Кольцо Нётера

В математике нётерово кольцо — это кольцо , которое удовлетворяет условию возрастающей цепи на левых и правых идеалах ; если условие цепи выполняется только для левых идеалов или для правых идеалов, то кольцо называется лево-нётеровым или право-нётеровым соответственно. То есть, каждая возрастающая последовательность левых (или правых) идеалов имеет наибольший элемент; то есть, существует n такое, что:${\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots }$${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\cdots .}$

Эквивалентно, кольцо является лево-нётеровым (соответственно право-нётеровым), если каждый левый идеал (соответственно право-идеал) конечно порождён . Кольцо является нётеровым, если оно является как лево-, так и право-нётеровым.

Нётеровы кольца являются основополагающими как в коммутативной , так и в некоммутативной теории колец, поскольку многие кольца, встречающиеся в математике, являются нётеровыми (в частности , кольцо целых чисел , кольца полиномов и кольца алгебраических целых чисел в числовых полях ), а многие общие теоремы о кольцах в значительной степени опираются на свойство нётеровости (например, теорема Ласкера–Нётер и теорема Крулля о пересечении ).

Нётеровы кольца названы в честь Эмми Нётер , но важность этой концепции была признана ранее Дэвидом Гильбертом , доказавшим теорему Гильберта о базисе (утверждающую, что полиномиальные кольца являются нётеровыми) и теорему Гильберта о сизигиях .

Для некоммутативных колец необходимо различать три очень похожих понятия:

• Кольцо называется левонётеровым, если оно удовлетворяет условию обрыва возрастающей цепи левых идеалов.
• Кольцо называется правонётеровым, если оно удовлетворяет условию обрыва возрастающей цепи правых идеалов.
• Кольцо является нётеровым, если оно является как лево-, так и право-нётеровым.

Для коммутативных колец все три понятия совпадают, но в общем случае они различны. Существуют кольца, которые являются лево-нётеровыми и не право-нётеровыми, и наоборот.

Существуют и другие эквивалентные определения того, что кольцо R является левонётеровым:

• Каждый левый идеал I в R конечно порожден , т.е. существуют элементы в I такие, что . ^[1]${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle I=Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}}$
• Каждое непустое множество левых идеалов R , частично упорядоченное по включению, имеет максимальный элемент . ^[1]

Аналогичные результаты справедливы для право-нётеровых колец.

Следующее условие также является эквивалентным условием для того, чтобы кольцо R было левонётеровым, и это оригинальная формулировка Гильберта: [ ^2]

• Для данной последовательности элементов в R существует целое число , каждое из которых является конечной линейной комбинацией с коэффициентами в R.${\displaystyle f_{1},f_{2},\точки }$${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{i}}$ ${\textstyle f_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{j}f_{j}}$${\displaystyle r_{j}}$

Для того чтобы коммутативное кольцо было нётеровым, достаточно, чтобы каждый простой идеал кольца был конечно порождён. ^[3] Однако недостаточно требовать, чтобы все максимальные идеалы были конечно порождёнными, поскольку существует ненётерово локальное кольцо , максимальный идеал которого является главным (см. контрпример к теореме Крулля о пересечении в Local ring#Commutative case .)

• Если R — нётерово кольцо, то кольцо многочленов является нётеровым по теореме Гильберта о базисе . По индукции — нётерово кольцо. Также R [[ X ]] — кольцо степенных рядов — нётерово кольцо.${\displaystyle R[X]}$${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$
• Если R — нётерово кольцо, а I — двусторонний идеал, то фактор-кольцо R / I также нётерово. Другими словами, образ любого сюръективного кольцевого гомоморфизма нётерова кольца нётеров.
• Каждая конечно-порожденная коммутативная алгебра над коммутативным нётеровым кольцом является нётеровой. (Это следует из двух предыдущих свойств.)
• Кольцо R является левонётеровым тогда и только тогда, когда каждый конечно порождённый левый R -модуль является нётеровым модулем .
• Если коммутативное кольцо допускает над собой точный нётеров модуль, то кольцо является нётеровым кольцом. ^[4]
• ( Икин–Нагата ) Если кольцо A является подкольцом коммутативного нётерова кольца B, причем B является конечно порождённым модулем над A , то A является нётеровым кольцом. ^[5]
• Аналогично, если кольцо A является подкольцом коммутативного нётерова кольца B, таким образом, что B является строго плоским над A (или, в более общем случае, представляет A как чистое подкольцо ), то A является нётеровым кольцом (см. статью «строги плоское» для обоснования).
• Каждая локализация коммутативного нётерова кольца является нётеровой.
• Следствием теоремы Акидзуки–Хопкинса–Левитцкого является то, что каждое левое артиново кольцо является левым нётеровым. Другим следствием является то, что левое артиново кольцо является правым нётеровым тогда и только тогда, когда оно является правым артиновым. Аналогичные утверждения с переставленными местами «правое» и «левое» также верны.
• Левое нётерово кольцо является левокогерентным , а левый нётеров домен является левым доменом Оре .
• (Басс) Кольцо является (левым/правым) нётеровым тогда и только тогда, когда каждая прямая сумма инъективных ( левых/правых) модулей инъективна. Каждый левый инъективный модуль над левым нётеровым модулем может быть разложен в прямую сумму неразложимых инъективных модулей. ^[6] См. также #Импликация об инъективных модулях ниже.
• В коммутативном нётеровом кольце существует лишь конечное число минимальных простых идеалов . Кроме того, условие нисходящей цепи выполняется для простых идеалов.
• В коммутативной нётеровой области R каждый элемент может быть разложен на неприводимые элементы (короче говоря, R — область факторизации ). Таким образом, если, кроме того, факторизация является единственной с точностью до умножения множителей на единицы , то R — единственная область факторизации .

• Любое поле, включая поля рациональных чисел , действительных чисел и комплексных чисел , является нётеровым. (Поле имеет только два идеала — себя и (0).)
• Любое кольцо главных идеалов , например, целых чисел, является нётеровым, поскольку каждый идеал порождается одним элементом. Это включает в себя области главных идеалов и евклидовы области .
• Дедекиндова область ( например, кольцо целых чисел ) — это нётерова область, в которой каждый идеал порождается не более чем двумя элементами.
• Координатное кольцо аффинного многообразия является нётеровым кольцом, как следствие теоремы Гильберта о базисе.
• Обертывающая алгебра U конечномерной алгебры Ли является как левым, так и правым нётеровым кольцом; это следует из того факта, что ассоциированное градуированное кольцо U является фактором , которое является кольцом полиномов над полем ( теорема ПБВ ); таким образом, нётерово. ^[7] По той же причине алгебра Вейля и более общие кольца дифференциальных операторов являются нётеровыми. ^[8]${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \operatorname {Симв} ({\mathfrak {г}})}$
• Кольцо многочленов от конечного числа переменных над целыми числами или полем является нётеровым.

Кольца, которые не являются нётеровыми, как правило, (в некотором смысле) очень большие. Вот несколько примеров не нётеровых колец:

• Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных X ₁ , X ₂ , X ₃ и т. д. Последовательность идеалов ( X ₁ ), ( X ₁ , X ₂ ), ( X ₁ , X ₂ , X ₃ ) и т. д. является возрастающей и не обрывается.
• Кольцо всех алгебраических целых чисел не является нётеровым. Например, оно содержит бесконечную возрастающую цепочку главных идеалов: (2), (2 ^1/2 ), (2 ^1/4 ), (2 ^1/8 ), ...
• Кольцо непрерывных функций от действительных чисел до действительных чисел не является нётеровым: Пусть I _n — идеал всех непрерывных функций f, такой что f ( x ) = 0 для всех x ≥ n . Последовательность идеалов I ₀ , I ₁ , I ₂ и т. д. представляет собой возрастающую цепь, которая не заканчивается.
• Кольцо стабильных гомотопических групп сфер не является нётеровым. ^[9]

Однако не-нётерово кольцо может быть подкольцом нётерова кольца. Поскольку любая целостная область является подкольцом поля, любая целостная область, которая не является нётеровой, представляет собой пример. Чтобы привести менее тривиальный пример,

• Кольцо рациональных функций , порожденное x и y  / x ⁿ над полем k, является подкольцом поля k ( x , y ) всего от двух переменных.

Действительно, существуют кольца, которые являются правыми нётеровыми, но не левыми нётеровыми, так что нужно быть осторожным при измерении "размера" кольца таким образом. Например, если L является подгруппой Q ² , изоморфной Z , пусть R будет кольцом гомоморфизмов f из Q ² в себя, удовлетворяющим f ( L ) ⊂ L . Выбирая базис, мы можем описать то же самое кольцо R как

${\displaystyle R=\left\{\left.{\begin{bmatrix}a&\beta \\0&\gamma \end{bmatrix}}\,\right\vert \,a\in \mathbf {Z} ,\beta \in \mathbf {Q} ,\gamma \in \mathbf {Q} \right\}.}$

Это кольцо является нётеровым справа, но не нётеровым слева; подмножество I ⊂ R, состоящее из элементов с a = 0 и γ = 0, является левым идеалом, который не является конечно порождённым как левый R -модуль.

Если R — коммутативное подкольцо нётерова слева кольца S , и S конечно порождено как левый R -модуль, то R — нётерово. ^[10] (В частном случае, когда S коммутативно, это известно как теорема Икина .) Однако это неверно, если R не коммутативно: кольцо R из предыдущего абзаца является подкольцом нётерова слева кольца S = Hom( Q ² , Q ² ), и S конечно порождено как левый R -модуль, но R не является нётеровым слева.

Область уникальной факторизации не обязательно является нётеровым кольцом. Она удовлетворяет более слабому условию: условию возрастающей цепи на главных идеалах . Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных является примером не-нётеровой области уникальной факторизации.

Кольцо оценки не является нётеровым, если оно не является областью главных идеалов. Это пример кольца, которое естественным образом возникает в алгебраической геометрии , но не является нётеровым.

Рассмотрим групповое кольцо группы над кольцом . Это кольцо , а ассоциативная алгебра над , если является коммутативной . Для группы и коммутативного кольца следующие два условия эквивалентны.${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$

• Кольцо лево-нётерово.${\displaystyle R[G]}$
• Кольцо право-нётерово.${\displaystyle R[G]}$

Это происходит потому, что в этом случае существует биекция между левым и правым идеалами группового кольца посредством гомоморфизма ассоциативной алгебры${\displaystyle R}$

${\displaystyle R[G]\to R[G]^{\operatorname {op} },}$

${\displaystyle g\mapsto g^{-1}\qquad (\forall g\in G).}$

Пусть будет группой и кольцом. Если является лево/право/двусторонним нётеровым, то является лево/право/двусторонним нётеровым и является нётеровой группой . Обратно, если является нётеровым коммутативным кольцом и является расширением нётеровой разрешимой группы ( т.е. полициклической группы ) с помощью конечной группы , то является двусторонне нётеровым. С другой стороны, однако, существует нётерова группа , групповое кольцо которой над любым нётеровым коммутативным кольцом не является двусторонне нётеровым. ^{[11] : 423, Теорема 38.1}${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R[G]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$${\displaystyle R}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle G}$

Многие важные теоремы теории колец (особенно теории коммутативных колец ) основаны на предположении, что кольца являются нётеровыми.

• Над коммутативным нётеровым кольцом каждый идеал имеет первичное разложение , что означает, что его можно записать как пересечение конечного числа первичных идеалов ( радикалы которых все различны), где идеал Q называется первичным, если он является собственным и всякий раз, когда xy ∈ Q , либо x ∈ Q , либо y ⁿ ∈ Q для некоторого положительного целого числа n . Например, если элемент является произведением степеней различных простых элементов, то и, таким образом, первичное разложение является прямым обобщением разложения на простые множители целых чисел и многочленов. ^[12]${\displaystyle f=p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{r}^{n_{r}}}$${\displaystyle (f)=(p_{1}^{n_{1}})\cap \cdots \cap (p_{r}^{n_{r}})}$
• Нётерово кольцо определяется в терминах восходящих цепочек идеалов. Лемма Артина–Риза , с другой стороны, дает некоторую информацию о нисходящей цепочке идеалов, заданной степенями идеалов . Это технический инструмент, который используется для доказательства других ключевых теорем, таких как теорема Крулля о пересечении .${\displaystyle I\supseteq I^{2}\supseteq I^{3}\supseteq \cdots }$
• Теория размерности коммутативных колец плохо себя ведет над не-нётеровыми кольцами; самая фундаментальная теорема, теорема Крулля о главном идеале , уже опирается на "нётеровское" предположение. Здесь, на самом деле, "нётеровское" предположение часто недостаточно, и вместо него часто используются (нётеровы) универсально цепные кольца , удовлетворяющие определённому предположению теории размерности. Нётеровы кольца, появляющиеся в приложениях, в основном универсально цепные.

This section needs expansion. You can help by adding to it. (December 2019)

• Теорема Голди

Если задано кольцо, то существует тесная связь между поведением инъективных модулей над кольцом и тем, является ли кольцо нётеровым или нет. А именно, если задано кольцо R , то следующие условия эквивалентны:

• R — левое нётерово кольцо.
• (Басс) Каждая прямая сумма инъективных левых R -модулей инъективна. ^[6]
• Каждый инъективный левый R -модуль является прямой суммой неразложимых инъективных модулей. ^[13]
• (Фейт–Уокер) Существует кардинальное число такое, что каждый инъективный левый модуль над R является прямой суммой -порождённых модулей (модуль -порождён, если он имеет порождающее множество мощности не более ). ^[14]${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$
• Существует левый R -модуль H такой, что каждый левый R -модуль вкладывается в прямую сумму копий H . ^[15]

Кольцо эндоморфизмов неразложимого инъективного модуля локально ^[16] , и поэтому теорема Адзумайи утверждает, что над левым нётеровым кольцом каждое неразложимое разложение инъективного модуля эквивалентно другому (вариант теоремы Крулля–Шмидта ).

• Схема Нётера
• артинское кольцо

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Graduate Texts in Mathematics , т. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, г-н  1245487
• Атья, МФ, Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру. Addison-Wesley-Longman. ISBN 978-0-201-40751-8 
• Бурбаки, Николя (1989). Коммутативная алгебра: главы 1–7. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-19371-7.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с видом на алгебраическую геометрию . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 150. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.
• Форманек, Эдвард ; Джатегаонкар, Арун Винаяк (1974). «Подкольца нётеровых колец». Труды Американского математического общества . 46 (2): 181– 186. doi : 10.2307/2039890 . JSTOR  2039890.
• Хотта, Рёси; Такеучи, Киёси; Танисаки, Тошиюки (2008), D-модули, извращённые пучки и теория представлений , Progress in Mathematics, т. 236, Birkhäuser, doi :10.1007/978-0-8176-4523-6, ISBN 978-0-8176-4363-8, MR  2357361, Zbl  1292.00026
• Lam, Tsit Yuen (2001). Первый курс по некоммутативным кольцам . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 131 (2nd ed.). New York: Springer. p. 19. doi :10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 0387951830. МР  1838439.
• Глава X из книги Ланга, Сержа (1993), Алгебра (третье изд.), Reading, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, ЗБЛ  0848.13001
• Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6

• «Нётерово кольцо», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]