Состояние руды

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Апрель 2012 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике , особенно в области алгебры , известной как теория колец , условие Оре — это условие, введенное Эйстейном Оре в связи с вопросом о расширении за пределы коммутативных колец конструкции поля дробей или, в более общем смысле, локализации кольца . Правое условие Оре для мультипликативного подмножества S кольца R заключается в том, что для a ∈ R и s ∈ S пересечение aS ∩ sR ≠ ∅ . (Некоммутативная) область , для которой множество ненулевых элементов удовлетворяет правому условию Оре, называется правым доменом Оре . Левый случай определяется аналогично. ^[1]

Цель состоит в том, чтобы построить правое кольцо дробей R [ S ⁻¹ ] относительно мультипликативного подмножества S . Другими словами, мы хотим работать с элементами вида as ⁻¹ и иметь кольцевую структуру на множестве R [ S ⁻¹ ]. Проблема в том, что не существует очевидной интерпретации произведения ( as ⁻¹ )( bt ⁻¹ ); действительно, нам нужен метод, чтобы «переместить» s ⁻¹ мимо b . Это означает, что нам нужно иметь возможность переписать s ⁻¹ b как произведение b ₁ s ₁ ⁻¹ . ^[2] Предположим, что s ⁻¹ b = b ₁ s ₁ ^{−1 ,} затем умножая слева на s и справа на s ₁ , мы получаем bs ₁ = sb ₁ . Отсюда мы видим необходимость для данных a и s существования a ₁ и s ₁ с s ₁ ≠ 0 и такими, что as ₁ = sa ₁ .

Поскольку хорошо известно, что каждая целостная область является подкольцом поля дробей (через вложение) таким образом, что каждый элемент имеет вид rs ⁻¹ с s, не равным нулю, естественно спросить, может ли та же конструкция взять некоммутативную область и связать с ней тело (некоммутативное поле) с тем же свойством. Оказывается, что иногда ответ «нет», то есть существуют области, которые не имеют аналогичного «правого тела дробей».

Для каждой правой области Оре R существует единственное (с точностью до естественного R -изоморфизма) тело D, содержащее R в качестве подкольца, такое, что каждый элемент D имеет вид rs ⁻¹ для r из R и s, ненулевого в R. Такое тело D называется кольцом правых дробей R , а R называется правым порядком в D. Понятие кольца левых дробей и левого порядка определяются аналогично, причем элементы D имеют вид s ⁻¹ r .

Важно помнить, что определение R как правого порядка в D включает условие, что D должен состоять полностью из элементов вида rs ⁻¹ . Любой домен, удовлетворяющий одному из условий Оре, можно считать подкольцом тела, однако это не означает автоматически, что R является левым порядком в D , поскольку возможно, что D имеет элемент, который не имеет вида s ⁻¹ r . Таким образом, R может быть правым, а не левым доменом Оре. Интуитивно, условие, что все элементы D имеют вид rs ^{−1 ,} говорит, что R является «большим» R -подмодулем D . Фактически, условие гарантирует, что R _R является существенным подмодулем D R . Наконец, есть _даже пример домена в теле, который не удовлетворяет ни одному из условий Оре (см. примеры ниже).

Другой естественный вопрос: «Когда подкольцо тела является правым Оре?» Одной из характеристик является то, что подкольцо R тела D является правой областью Оре тогда и только тогда, когда D является плоским левым R -модулем (Lam 2007, Ex. 10.20).

Другая, более сильная версия условий Оре обычно приводится для случая, когда R не является доменом, а именно, что должно быть общее кратное

с = ау = бв

с u , v не делителями нуля . В этом случае теорема Оре гарантирует существование надкольца, называемого (правым или левым) классическим кольцом частных .

Коммутативные домены автоматически являются доменами Оре, поскольку для ненулевых a и b , ab не равно нулю в aR ∩ bR . Известно, что правые нётеровы домены, такие как правые главные идеальные домены , также являются правыми доменами Оре. Еще более обще, Альфред Голди доказал, что домен R является правым Оре тогда и только тогда, когда R _R имеет конечную равномерную размерность . Также верно, что правые домены Безу являются правыми Оре.

Подобласть тела, которая не является правым или левым Оре: Если F — любое поле и является свободным моноидом двух символов x и y , то кольцо моноидов не удовлетворяет никакому условию Оре, но является свободным кольцом идеалов и, таким образом, действительно подкольцом тела, по (Cohn 1995, Cor 4.5.9).${\displaystyle G=\langle x,y\rangle \,}$ ${\displaystyle F[G]\,}$

Условие Оре может быть обобщено на другие мультипликативные подмножества и представлено в форме учебника в (Lam 1999, §10) и (Lam 2007, §10). Подмножество S кольца R называется правым знаменателем , если оно удовлетворяет следующим трем условиям для каждого a , b в R и s , t в S :

1. st в S ; (Множество S мультипликативно замкнуто . )
2. aS ∩ sR не пусто; (Множество S перестановочно справа .)
3. Если sa = 0 , то в S есть некоторый u с au = 0 ; (Множество S обратимо справа .)

Если S — множество правых знаменателей, то можно построить кольцо правых дробей RS ⁻¹ аналогично коммутативному случаю. Если S берется как множество регулярных элементов (таких элементов a в R , что если b в R не равен нулю, то ab и ba не равны нулю), то правильное условие Оре — это просто требование, чтобы S было множеством правых знаменателей.

Многие свойства коммутативной локализации сохраняются в этой более общей ситуации. Если S — множество правых знаменателей для кольца R , то левый R -модуль RS ⁻¹ является плоским . Более того, если M — правый R -модуль, то S -кручение, tor _S ( M ) = { m в M  : ms = 0 для некоторого s в S }, является R -подмодулем, изоморфным Tor ₁ ( M , RS ⁻¹ ) , а модуль M ⊗ _R RS ⁻¹ естественно изоморфен модулю MS ^−1, состоящему из «дробей», как в коммутативном случае.

• Кон, П. М. (1991), Алгебра , т. 3 (2-е изд.), Чичестер: John Wiley & Sons, стр. xii+474, ISBN 0-471-92840-2, MR  1098018, Zbl  0719.00002
• Кон, П. М. (1961), «О вложении колец в тела», Труды Лондонского мат. общества , 11 : 511– 530, doi : 10.1112/plms/s3-11.1.511, MR  0136632, Zbl  0104.03203
• Кон, П.М. (1995), Сквозные поля, Теория общих делений , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 57, Cambridge University Press , ISBN 0-521-43217-0, ЗБЛ  0840.16001
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Graduate Texts in Mathematics, т. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, ЗБЛ  0911.16001
• Лам, Цит-Юэн (2007), Упражнения в модулях и кольцах , Сборник задач по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98850-4, MR  2278849, Zbl  1121.16001
• Stenström, Bo (1971), Кольца и модули частных , Lecture Notes in Mathematics, т. 237, Berlin: Springer-Verlag , стр. vii+136, doi :10.1007/BFb0059904, ISBN 978-3-540-05690-4, MR  0325663, Zbl  0229.16003

• Страница PlanetMath о состоянии руды
• Страница PlanetMath о теореме Оре
• Страница PlanetMath о классическом кольце частных