Условие возрастающей цепи на главных идеалах

В абстрактной алгебре условие возрастающей цепи может быть применено к частично упорядоченным по включению наборам главных левых, главных правых или главных двусторонних идеалов кольца . Условие возрастающей цепи на главных идеалах (сокращенно ACCP ) выполняется, если в кольце нет бесконечной строго возрастающей цепи главных идеалов данного типа (левого/правого/двустороннего), или, говоря иначе, каждая возрастающая цепь в конечном счете постоянна.

К этим частично упорядоченным множествам также можно применить соответствующее условие нисходящей цепи , однако в настоящее время нет необходимости в терминологии «DCCP», поскольку такие кольца уже называются левыми или правыми совершенными кольцами . (См. § Некоммутативные кольца ниже. )

Типичными примерами являются нётеровы кольца (например, области главных идеалов ), но некоторые важные ненётеровы кольца также удовлетворяют условию (ACCP), в частности, области уникальной факторизации и левые или правые совершенные кольца.

Коммутативные кольца

Хорошо известно, что ненулевая неединица в нётеровой области целостности разлагается на неприводимые . Доказательство этого опирается только на (ACCP), а не на (ACC), поэтому в любой области целостности с (ACCP) существует неприводимая факторизация. (Другими словами, любые области целостности с (ACCP) являются атомарными . Но обратное неверно, как показано в (Grams 1974).) Такая факторизация может быть не единственной; обычный способ установления единственности факторизаций использует лемму Евклида , которая требует, чтобы множители были простыми, а не просто неприводимыми. Действительно, имеет место следующая характеристика: пусть A — область целостности. Тогда следующие условия эквивалентны.

  1. А — это UFD.
  2. A удовлетворяет (ACCP), и каждое неприводимое число A является простым.
  3. A — это домен, удовлетворяющий GCD (ACCP).

Так называемый критерий Нагаты справедлив для целостной области A, удовлетворяющей (ACCP): Пусть S — мультипликативно замкнутое подмножество A , порожденное простыми элементами. Если локализация S −1 A является UFD, то таковым является и A . [1] (Заметим, что обратное утверждение тривиально.)

Целостная область A удовлетворяет (ACCP) тогда и только тогда, когда этому условию удовлетворяет полиномиальное кольцо A [ t ]. [2] Аналогичный факт ложен, если A не является целостной областью. [3]

Целостная область , в которой каждый конечно порожденный идеал является главным (то есть область Безу ), удовлетворяет (ACCP) тогда и только тогда, когда она является главной идеальной областью . [4]

Кольцо Z + X Q [ X ] всех рациональных многочленов с целым постоянным членом является примером области целостности (фактически области НОД), которая не удовлетворяет (ACCP) для цепочки главных идеалов

( Х ) ⊂ ( Х / 2 ) ⊂ ( Х / 4 ) ⊂ ( Х / 8 ) , . . . {\displaystyle (X)\subset (X/2)\subset (X/4)\subset (X/8),...}

является непрекращающимся.

Некоммутативные кольца

В некоммутативном случае становится необходимым различать правый ACCP от левого ACCP . Первый требует только частично упорядоченного множества идеалов вида xR для удовлетворения условия возрастающей цепи, а последний проверяет только частично упорядоченное множество идеалов вида Rx .

Теорема Хаймана Басса в (Bass 1960), теперь известная как «Теорема Басса P», показала, что условие нисходящей цепи на главных левых идеалах кольца R эквивалентно тому, что R является совершенным справа кольцом . Д. Джона показал в (Jonah 1970), что существует связь переключения сторон между ACCP и совершенными кольцами. Было показано, что если R является совершенным справа (удовлетворяет правому DCCP), то R удовлетворяет левому ACCP, и симметрично, если R является совершенным слева (удовлетворяет левому DCCP), то оно удовлетворяет правому ACCP. Обратные утверждения не верны, и приведенные выше переключения между «левым» и «правым» не являются опечатками.

Независимо от того, выполняется ли ACCP на правой или левой стороне R , это означает, что R не имеет бесконечного множества ненулевых ортогональных идемпотентов и что R является дедекиндовым конечным кольцом . [5]

Ссылки

  1. ^ Нагата 1975, Лемма 2.1.
  2. ^ Гилмер, Роберт (1986), «Свойство E в коммутативных моноидных кольцах», Групповые и полугрупповые кольца (Йоханнесбург, 1985), North-Holland Math. Stud., т. 126, Амстердам: North-Holland, стр. 13–18, ISBN 978-0-08-087237-7, МР  0860048.
  3. ^ Хайнцер и Ланц 1994.
  4. ^ Доказательство: В области Безу ACCP эквивалентна ACC на конечно порождённых идеалах , но известно, что это эквивалентно ACC на всех идеалах. Таким образом, область является нётеровой и Безу, следовательно, областью главных идеалов.
  5. ↑ Лэм 1999, стр. 230–231.
  • Басс, Хайман (1960), «Конечная размерность и гомологическое обобщение полупервичных колец», Trans. Amer. Math. Soc. , 95 (3): 466–488, doi : 10.1090/s0002-9947-1960-0157984-8 , ISSN  0002-9947, MR  0157984
  • Грэмс, Энн (1974), «Атомные кольца и условие возрастающей цепи для главных идеалов», Proc. Cambridge Philos. Soc. , 75 (3): 321–329, Bibcode :1974PCPS...75..321G, doi :10.1017/s0305004100048532, MR  0340249, S2CID  120558655
  • Хайнцер, Уильям Дж.; Ланц, Дэвид К. (1994), «ACCP в полиномиальных кольцах: контрпример», Proc. Amer. Math. Soc. , 121 (3): 975–977, doi : 10.2307/2160301 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2160301, MR  1232140
  • Иона, Дэвид (1970), «Кольца с условием минимальности для главных правых идеалов имеют условие максимальности для главных левых идеалов», Math. Z. , 113 (2): 106–112, doi :10.1007/bf01141096, ISSN  0025-5874, MR  0260779, S2CID  121739821
  • Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции о модулях и кольцах , Graduate Texts in Mathematics № 189, т. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, г-н  1653294
  • Нагата, Масаёши (1975), «Некоторые типы простых расширений колец» (PDF) , Houston J. Math. , 1 (1): 131–136, ISSN  0362-1588, MR  0382248
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Условие_возрастающей_цепи_по_главным_идеалам&oldid=1215565538"