p^{*}\omega _{0}}$

где t — гладкая функция на , заданная . Пусть — формы кривизны . Пусть — включения. Тогда гомотопно . Таким образом, и принадлежат к одному и тому же классу когомологий де Рама по гомотопической инвариантности когомологий де Рама . Наконец, по естественности и по единственности убывания,${\displaystyle P\times \mathbb {R} }$${\displaystyle (x,s)\mapsto s}$${\displaystyle \Omega ',\Omega _{0},\Omega _{1}}$${\displaystyle \omega ',\omega _{0},\omega _{1}}$${\displaystyle i_{s}:M\to M\times \mathbb {R} ,\,x\mapsto (x,s)}$${\displaystyle i_{0}}$${\displaystyle i_{1}}$${\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}$${\displaystyle i_{1}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}$

${\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')={\overline {f}}(\Omega _{0})}$

и то же самое для . Следовательно, принадлежат к одному и тому же классу когомологий.${\displaystyle \Omega _{1}}$${\displaystyle {\overline {f}}(\Omega _{0}),{\overline {f}}(\Omega _{1})}$

Таким образом, конструкция дает линейное отображение: (ср. Лемму 1)

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}^{G}\to H^{2k}(M;\mathbb {C} ),\,f\mapsto \left[{\overline {f}}(\Omega )\right].}$

Фактически, можно проверить, что полученная таким образом карта:

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )}$

является гомоморфизмом алгебры .

Пусть и его алгебра Ли. Для каждого x из можно рассмотреть его характеристический многочлен по t : ^[3]${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \det \left(I-t{x \over 2\pi i}\right)=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)t^{k},}$

где i — квадратный корень из -1. Тогда — инвариантные многочлены на , поскольку левая часть уравнения равна. K -й класс Черна гладкого комплексно-векторного расслоения E ранга n на многообразии M :${\displaystyle f_{k}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle c_{k}(E)\in H^{2k}(M,\mathbb {Z} )}$

задается как образ при гомоморфизме Черна–Вейля, определяемом E (или, точнее, расслоением фреймов E ). Если t = 1, то — инвариантный многочлен. Полный класс Черна E — это образ этого многочлена; то есть,${\displaystyle f_{k}}$${\displaystyle \det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)}$

${\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E).}$

Непосредственно из определения можно показать, что и c, приведенные выше, удовлетворяют аксиомам классов Черна. Например, для формулы суммы Уитни рассмотрим${\displaystyle c_{j}}$

${\displaystyle c_{t}(E)=[\det \left(I-t{\Omega /2\pi i}\right)],}$

где мы записали для кривизны 2-формы на M векторного расслоения E (так что это потомок формы кривизны на расслоении фрейма E ). Гомоморфизм Черна–Вейля тот же самый, если использовать это . Теперь предположим, что E является прямой суммой векторных расслоений 's и формы кривизны , так что в матричном члене это блочно-диагональная матрица с Ω _I 's на диагонали. Тогда, поскольку , мы имеем:${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle \Omega _{i}}$${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle \Omega }$${\textstyle \det(I-t{\frac {\Omega }{2\pi i}})=\det(I-t{\frac {\Omega _{1}}{2\pi i}})\wedge \dots \wedge \det(I-t{\frac {\Omega _{m}}{2\pi i}})}$

${\displaystyle c_{t}(E)=c_{t}(E_{1})\cdots c_{t}(E_{m})}$

где справа умножение — это умножение кольца когомологий: произведение кубков . Для свойства нормализации вычисляется первый класс Черна комплексной проективной прямой ; см. Класс Черна#Пример: комплексное касательное расслоение сферы Римана .

Так как , ^[4] мы также имеем:${\displaystyle \Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}}$

${\displaystyle c_{1}(E\otimes E')=c_{1}(E)\operatorname {rank} (E')+\operatorname {rank} (E)c_{1}(E').}$

Наконец, характер Черна E задается формулой

${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=[\operatorname {tr} (e^{-\Omega /2\pi i})]\in H^{*}(M,\mathbb {Q} )}$

где — форма кривизны некоторой связности на E (поскольку она нильпотентна, то является многочленом от .) Тогда ch — кольцевой гомоморфизм :${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \operatorname {ch} (E\oplus F)=\operatorname {ch} (E)+\operatorname {ch} (F),\,\operatorname {ch} (E\otimes F)=\operatorname {ch} (E)\operatorname {ch} (F).}$

Теперь предположим, что в некотором кольце R, содержащем кольцо когомологий , имеется факторизация многочлена по t :${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle c_{t}(E)=\prod _{j=0}^{n}(1+\lambda _{j}t)}$

где находятся в R (иногда их называют корнями Черна). Тогда .${\displaystyle \lambda _{j}}$${\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{\lambda _{j}}}$

Если E — гладкое вещественное векторное расслоение на многообразии M , то k -й класс Понтрягина E задается как:

${\displaystyle p_{k}(E)=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M;\mathbb {Z} )}$

где мы записали для комплексификации E. Эквивалентно, это образ при гомоморфизме Черна–Вейля инвариантного полинома на , заданного формулой:${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle g_{2k}}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {det} \left(I-t{x \over 2\pi }\right)=\sum _{k=0}^{n}g_{k}(x)t^{k}.}$

Пусть E — голоморфное (комплексно-)векторное расслоение на комплексном многообразии M. Форма кривизны E относительно некоторой эрмитовой метрики — это не просто 2-форма, а фактически (1, 1)-форма (см. голоморфное векторное расслоение#Эрмитовые метрики на голоморфном векторном расслоении ). Следовательно, гомоморфизм Черна–Вейля принимает вид: с ,${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]_{k}\to H^{k,k}(M;\mathbb {C} ),f\mapsto [f(\Omega )].}$

• Ботт, Рауль (1973), «О гомоморфизме Черна–Вейля и непрерывных когомологиях групп Ли», Успехи в математике , 11 (3): 289– 303, doi : 10.1016/0001-8708(73)90012-1.
• Черн, Шиинг-Шен (1951), Темы дифференциальной геометрии , Институт перспективных исследований, мимеографированные записи лекций.
• Черн, Шиинг-Шен (1995), Комплексные многообразия без теории потенциала , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0 . (Приложение к этой книге «Геометрия характеристических классов» представляет собой очень четкое и глубокое введение в развитие идей характеристических классов.) 
• Черн, Шиинг-Шен ; Саймонс, Джеймс (1974), «Характерные формы и геометрические инварианты», Annals of Mathematics , Вторая серия, 99 (1): 48– 69, doi :10.2307/1971013, JSTOR  1971013.
• Кобаяси, Сёсичи ; Номидзу, Кацуми (1969), Основы дифференциальной геометрии , т. 2 (новое издание), Wiley-Interscience (опубликовано в 2004 г.), MR  0152974.
• Нарасимхан, М.С.; Раманан , С. (1961), «Существование универсальных связей» (PDF) , American Journal of Mathematics , 83 (3): 563–572 , doi :10.2307/2372896, hdl : 10338.dmlcz/700905 , JSTOR  2372896, MR  0133772.
• Морита, Сигеюки (2000), «Геометрия дифференциальных форм», Переводы математических монографий , 201 , MR  1851352.

• Freed, Daniel S. ; Hopkins, Michael J. (2013). «Формы Черна-Вейля и абстрактная теория гомотопий». Бюллетень Американского математического общества . (NS). 50 (3): 431– 468. arXiv : 1301.5959 . doi :10.1090/S0273-0979-2013-01415-0. MR  3049871. S2CID  51755613.