Функция Мёбиуса

Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Октябрь 2024 ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Функция Мёбиуса${\displaystyle \мю (н)}$ — мультипликативная функция в теории чисел, введенная немецким математиком Августом Фердинандом Мёбиусом (также транслитерируемым Мёбиусом ) в 1832 году. ^{[i] [ii] [2]} Она повсеместно встречается в элементарной и аналитической теории чисел и чаще всего появляется как часть ее одноименной формулы обращения Мёбиуса . После работ Джан-Карло Рота в 1960-х годах обобщения функции Мёбиуса были введены в комбинаторику и обозначаются аналогичным образом .${\displaystyle \мю (х)}$

Функция Мёбиуса определяется формулой ^[3]

$${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\(-1)^{k}&{\text{if }}n{\text{ is the product of }}k{\text{ distinct primes}}\\0&{\text{if }}n{\text{ is divisible by a square}}>1\end{cases}}}$$

Функцию Мёбиуса можно альтернативно представить как

${\displaystyle \mu (n)=\delta _{\omega (n)\Omega (n)}\lambda (n),}$

где — символ Кронекера , — функция Лиувилля , — число различных простых делителей числа , а — число простых множителей числа , подсчитанное с учетом кратности.${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \lambda (n)}$${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle n}$

Другая характеристика Гаусса – сумма всех первообразных корней . ^[4]

Значения для первых 50 положительных чисел равны${\displaystyle \mu (n)}$

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\displaystyle \mu (n)}$	1	−1	−1	0	−1	1	−1	0	0	1

${\displaystyle n}$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
${\displaystyle \mu (n)}$	−1	0	−1	1	1	0	−1	0	−1	0

${\displaystyle n}$	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
${\displaystyle \mu (n)}$	1	1	−1	0	0	1	0	0	−1	−1

${\displaystyle n}$	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
${\displaystyle \mu (n)}$	−1	0	1	1	1	0	−1	1	1	0

${\displaystyle n}$	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
${\displaystyle \mu (n)}$	−1	−1	−1	0	0	1	−1	0	0	0

Первые 50 значений функции показаны ниже:

Более крупные значения можно проверить:

• Вольфрамальфа
• b-файл OEIS

Ряд Дирихле, который порождает функцию Мёбиуса, является (мультипликативной) обратной функцией дзета-функции Римана ; если — комплексное число с действительной частью больше 1, то имеем${\displaystyle s}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

Это можно увидеть из его произведения Эйлера

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }$

Также:

• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}};}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0;}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1;}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,}$где - постоянная Эйлера .${\displaystyle \gamma }$

Ряд Ламберта для функции Мёбиуса имеет вид

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q,}$

который сходится для . Для простого числа мы также имеем${\displaystyle |q|<1}$${\displaystyle \alpha \geq 2}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.}$

Гаусс ^[1] доказал, что для простого числа сумма его первообразных корней сравнима с .${\displaystyle p}$${\displaystyle \mu (p-1)\ (\mod p)}$

Если обозначает конечное поле порядка (где — обязательно степень простого числа), то число монических неприводимых многочленов степени выше определяется выражением ^[5]${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

${\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}.}$

Функция Мёбиуса используется в формуле обращения Мёбиуса .

Функция Мёбиуса также возникает в модели газа примонов или свободного газа Римана суперсимметрии . В этой теории фундаментальные частицы или «примоны» имеют энергии . При вторичном квантовании рассматриваются многочастичные возбуждения; они задаются для любого натурального числа . Это следует из того факта, что факторизация натуральных чисел на простые множители является единственной.${\displaystyle \log(p)}$${\displaystyle \log(n)}$${\displaystyle n}$

В свободном газе Римана может возникнуть любое натуральное число, если примоны взять за бозоны . Если же их взять за фермионы , то принцип исключения Паули исключает квадраты. Оператор , различающий фермионы и бозоны, есть тогда не что иное, как функция Мёбиуса .${\displaystyle (-1)^{F}}$${\displaystyle \mu (n)}$

Свободный газ Римана имеет ряд других интересных связей с теорией чисел, включая тот факт, что функция распределения является дзета-функцией Римана . Эта идея лежит в основе попытки Алена Конна доказать гипотезу Римана . ^[6]

Функция Мёбиуса является мультипликативной (т.е. когда и взаимно просты ).${\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Доказательство : Дано два взаимно простых числа , вводим индукцию по . Если , то . В противном случае , так что${\displaystyle m\geq n}$${\displaystyle mn}$${\displaystyle mn=1}$${\displaystyle \mu (mn)=1=\mu (m)\mu (n)}$${\displaystyle m>n\geq 1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{d|mn}\mu (d)\\&=\mu (mn)+\sum _{d|mn;d<mn}\mu (d)\\&{\stackrel {\text{induction}}{=}}\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m;d'|n}\mu (d)\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m}\mu (d)\sum _{d'|n}\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+0\end{aligned}}}$$

Сумма функции Мёбиуса по всем положительным делителям числа (включая себя и 1) равна нулю, за исключением случаев :${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1.\end{cases}}}$

Приведенное выше равенство приводит к важной формуле обращения Мёбиуса и является основной причиной ее актуальности в теории мультипликативных и арифметических функций.${\displaystyle \mu }$

Другие приложения в комбинаторике связаны с использованием теоремы Полиа о перечислении в комбинаторных группах и комбинаторных перечислениях.${\displaystyle \mu (n)}$

Существует формула ^[7] для вычисления функции Мёбиуса без непосредственного знания факторизации ее аргумента:

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

т.е. является суммой примитивных корней -й степени из единицы . (Однако вычислительная сложность этого определения по крайней мере такая же, как и у определения произведения Эйлера.)${\displaystyle \mu (n)}$${\displaystyle n}$

Другие тождества, которым удовлетворяет функция Мёбиуса, включают:

${\displaystyle \sum _{k\leq n}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \mu (k)=1}$

и

${\displaystyle \sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}}\right)\mu (k)=1}$.

Первый из них является классическим результатом, а второй был опубликован в 2020 году. ^{[8] [9]} Аналогичные тождества справедливы для функции Мертенса .

Формула

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1\end{cases}}}$

можно записать с использованием свертки Дирихле как: где — тождество под сверткой .${\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

Один из способов доказательства этой формулы — заметить, что свертка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативна. Таким образом, достаточно доказать формулу для степеней простых чисел. Действительно, для любого простого числа и для любого${\displaystyle p}$${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle 1*\mu (p^{k})=\sum _{d\mid p^{k}}\mu (d)=\mu (1)+\mu (p)+\sum _{1<m<=k}\mu (p^{m})=1-1+\sum 0=0=\varepsilon (p^{k})}$,

в то время как для${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle 1*\mu (1)=\sum _{d\mid 1}\mu (d)=\mu (1)=1=\varepsilon (1)}$.

Другой способ доказательства этой формулы — использование тождества

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

Формула выше является следствием того факта, что сумма корней степени y из единицы равна 0, поскольку каждый корень степени y из единицы является примитивным корнем степени y из единицы ровно для одного делителя числа .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$

Однако это тождество также можно доказать из первых принципов. Сначала отметим, что оно тривиально верно, когда . Предположим тогда, что . Тогда существует биекция между множителями для , для которых и подмножествами множества всех простых множителей . Утверждаемый результат следует из того факта, что каждое непустое конечное множество имеет равное количество подмножеств нечетной и четной мощности.${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu (d)\neq 0}$${\displaystyle n}$

Этот последний факт можно легко показать индукцией по мощности непустого конечного множества . Во-первых, если , существует ровно одно подмножество нечетной мощности из , а именно само себя, и ровно одно подмножество четной мощности, а именно . Далее, если , то разделим подмножества из на два подкласса в зависимости от того, содержат ли они какой-либо фиксированный элемент в . Между этими двумя подклассами существует очевидная биекция, объединяющая те подмножества, которые имеют одинаковое дополнение относительно подмножества . Кроме того, один из этих двух подклассов состоит из всех подмножеств множества , и, следовательно, по предположению индукции, имеет равное количество подмножеств нечетной и четной мощности. Эти подмножества, в свою очередь, взаимно однозначно соответствуют подмножествам , содержащим четную и нечетную мощность . Индуктивный шаг следует непосредственно из этих двух биекций.${\displaystyle |S|}$${\displaystyle S}$${\displaystyle |S|=1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle |S|>1}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle S\setminus \{x\}}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle S}$

Связанный с этим результат заключается в том, что биномиальные коэффициенты демонстрируют чередующиеся элементы четной и нечетной степени, которые суммируются симметрично.

Среднее значение (в смысле средних порядков) функции Мёбиуса равно нулю. Это утверждение, по сути, эквивалентно теореме о простых числах . ^[10]

${\displaystyle \mu (n)=0}$ тогда и только тогда, когда делится на квадрат простого числа. Первые числа с этим свойством —${\displaystyle n}$

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, ... (последовательность A013929 в OEIS ).

Если является простым, то , но обратное неверно. Первое не простое число , для которого является . Первые такие числа с тремя различными простыми множителями ( сфенические числа ) являются${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu (n)=-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu (n)=-1}$${\displaystyle 30=2\times 3\times 5}$

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ... (последовательность A007304 в OEIS ).

и первые такие числа с 5 различными простыми множителями — это

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ... (последовательность A046387 в OEIS ).

В теории чисел другой арифметической функцией, тесно связанной с функцией Мёбиуса, является функция Мертенса , определяемая как

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}$

для любого натурального числа n . Эта функция тесно связана с положениями нулей дзета-функции Римана . См. статью о гипотезе Мертенса для получения дополнительной информации о связи между и гипотезой Римана .${\displaystyle M(n)}$

Из формулы

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

следует, что функция Мертенса определяется выражением

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}$

где - последовательность Фарея порядка .${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$${\displaystyle n}$

Эта формула используется в доказательстве теоремы Френеля–Ландау . ^[11]

В комбинаторике каждому локально конечному частично упорядоченному множеству (посету) назначается алгебра инцидентности . Одним из выдающихся членов этой алгебры является «функция Мёбиуса» этого посета. Классическая функция Мёбиуса, рассматриваемая в этой статье, по сути равна функции Мёбиуса множества всех положительных целых чисел, частично упорядоченных по делимости . См. статью об алгебрах инцидентности для точного определения и нескольких примеров этих общих функций Мёбиуса.

Константин Попович ^[12] определил обобщенную функцию Мёбиуса как -кратную свертку Дирихле функции Мёбиуса с собой. Таким образом, это снова мультипликативная функция с${\displaystyle \mu _{k}=\mu *\cdots *\mu }$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mu _{k}\left(p^{a}\right)=(-1)^{a}{\binom {k}{a}}\ }$

где биномиальный коэффициент принимается равным нулю, если . Определение можно распространить на комплексное , прочитав бином как полином от . ^[13]${\displaystyle a>k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

• Математика
• Максима
• geeksforgeeks C++, Python3, Java, C#, PHP, JavaScript
• Розеттский код
• Мудрец

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Мёбиуса». Математический мир .