Примонный газ

В математической физике газ примонов или газ Римана ^[1], открытый Бернардом Джулиа ^[2], представляет собой модель , иллюстрирующую соответствия между теорией чисел и методами квантовой теории поля , статистической механики и динамических систем, такими как теорема Ли-Янга . Это квантовая теория поля набора невзаимодействующих частиц, примонов ; она называется газом или свободной моделью , потому что частицы не взаимодействуют. Идея газа примонов была независимо открыта Дональдом Спектором ^[3] . Более поздние работы Иоанниса Бакаса и Марка Боуика ^[4] и Спектора ^[5] исследовали связь таких систем с теорией струн .

Рассмотрим гильбертово пространство H с ортонормированным базисом состояний, помеченных простыми числами p . Вторичное квантование дает новое гильбертово пространство K , бозонное пространство Фока на H , где состояния описывают наборы простых чисел, которые мы можем назвать примонами, если мы думаем о них как об аналогах частиц в квантовой теории поля. Это пространство Фока имеет ортонормированный базис, заданный конечными мультимножествами простых чисел. Другими словами, чтобы указать один из этих базисных элементов, мы можем перечислить количество примонов для каждого простого числа :${\displaystyle |p\rangle }$ ${\displaystyle k_{p}=0,1,2,\точки }$${\displaystyle p}$

${\displaystyle |k_{2},k_{3},k_{5},k_{7},k_{11},\ldots ,k_{p},\ldots \rangle }$

где сумма конечна. Поскольку любое положительное натуральное число имеет единственное разложение на простые множители:${\displaystyle \sum _{p}k_{p}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=2^{k_{2}}\cdot 3^{k_{3}}\cdot 5^{k_{5}}\cdot 7^{k_{7}}\cdot 11^{k_{11}}\cdots p^{k_{p}}\cdots }$

мы также можем обозначить базисные элементы пространства Фока просто как где${\displaystyle |n\rangle }$${\displaystyle n=1,2,3,\точки.}$

Короче говоря, пространство Фока для примонов имеет ортонормированный базис, заданный положительными натуральными числами, но мы думаем о каждом таком числе как о наборе примонов: его простых множителей, подсчитанных с кратностью.${\displaystyle n}$

Учитывая состояние , мы можем использовать оператор Купмана ^[6], чтобы поднять динамику из пространства состояний в пространство наблюдаемых: ${\displaystyle x_{n}=n}$ ${\displaystyle \Фи}$

${\displaystyle \Phi \circ {\textbf {log}}\circ x_{n}={\textbf {log}} \circ F\circ x_{n}={\textbf {log}}\circ x_{n+1}}$

где — алгоритм целочисленной факторизации, аналогичный дискретному логарифму, а — функция-последователь. Таким образом, имеем: ${\displaystyle {\textbf {журнал}}}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\textbf {log}}\circ x_{n}=\bigoplus _{k}a_{k}\cdot \ln p_{k}}$

Точная мотивация для определения оператора Купмана заключается в том, что он представляет собой глобальную линеаризацию , которая рассматривает линейные комбинации собственных состояний как целочисленные разбиения. Фактически, читатель может легко проверить, что функция-последователь не является линейной функцией: ${\displaystyle \Фи}$${\displaystyle F}$

${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, F (n) = n + 1 \ подразумевает \ forall x, y \ in \ mathbb {N} ^ {*}, F (x + y) \ neq F (x) + F (y)}$

Следовательно, является каноническим. ${\displaystyle \Фи}$

Если мы возьмем простой квантовый гамильтониан H, имеющий собственные значения, пропорциональные log  p , то есть,

${\displaystyle H|p\rangle =E_{p}|p\rangle }$

с

${\displaystyle E_{p}=E\log p}$

для некоторой положительной константы мы естественным образом приходим к${\displaystyle E}$

${\displaystyle E_{n}=\sum _{p}k_{p}E_{p}=E\cdot \sum _{p}k_{p}\log p=E\log n}$

Предположим, мы хотели бы узнать среднее время, соответствующим образом нормализованное, которое газ Римана проводит в определенном подпространстве. Как эта частота может быть связана с размерностью этого подпространства?

Если мы характеризуем отдельные линейные подпространства как данные Эрдёша-Каца, которые имеют форму разреженных двоичных векторов, используя теорему Эрдёша-Каца, мы можем фактически продемонстрировать, что эта частота зависит не от чего-либо иного, кроме размерности подпространства. Фактически, если подсчитывает количество уникальных простых делителей , то закон Эрдёша-Каца говорит нам, что для больших : ${\displaystyle \омега (н)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {\omega (n)-\ln \ln n}{\sqrt {\ln \ln n}}}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$

имеет стандартное нормальное распределение.

Что еще более примечательно, так это то, что хотя теорема Эрдёша-Каца имеет форму статистического наблюдения, ее нельзя было обнаружить с помощью статистических методов. ^[7] Действительно, для нормальный порядок начинает проявляться только для . ${\displaystyle X\sim U([1,N])}$${\displaystyle \омега (X)}$${\displaystyle N\geq 10^{100}}$

Статистическая сумма Z первичного газа определяется дзета-функцией Римана :

${\displaystyle Z(T):=\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left({\frac {-E_{n}}{k_{\text{B}}T}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left({\frac {-E\log n}{k_{\text{B}}T}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s)}$

где s  =  E / k _B T , где k _B — постоянная Больцмана , а T — абсолютная температура .

Расходимость дзета-функции при s  = 1 соответствует расходимости статистической суммы при температуре  Хагедорна T _H  =  E / k _B .

Вышеуказанная модель вторичного квантования принимает частицы как бозоны . Если частицы считаются фермионами , то принцип исключения Паули запрещает многочастичные состояния, которые включают квадраты простых чисел. По теореме о спиновой статистике состояния поля с четным числом частиц являются бозонами, а с нечетным числом частиц — фермионами. Фермионный оператор (−1) ^F имеет весьма конкретную реализацию в этой модели как функция Мёбиуса , в том смысле, что функция Мёбиуса положительна для бозонов, отрицательна для фермионов и равна нулю в состояниях, запрещенных принципом исключения.${\displaystyle \мю (н)}$

Связи между теорией чисел и квантовой теорией поля можно несколько расширить до связей между топологической теорией поля и К-теорией , где, в соответствии с приведенным выше примером, спектр кольца играет роль спектра собственных значений энергии, простые идеалы играют роль простых чисел, представления групп играют роль целых чисел, характеры групп играют роль характеров Дирихле и т. д.

• Джон Баез , Находки этой недели в математической физике, неделя 199