Формула Лейбница для π

В математике формула Лейбница для числа π , названная в честь Готфрида Вильгельма Лейбница , гласит, что$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}},}$$

чередующийся ряд .

Иногда его называют рядом Мадхавы–Лейбница , поскольку он был впервые открыт индийским математиком Мадхавой из Сангамаграмы или его последователями в XIV–XV веках (см. ряд Мадхавы ) ^[1] , а затем был независимо переоткрыт Джеймсом Грегори в 1671 году и Лейбницем в 1673 году ^[2]. Ряд Тейлора для функции арктангенса , часто называемый рядом Грегори , имеет вид$${\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.}$$

Формула Лейбница является частным случаем ^[3]${\textstyle \arctan 1={\tfrac {1}{4}}\pi .}$

Это также ряд Дирихле L неглавного характера Дирихле с модулем 4, оцененным в и, следовательно, значение β (1) бета-функции Дирихле .${\displaystyle s=1,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right)\end{aligned}}}$$

Рассматривая только интеграл в последнем члене, имеем:$${\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx={\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow 0{\text{ as }}n\rightarrow \infty .}$$

Следовательно, по теореме о сжатии при n → ∞ у нас остается ряд Лейбница:$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$$

Пусть , когда , ряд сходится равномерно, тогда ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}}$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{2k}}$$${\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}=f(z)\ (|z|<1).}$$

Следовательно, если приближается так, что он непрерывен и сходится равномерно, то доказательство завершено, где, ряд , который должен сходиться по признаку Лейбница , и, кроме того, приближается изнутри угла Штольца, так что по теореме Абеля это верно.${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(1)}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(1)}$

Формула Лейбница сходится чрезвычайно медленно: она демонстрирует сублинейную сходимость . Вычисление π до 10 правильных десятичных знаков с использованием прямого суммирования ряда требует ровно пять миллиардов членов, потому что ⁠4/2 к + 1⁠ < 10 ⁻¹⁰ для k > 2 × 10 ¹⁰ − ⁠1/2⁠ (необходимо применить границу погрешности Калабрезе ). Чтобы получить 4 правильных десятичных знака (погрешность 0,00005), нужно 5000 членов. ^[4] Доступны даже лучшие границы погрешности, чем Калабрезе или Джонсонбо. ^[5]

Однако формулу Лейбница можно использовать для вычисления π с высокой точностью (сотни цифр и более) с использованием различных методов ускорения сходимости . Например, преобразование Шенкса , преобразование Эйлера или преобразование Ван Вейнгаардена , которые являются общими методами для знакопеременных рядов, можно эффективно применять к частичным суммам ряда Лейбница. Кроме того, попарное объединение членов дает незнакопеременный ряд$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{(4n+1)(4n+3)}}}$$

который можно оценить с высокой точностью из небольшого числа членов, используя экстраполяцию Ричардсона или формулу Эйлера–Маклорена . Этот ряд также можно преобразовать в интеграл с помощью формулы Абеля–Плана и оценить с помощью методов численного интегрирования .

Если ряд усечен в нужное время, десятичное расширение приближения будет согласовываться с расширением π для многих других цифр, за исключением изолированных цифр или групп цифр. Например, взяв пять миллионов членов, получаем$${\displaystyle 3.141592{\underline {4}}5358979323846{\underline {4}}643383279502{\underline {7}}841971693993{\underline {873}}058...}$$

где подчеркнутые цифры неверны. Ошибки на самом деле можно предсказать; они генерируются числами Эйлера E _n согласно асимптотической формуле$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-2\sum _{k=1}^{N/2}{\frac {(-1)^{k-1}}{2k-1}}\sim \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {E_{2m}}{N^{2m+1}}}}$$

где N — целое число, делящееся на 4. Если N выбрано как степень десяти, каждый член в правой сумме становится конечной десятичной дробью. Формула является частным случаем формулы суммирования Эйлера–Буля для знакопеременных рядов, предоставляя еще один пример метода ускорения сходимости, который может быть применен к рядам Лейбница. В 1992 году Джонатан Борвейн и Марк Лимбер использовали первую тысячу чисел Эйлера для вычисления π до 5263 десятичных знаков с помощью формулы Лейбница. ^[6]

Формулу Лейбница можно интерпретировать как ряд Дирихле, использующий уникальный неглавный характер Дирихле по модулю 4. Как и в случае с другими рядами Дирихле, это позволяет преобразовать бесконечную сумму в бесконечное произведение с одним членом для каждого простого числа . Такое произведение называется произведением Эйлера . Оно таково: В этом произведении каждый член является суперчастным отношением , каждый числитель является нечетным простым числом, а каждый знаменатель является ближайшим кратным 4 к числителю. ^[7] Произведение условно сходится; его члены должны быть взяты в порядке возрастания p .$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&={\biggl (}\prod _{p\,\equiv \,1\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p-1}}{\biggr )}{\biggl (}\prod _{p\,\equiv \,3\ ({\text{mod}}\ 4)}{\frac {p}{p+1}}{\biggr )}\\[7mu]&={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdot {\frac {19}{20}}\cdot {\frac {23}{24}}\cdot {\frac {29}{28}}\cdots \end{aligned}}}$$

• Список формул, содержащих π