Мультипликативная функция

В теории чисел мультипликативная функция — это арифметическая функция f ( n ) от положительного целого числа n со свойством f (1) = 1, и если a и b взаимно просты .$${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$$

Арифметическая функция f ( n ) называется полностью мультипликативной (или полностью мультипликативной ), если f (1) = 1 и f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) выполняется для всех положительных целых чисел a и b , даже если они не являются взаимно простыми.

Определены некоторые мультипликативные функции, облегчающие написание формул:

• 1( n ): постоянная функция, определяемая как 1( n ) = 1 (полностью мультипликативная)
• Id( n ): функция тождества , определяемая как Id( n ) = n (полностью мультипликативная)
• Id _k ( n ): степенные функции, определяемые как Id _k ( n ) = n ^k для любого комплексного числа k (полностью мультипликативного). В качестве особых случаев мы имеем
  • Идентификатор ₀ ( n ) = 1 ( n ) и
  • Ид ₁ ( n ) = Ид( n ).
• ε ( n ): функция, определяемая как ε ( n ) = 1, если n = 1, и 0 в противном случае, иногда называемая единицей умножения для свертки Дирихле или просто единичной функцией (полностью мультипликативной). Иногда пишется как u ( n ), но не следует путать с μ ( n ) .
• 1 _C ( n ), индикаторная функция множества C ⊂ Z , для некоторых множеств C . Индикаторная функция 1 _C ( n ) является мультипликативной в точности тогда, когда множество C обладает следующим свойством для любых взаимно простых чисел a и b : произведение ab принадлежит C тогда и только тогда, когда числа a и b сами принадлежат C . Это имеет место, если C является множеством квадратов, кубов или k -ных степеней. Существуют также другие множества (не замкнутые относительно умножения), которые порождают такие функции, такие как множество чисел , свободных от квадратов .

Другие примеры мультипликативных функций включают в себя множество функций, важных в теории чисел, таких как:

• gcd( n , k ): наибольший общий делитель n и k как функция n , где k — фиксированное целое число.
• ${\displaystyle \varphi (n)}$: Функция Эйлера , подсчитывающая положительные целые числа, взаимно простые с (но не больше) n${\displaystyle \varphi}$
• μ ( n ): функция Мёбиуса , четность (−1 для нечетных, +1 для четных) числа простых множителей чисел, свободных от квадратов ; 0, если n не является свободным от квадратов
• σ _k ( n ): функция делителей , которая является суммой k -ных степеней всех положительных делителей n (где k может быть любым комплексным числом ). Особые случаи у нас есть
  • σ ₀ ( n ) = d ( n ) количество положительных делителей числа n ,
  • σ ₁ ( n ) = σ ( n ), сумма всех положительных делителей числа n .
• Сумма k -х степеней унитарных делителей обозначается как σ* _k ( n ):

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d ^{к}.}$

• a ( n ): число неизоморфных абелевых групп порядка n .
• λ ( n ): функция Лиувилля , λ ( n ) = (−1) ^{Ω( n )} , где Ω( n ) — общее количество простых чисел (с учетом кратности), делящих n . (полностью мультипликативно).
• γ ( n ), определяемая как γ ( n ) = (−1) ^{ω (n)} , где аддитивная функция ω ( n ) представляет собой количество различных простых чисел, делящих n .
• τ ( n ): тау-функция Рамануджана .
• Все характеры Дирихле являются полностью мультипликативными функциями. Например
  • ( n / p ), символ Лежандра , рассматриваемый как функция n , где p — фиксированное простое число .

Примером не мультипликативной функции является арифметическая функция r ₂ ( n ) — число представлений n в виде суммы квадратов двух целых чисел, положительных , отрицательных или нуля , где при подсчете числа способов допускается обратный порядок. Например:

и поэтому r ₂ (1) = 4 ≠ 1. Это показывает, что функция не является мультипликативной. Однако r ₂ ( n )/4 является мультипликативной.

В « Онлайновой энциклопедии целочисленных последовательностей » последовательности значений мультипликативной функции имеют ключевое слово «mult».

Другие примеры немультипликативных функций см. в разделе арифметические функции .

Мультипликативная функция полностью определяется своими значениями в степенях простых чисел , что является следствием фундаментальной теоремы арифметики . Таким образом, если n является произведением степеней различных простых чисел, скажем, n = p ^a q ^b ..., то f ( n ) = f ( p ^a ) f ( q ^b ) ...

Это свойство мультипликативных функций значительно снижает необходимость вычислений, как в следующих примерах для n = 144 = 2 ⁴ · 3 ² :$${\displaystyle d(144)=\сигма _{0}(144)=\сигма _{0}(2^{4})\,\сигма _{0}(3^{2})=(1^{0}+2^{0}+4^{0}+8^{0}+16^{0})(1^{0}+3^{0}+9^{0})=5\cdot 3=15}$$$${\displaystyle \сигма (144)=\сигма _{1}(144)=\сигма _{1}(2^{4})\,\сигма _{1}(3^{2})=(1^{1}+2^{1}+4^{1}+8^{1}+16^{1})(1^{1}+3^{1}+9^{1})=31\cdot 13=403}$$$${\displaystyle \сигма ^{*}(144)=\сигма ^{*}(2^{4})\,\сигма ^{*}(3^{2})=(1^{1}+16^{1})(1^{1}+9^{1})=17\cdot 10=170}$$

Аналогично, у нас есть:$${\displaystyle \varphi (144)=\varphi (2^{4})\,\varphi (3^{2})=8\cdot 6 = 48}$$

В общем случае, если f ( n ) — мультипликативная функция, а a , b — любые два положительных целых числа, то

Всякая вполне мультипликативная функция является гомоморфизмом моноидов и полностью определяется своим ограничением на простые числа.

Если f и g — две мультипликативные функции, то определяется новая мультипликативная функция , свёртка Дирихле f и g , где сумма распространяется на все положительные делители d числа n . С помощью этой операции множество всех мультипликативных функций превращается в абелеву группу ; единичный элемент — ε . Свёртка коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна относительно сложения.${\displaystyle f*g}$$${\displaystyle (f\,*\,g)(n)=\sum _{d|n}f(d)\,g\left({\frac {n}{d}}\right)}$$

Отношения между мультипликативными функциями, рассмотренными выше, включают:

• ${\displaystyle \mu *1=\varepsilon }$( формула обращения Мёбиуса )
• ${\displaystyle (\mu \operatorname {Id} _{k})*\operatorname {Id} _{k}=\varepsilon }$(обобщенное обращение Мёбиуса)
• ${\displaystyle \varphi *1=\operatorname {Id} }$
• ${\displaystyle d=1*1}$
• ${\displaystyle \sigma =\operatorname {Id} *1=\varphi *d}$
• ${\displaystyle \sigma _{k}=\operatorname {Id} _{k}*1}$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} =\varphi *1=\sigma *\mu }$
• ${\displaystyle \operatorname {Id} _{k}=\sigma _{k}*\mu }$

Свертку Дирихле можно определить для общих арифметических функций, и она дает кольцевую структуру — кольцо Дирихле .

Свертка Дирихле двух мультипликативных функций снова мультипликативна. Доказательство этого факта дается следующим расширением для взаимно простых чисел : ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(f\ast g)(ab)&=\sum _{d|ab}f(d)g\left({\frac {ab}{d}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}\sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {ab}{d_{1}d_{2}}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}f(d_{1})g\left({\frac {a}{d_{1}}}\right)\times \sum _{d_{2}|b}f(d_{2})g\left({\frac {b}{d_{2}}}\right)\\&=(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}$

Больше примеров приведено в статье о рядах Дирихле .

Говорят, что арифметическая функция f является рациональной арифметической функцией порядка , если существуют полностью мультипликативные функции g ₁ ,..., g _r , h ₁ ,..., h _s такие, что где обратные функции являются относительно свертки Дирихле. Рациональные арифметические функции порядка известны как функции тотиента, а рациональные арифметические функции порядка известны как квадратичные функции или специально мультипликативные функции. Функция Эйлера является функцией тотиента, а функция делителя является квадратичной функцией. Полностью мультипликативные функции являются рациональными арифметическими функциями порядка . Функция Лиувилля является полностью мультипликативной. Функция Мёбиуса является рациональной арифметической функцией порядка . По соглашению, единичный элемент при свертке Дирихле является рациональной арифметической функцией порядка . ${\displaystyle (r,s)}$$${\displaystyle f=g_{1}\ast \cdots \ast g_{r}\ast h_{1}^{-1}\ast \cdots \ast h_{s}^{-1},}$$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle (2,0)}$${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle \lambda (n)}$${\displaystyle \mu (n)}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle (0,0)}$

Все рациональные арифметические функции являются мультипликативными. Мультипликативная функция f является рациональной арифметической функцией порядка тогда и только тогда, когда ее ряд Белла имеет вид для всех простых чисел .${\displaystyle (r,s)}$$${\displaystyle {\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}={\frac {(1-h_{1}(p)x)(1-h_{2}(p)x)\cdots (1-h_{s}(p)x)}{(1-g_{1}(p)x)(1-g_{2}(p)x)\cdots (1-g_{r}(p)x)}}}}$$${\displaystyle p}$

Концепция рациональной арифметической функции берет свое начало от Р. Вайдьянатхасвами (1931).

Мультипликативная функция называется специально мультипликативной, если существует полностью мультипликативная функция такая, что${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{A}}$

${\displaystyle f(m)f(n)=\sum _{d\mid (m,n)}f(mn/d^{2})f_{A}(d)}$

для всех положительных целых чисел и , или эквивалентно ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}f(m/d)f(n/d)\mu (d)f_{A}(d)}$

для всех положительных целых чисел и , где — функция Мёбиуса. Они известны как тождества Буше-Рамануджана. В 1906 году Э. Буше сформулировал тождество ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(mn/d^{2})d^{k},}$

и в 1915 году С. Рамануджан дал обратную форму

${\displaystyle \sigma _{k}(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(m/d)\sigma _{k}(n/d)\mu (d)d^{k}}$

для . S. Chowla дал обратную форму для общего в 1929 году, см. PJ McCarthy (1986). Изучение тождеств Буше-Рамануджана началось с попытки лучше понять особые случаи, данные Буше и Рамануджаном. ${\displaystyle k=0}$${\displaystyle k}$

Известно, что квадратичные функции удовлетворяют тождествам Буше-Рамануджана с . Фактически, квадратичные функции в точности совпадают с специально мультипликативными функциями. Totients удовлетворяют ограниченному тождеству Буше-Рамануджана. Для получения более подробной информации см. R. Vaidyanathaswamy (1931).${\displaystyle f=g_{1}\ast g_{2}}$${\displaystyle f_{A}=g_{1}g_{2}}$

Пусть A = F _q [ X ] , кольцо многочленов над конечным полем с q элементами. A — область главных идеалов , и поэтому A — область однозначной факторизации .

Комплексная функция на A называется мультипликативной , если f и g являются взаимно простыми .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)}$

Пусть h — полиномиальная арифметическая функция (т.е. функция на множестве монических полиномов над A ). Соответствующий ей ряд Дирихле определяется как

$${\displaystyle D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},}$$

где для задано если и в противном случае.${\displaystyle g\in A,}$${\displaystyle |g|=q^{\deg(g)}}$${\displaystyle g\neq 0,}$${\displaystyle |g|=0}$

Тогда полиномиальная дзета-функция имеет вид

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.}$$

Подобно ситуации в N , каждый ряд Дирихле мультипликативной функции h имеет представление произведения ( произведение Эйлера ):

$${\displaystyle D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }h(P^{n})|P|^{-sn}\right),}$$

где произведение пробегает все монические неприводимые многочлены P. Например, представление произведения дзета-функции такое же, как для целых чисел:

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}.}$$

В отличие от классической дзета-функции , является простой рациональной функцией:${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f}|f|^{-s}=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.}$$

Аналогично, если f и g — две полиномиальные арифметические функции, то можно определить f  *  g , свертку Дирихле функций f и g , следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b),\end{aligned}}}$$

где сумма берется по всем моническим делителям d числа  m или, что эквивалентно, по всем парам ( a , b ) монических многочленов, произведение которых равно m . Тождество по-прежнему сохраняется.${\displaystyle D_{h}D_{g}=D_{h*g}}$

Многомерные функции могут быть построены с использованием мультипликативных оценщиков модели. Где матричная функция A определяется как$${\displaystyle D_{N}=N^{2}\times N(N+1)/2}$$

сумма может быть распределена по всему продукту$${\displaystyle y_{t}=\sum (t/T)^{1/2}u_{t}=\sum (t/T)^{1/2}G_{t}^{1/2}\epsilon _{t}}$$

Для эффективной оценки Σ (.) можно рассмотреть следующие две непараметрические регрессии :$${\displaystyle {\tilde {y}}_{t}^{2}={\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}}}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(\epsilon _{t}^{2}-1),}$$

и$${\displaystyle y_{t}^{2}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(g_{t}\epsilon _{t}^{2}-1).}$$

Таким образом, это дает оценочное значение$${\displaystyle L_{t}(\tau ;u)=\sum _{t=1}^{T}K_{h}(u-t/T){\begin{bmatrix}ln\tau +{\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}\tau }}\end{bmatrix}}}$$

с локальной функцией правдоподобия для известных и неизвестных .${\displaystyle y_{t}^{2}}$${\displaystyle g_{t}}$${\displaystyle \sigma ^{2}(t/T)}$

Арифметическая функция является квазимультипликативной, если существует ненулевая константа такая, что для всех положительных целых чисел с . Эта концепция была предложена Лахири (1972). ${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c\,f(mn)=f(m)f(n)}$${\displaystyle m,n}$${\displaystyle (m,n)=1}$

Арифметическая функция является полумультипликативной, если существует ненулевая константа , положительное целое число и мультипликативная функция такие, что для всех положительных целых чисел (при условии, что если не является положительным целым числом). Эта концепция принадлежит Дэвиду Ририку (1966). ${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f_{m}}$${\displaystyle f(n)=cf_{m}(n/a)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{m}(x)=0}$${\displaystyle x}$

Арифметическая функция является мультипликативной по Сельбергу, если для каждого простого числа существует функция на неотрицательных целых числах с для всех, кроме конечного числа простых чисел, такая, что для всех положительных целых чисел , где — показатель степени в канонической факторизации . См. Сельберг (1977). ${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f_{p}}$${\displaystyle f_{p}(0)=1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f(n)=\prod _{p}f_{p}(\nu _{p}(n))}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \nu _{p}(n)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$

Известно, что классы полумультипликативных и мультипликативных функций Сельберга совпадают. Они оба удовлетворяют арифметическому тождеству для всех положительных целых чисел . См. Haukkanen (2012).${\displaystyle f(m)f(n)=f((m,n))f([m,n])}$${\displaystyle m,n}$

Хорошо известно и легко видеть, что мультипликативные функции являются квазимультипликативными функциями при , а квазимультипликативные функции являются полумультипликативными функциями при .${\displaystyle c=1}$${\displaystyle a=1}$

• произведение Эйлера
• Серия колоколов
• серия Ламберта

• См. главу 2 книги Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для бакалавров по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001
• П. Дж. Маккарти, Введение в арифметические функции, Universitext. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1986.
• Хафнер, Кристиан М.; Линтон, Оливер (2010). "Эффективная оценка многомерной мультипликативной модели волатильности" (PDF) . Журнал эконометрики . 159 (1): 55–73. doi :10.1016/j.jeconom.2010.04.007. S2CID  54812323.
• П. Хаукканен (2003). «Некоторые характеристики специально мультипликативных функций». Int. J. Math. Math. Sci . 37 : 2335–2344.
• П. Хаукканен (2012). «Расширения класса мультипликативных функций». East–West Journal of Mathematics . 14 (2): 101–113.
• Д.Б. Лахири (1972). «Гипомультипликативные теоретико-числовые функции». Математические уравнения . 8 (3): 316–317.

• Д. Рерик (1966). «Полумультипликативные функции». Duke Math. J . 33 : 49–53.

• Л. Тот (2013). «Два обобщения тождеств Буше-Рамануджана». Международный журнал теории чисел . 9 : 1301–1311.
• Р. Вайдьянатхасвами (1931). «Теория мультипликативных арифметических функций». Труды Американского математического общества . 33 (2): 579–662. doi : 10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1 .
• С. Рамануджан, Некоторые формулы аналитической теории чисел, Вестник 45 (1915), 81--84.

• Э. Буше, Lösung einer Aufgabe über Teileranzahlen. Митт. Математика. Гес. Хамб. 4, 229--237 (1906)

• А. Сельберг: Замечания о мультипликативных функциях. День теории чисел (Proc. Conf., Rockefeller Univ., New York, 1976), стр. 232–241, Springer, 1977.

• Мультипликативная функция на PlanetMath .